Mathematik zum Dienstagnachmittag

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

aber eine Wurzelfunktion integrieren, mit einem Polynom unter der Wurzel, wo außerhalb der Wurzel weit und breit nichts substituierbares zu finden ist - nein danke.

Hm, in der Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen findet man

$$\int \sqrt{a^2-x^2} \ \mathrm dx = \tfrac{1}{2} a^2 \arcsin \tfrac{x}{a} + \tfrac{1}{2} x \ \sqrt{a^2-x^2} + c$$

Für a = 1 also

$$\int \sqrt{1-x^2} \ \mathrm dx = \tfrac{1}{2} \arcsin x + \tfrac{1}{2} x \ \sqrt{1-x^2} + c$$

Dann hätten wir noch

$$\int -\sqrt{x \left(1-x\right)} \ \mathrm dx$$

Wirklich nichts Substituierbares zu finden?

x = ½ − t und dx = −dt eingesetzt:

$$\int -\sqrt{x \left(1-x\right)} \ \mathrm dx = \int \sqrt{\left(\tfrac{1}{2}-t\right) \left(\tfrac{1}{2}+t\right)} \ \mathrm dt = \int \sqrt{\left(\tfrac{1}{4}-t^2\right)} \ \mathrm dt = \tfrac{1}{8} \arcsin 2t + \tfrac{1}{2} t \ \sqrt{\tfrac{1}{4}-t^2} + c$$

Hab da aber auch noch nicht weitergerechnet …

Da ist die schon angedeutete Brachialmethode besser, und nach etwas Rechnen kommt man auf einen hübsch kompakten Ergebnisterm.

… ich war auch brachial und komme auf ziemlich genau ³³⁄₁₀₉.

LLAP 🖖