ottogal: Mathematik zum Dienstagnachmittag

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Mathematik zum Dienstagnachmittag

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    Mathematik zum Dienstagnachmittag - Lösung

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    Mathematik zum Dienstagnachmittag - meine Lösung

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    Mathematik zum Dienstagnachmittag – noch ’ne Lösung

In ein Quadrat sind ein Halbkreis und ein Viertelkreis einbeschrieben, so dass sich folgende Fisch-Figur ergibt:

Fisch.png

Man berechne den Anteil der blauen Fisch-Fläche an der Quadratfläche.

  1. Hallo ottogal,

    darf ich einen Arcussinus für Winkelwerte benutzen?

    Rolf

    -- sumpsi - posui - clusi
    1. Natürlich. Bin ja nicht so streng wie Gunnar... ;-)

      1. Hallo ottogal,

        dann wäre der geradlinige Weg die Bestimmung der Öffnungswinkel und eine konsequente Anwendung der Formeln für Kreissegmente, gefolgt vom Herausrechnen von gewissen Überlappungen.

        Das könnte ich tun, aber vermutlich ist das nicht der "geschickte" Weg den Du suchst. Sehe ich das richtig?

        Rolf

        -- sumpsi - posui - clusi
        1. Hallo Rolf,

          nein, ich habe auch keinen "geschickteren" Weg gefunden als das Berechnen von Sektoren und Segmenten. (Freilich kann man mehr oder weniger geschickt rechnen... 😉 )

          Schön wäre, nicht zu früh auf numerische Werte zu gehen. Man braucht nur einmal Trigonometrie, um einen einzigen Winkel numerisch zu bestimmen; den muss man dann erst ganz am Ende einsetzen, um einen Zahlenwert für das Ergebnis zu bekommen - der ist natürlich alles andere als "rund"...

          Bin schon gespannt auf deinen Weg!

          ottogal

          1. Habe inzwischen gesehen, dass ich noch "geschickter" vorgehen kann als bei meinem bisherigen Weg...

            Also: Der Fisch hängt schon an der Angel. Jetzt heißt es, ihn sorgsam herauszuziehen...

            Macht noch jemand mit?

            1. @@ottogal

              Habe inzwischen gesehen, dass ich noch "geschickter" vorgehen kann als bei meinem bisherigen Weg...

              Also: Der Fisch hängt schon an der Angel. Jetzt heißt es, ihn sorgsam herauszuziehen...

              Macht noch jemand mit?

              Ja, ich bin noch dabei, Integrale von Wurzelfunktionen zu berechen (besser gesagt: zu finden 😉). Aber ich ahne schon, dass das nicht der geschickteste Weg ist …

              LLAP 🖖

              -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
              1. Hallo Gunnar,

                nein, diesen Köder habe ich angewidert ins Wasser geworfen, als ich ihn mir genauer betrachtet habe. Man macht das zwar generell so wenn man die Fläche zwischen zwei Funktionen haben will, aber eine Wurzelfunktion integrieren, mit einem Polynom unter der Wurzel, wo außerhalb der Wurzel weit und breit nichts substituierbares zu finden ist - nein danke.

                Da ist die schon angedeutete Brachialmethode besser, und nach etwas Rechnen kommt man auf einen hübsch kompakten Ergebnisterm.

                Rolf

                -- sumpsi - posui - clusi
                1. @@Rolf B

                  aber eine Wurzelfunktion integrieren, mit einem Polynom unter der Wurzel, wo außerhalb der Wurzel weit und breit nichts substituierbares zu finden ist - nein danke.

                  Hm, in der Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen findet man

                  \int \sqrt{a^2-x^2} \ \mathrm dx = \tfrac{1}{2} a^2 \arcsin \tfrac{x}{a} + \tfrac{1}{2} x \ \sqrt{a^2-x^2} + c

                  Für a = 1 also

                  \int \sqrt{1-x^2} \ \mathrm dx = \tfrac{1}{2} \arcsin x + \tfrac{1}{2} x \ \sqrt{1-x^2} + c

                  Dann hätten wir noch

                  \int -\sqrt{x \left(1-x\right)} \ \mathrm dx

                  Wirklich nichts Substituierbares zu finden?

                  x = ½ − t und dx = −dt eingesetzt:

                  \int -\sqrt{x \left(1-x\right)} \ \mathrm dx = \int \sqrt{\left(\tfrac{1}{2}-t\right) \left(\tfrac{1}{2}+t\right)} \ \mathrm dt = \int \sqrt{\left(\tfrac{1}{4}-t^2\right)} \ \mathrm dt = \tfrac{1}{8} \arcsin 2t + \tfrac{1}{2} t \ \sqrt{\tfrac{1}{4}-t^2} + c

                  Hab da aber auch noch nicht weitergerechnet …

                  Da ist die schon angedeutete Brachialmethode besser, und nach etwas Rechnen kommt man auf einen hübsch kompakten Ergebnisterm.

                  … ich war auch brachial und komme auf ziemlich genau ³³⁄₁₀₉.

                  LLAP 🖖

                  -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann

                  Folgende Nachrichten verweisen auf diesen Beitrag:

                  1. Hallo Gunnar,

                    Die A11y deines Nenners ist für meine Geräte unzureichend. Ich sehe nur Kästchen. Steht da 109? Dann ACK.

                    Bei den Integralen war ich also zu schnell abgeschreckt. Aber ich glaube jetzt erst recht, dass die Herangehensweise mit Kreissektoren deutlich kopfschmerzfreier ist...

                    Rolf

                    -- sumpsi - posui - clusi
                    1. @@Rolf B

                      Die A11y deines Nenners ist für meine Geräte unzureichend. Ich sehe nur Kästchen.

                      Es gibt tatsächlich noch Systeme, die nicht eine einzige Schriftart haben, die Glyphen für tiefgestellte Zahlen enthält?

                      Steht da 109?

                      Ja.

                      PS: ein Beispiel dafür, dass Alternativtext vom Kontext abhängt

                      -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
                      1. ³³⁄₁₀₉

                        Auch ich habe immer Schwierigkeiten, Brüche in dieser Form zu lesen. (Windows 10, Laptop mit gutem 1920x1080-Display). Die Typographie dieses Fonts ist einfach mies.

                      2. Hallo Gunnar,

                        Es gibt tatsächlich noch Systeme, die nicht eine einzige Schriftart haben, die Glyphen für tiefgestellte Zahlen enthält?

                        Meine virtuelle Windows-7 Maschine im Büro kriegt es hin, mein Android 6.01 Handy nicht.

                        Ich habe jetzt nach deinem Hinweis mal die Integrale angefasst - es ist gruselig. Um "schönere" Zahlen zu haben, habe ich ein 2x2 Quadrat verwendet.

                        Die obere Hüllkurve des Fischbauches hat als Kreisrelation (x-2)^2+y^2=4, und die für uns relevante Teilfunktion ist f(x)=\sqrt{4-(x-2)^2)}. Im 2x2 Quadrat zu integrieren von 2/5 bis 2. Man substituiert t=x-2, und integriert nun

                        \begin{align} &\int_{\frac{-8}{5}}^0 \sqrt{4-t^2}\,\mathrm dt \\ =&\left. 2\arcsin{\frac{t}{2}}+\frac{t}{2}\sqrt{4-t^2} \quad\right|_{-8/5}^0 \\ =&0 - (2\arcsin({-\frac{8}{10}})-\frac{8}{10}\sqrt{4-\frac{64}{25}}) \\ =&2\arcsin{0{,}8}+\frac{4}{5}\frac{6}{5} \\ =&2\arcsin{0{,}8}+\frac{24}{25}\\ \approx&2{,}815 \end{align}

                        und das ist nur die obere Hüllkurve des rechten Teils.

                        In der zweiten Zeile wollte ich eigentlich nur rechts einen langen vertikalen Strich machen, wo die Intervallgrenzen dranstehen - so meine ich es in der Schule gelernt zu haben -, aber `\right|` ohne zugehöriges `\left|` klappt nicht. Darum sind's 2 Striche.

                        Die untere Hüllkurve des Bauches führt nach ähnlicher Rechnerei auf

                        \frac{74}{25}-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arcsin\frac{3}{5} \approx 1{,}853

                        Den Schwanz überlasse ich gerne Dir. Das Ergebnis müsste dann in der Nähe von 4\cdot\frac{33}{109} liegen.

                        -- sumpsi - posui - clusi
                        1. @@Rolf B

                          In der zweiten Zeile wollte ich eigentlich nur rechts einen langen vertikalen Strich machen, wo die Intervallgrenzen dranstehen - so meine ich es in der Schule gelernt zu haben -, aber \right| ohne zugehöriges \left| klappt nicht. Darum sind's 2 Striche.

                          Wann immer ich hier etwas mit TeX mache, habe ich in einem Browsertab Hilfe:TeX offen.

                          Unter Klammern und Begrenzungssymbole ha’m wa’s ja: „Wenn auf einer Seite keine Klammer oder Begrenzungssymbol stehen soll, muss auch dort ein (nicht sichtbarer) Begrenzer eingegeben werden, indem dem \left bzw. \right ein Punkt folgt: \left. bzw. \right.

                          \left. 2\arcsin{\frac{t}{2}}+\frac{t}{2}\sqrt{4-t^2} \quad \right|_{-8/5}^0

                          LLAP 🖖

                          -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
                          1. Hallo Gunnar,

                            Wann immer ich hier etwas mit TeX mache, habe ich in einem Browsertab Hilfe:TeX offen.

                            Sicher, ich doch auch...

                            Ich war nur zu blöd, genau zu Lesen. Den ersten Satz des entscheidenden Absatzes hatte ich wahrgenommen und den Rest ignoriert. Dass mir die Lösung eigentlich mit der rechten Brace entgegengebrüllt wurde...

                            Rolf

                            -- sumpsi - posui - clusi
                  2. \int -\sqrt{x \left(1-x\right)} \ \mathrm dx = \int \sqrt{\left(\tfrac{1}{2}-t\right) \left(\tfrac{1}{2}+t\right)} \ \mathrm dt = \int \sqrt{\left(\tfrac{1}{4}-t^2\right)} \ \mathrm dt = \tfrac{1}{8} \arcsin 2t + \tfrac{1}{2} t \ \sqrt{\tfrac{1}{4}-t^2} + c

                    Hab da aber auch noch nicht weitergerechnet …

                    Geht sehr schön...

                    1. Hallo ottogal,

                      schön - hm, wenn du damit „schön mühsam“ meinst... Habe das ja sozusagen zeitgleich zu Dir mal etwas ausformuliert. Das unschöne ist, dass die arcsin-Argumente ungleich sind, so dass man mehr als einen Arcussinus berechnen muss.

                      Das x(1-x) hatte ich übrigens gar nicht - wo habt ihr das her?

                      Rolf

                      -- sumpsi - posui - clusi
                      1. Hi Rolf,

                        Das unschöne ist, dass die arcsin-Argumente ungleich sind, so dass man mehr als einen Arcussinus berechnen muss.

                        Die Argumente \frac{3}{5} und \frac{4}{5} müssten dich eigentlich an ein bestimmtes Dreieck denken lassen. Dann kannst du den einen arcsin-Term durch den anderen ausdrücken und hast im Ergebnis nur noch einen...

                        Das x(1-x) hatte ich übrigens gar nicht - wo habt ihr das her?

                        Das steckt im Funktionsterm des Halbkreises, wenn du die Quadratseite als 1 annimmst.

                        1. Hallo ottogal,

                          ok, bei den Arcsi-Nüssen habe ich nicht länger nachgedacht. Natürlich addieren die sich zu Pi/2.

                          \begin{align} &2\arcsin{\frac{4}{5}}+\frac{24}{25}-\frac{74}{25}+\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\arcsin\frac{3}{5}\\ = &2\arcsin{\frac{4}{5}}+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{4}{5})+\frac{\pi}{4}-\frac{50}{25} \\ = &2\arcsin{\frac{4}{5}}+\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arcsin\frac{4}{5}+\frac{\pi}{4}-2\\ = &\frac{3}{2}\arcsin\frac{4}{5}+\frac{\pi}{2}-2 \\ \approx&0{,}962 \end{align}

                          Den Schwanz rechne ich aber trotzdem nicht nach :)

                          Den Halbkreis habe ich als y=\sqrt{\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2} stehen lassen, da substituiert man einmal t=x-1/2 und ist direkt auf einer a²-x² Form, ohne ein Minus nach draußen zu substituieren. Deswegen bin ich nicht auf x(1-x) gestoßen. Aber wenn man's ausmultipliziert...

                          Rolf

                          -- sumpsi - posui - clusi
                    2. @@ottogal

                      \int -\sqrt{x \left(1-x\right)} \ \mathrm dx = \int \sqrt{\left(\tfrac{1}{2}-t\right) \left(\tfrac{1}{2}+t\right)} \ \mathrm dt = \int \sqrt{\left(\tfrac{1}{4}-t^2\right)} \ \mathrm dt = \tfrac{1}{8} \arcsin 2t + \tfrac{1}{2} t \ \sqrt{\tfrac{1}{4}-t^2} + c

                      Hab da aber auch noch nicht weitergerechnet …

                      Geht sehr schön...

                      Schön, dass es das bei dir tut … 😡

                      LLAP 🖖

                      -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
                      1. @@Gunnar Bittersmann

                        Geht sehr schön...

                        Schön, dass es das bei dir tut … 😡

                        So, nach unzähligen Versuchen und am Ende ein bisschen reverse engineering, um auch noch den letzten Vorzeichenfehler zu finden, hab ich das nun auch geschafft.

                        Wie Rolf sagte: „schön mühsam“.

                        LLAP 🖖

                        -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
                        1. Hallo Gunnar,

                          oh ja, die Vorzeichen sind vertrackt. Ich habe mir die Flächen von Geogebra ermitteln lassen um zu validieren, dass ich richtig gerechnet hatte, und auch einige Korrekturen gebraucht.

                          Dann dachte ich, Rolf sei schlau!, und habe das Integral einfach mal Wolfram Alpha zum Fraße vorgeworfen. Numerisch kam die Wolfram AI auf das gleiche Ergebnis, hat aber die Stammfunktionen teilweise mit "komplexwertigem Logarithmus", teilweise mit arctan geliefert. Ersteres ist mindestens 400% außerhalb meiner geistigen Reichweite, letzteres liegt vermutlich an anderen Stammfunktions-Templates.

                          Rolf

                          -- sumpsi - posui - clusi
                        2. @@Gunnar Bittersmann

                          So, nach unzähligen Versuchen und am Ende ein bisschen reverse engineering, um auch noch den letzten Vorzeichenfehler zu finden, hab ich das nun auch geschafft.

                          Und zwar so: Quadrat (o.B.d.A. Seitenlänge 1) so in ein Koordinatensystem gelegt, dass der große Viertelkreis seinen Mittelpunkt in O hat und der kleine Halbkreis seinen Mittelpunkt in (½, 1).

                          Skizze 1

                          Wenn wir die x-Achse (aus lauter Gewohnheit) nach rechts zeigen lassen wollen, spiegeln wir:

                          Skizze 2

                          Der große Viertelkreis hat die Kreisgleichung x² + y² = 1; der kleine Halbkreis (x − ½)² + (y − 1)² = ¼. Sie werden also durch die Funktionen

                          y = f(x) = \sqrt{1 - x^2} \\ y = g(x) = 1 - \sqrt{\tfrac{1}{4} - \left( x - \tfrac{1}{2} \right)^2} = 1 - \sqrt{x \left( 1 - x \right)}

                          beschrieben. (Die Vorzeichen vor den Wurzeln ergeben sich daraus, dass wir beim großen Vierteilkreis den oberen Teil des Kreises brauchen; beim kleinen Halbkreis den unteren Teil.)

                          Zur Bestimmung der Fläche müssen wir nun die Differenz f(x) − g(x) integrieren; aber nicht über den Schnittpunkt hinweg! (Der – wie man durch Gleichsetzen f(x) = g(x), Quadrieren, Isolieren der Wurzel, nochmaliges Quadrieren leicht herausbekommt – bei x = ⅘ liegt.)

                          A = \left| \ \int_0^\frac{4}{5} \left( f(x) - g(x) \right) \mathrm dx \ \right| + \left| \ \int_\frac{4}{5}^1 \left( f(x) - g(x) \right) \mathrm dx \ \right| = \int_0^\frac{4}{5} \left( f(x) - g(x) \right) \mathrm dx - \int_\frac{4}{5}^1 \left( f(x) - g(x) \right) \mathrm dx

                          Die Integrale hatte ich ja schon verraten; meine Rechnung sah dann so aus:

                          Ergebnis: A= \tfrac{1}{4} \pi - \tfrac{3}{4} \arcsin \tfrac{3}{5}. Puh!

                          Wie Rolf sagte: „schön mühsam“.

                          LLAP 🖖

                          -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann

                          Folgende Nachrichten verweisen auf diesen Beitrag:

                          1. Hallo Gunnar,

                            https://www.youtube.com/watch?v=IxAKFlpdcfc (SCNR)

                            Rolf

                            -- sumpsi - posui - clusi
            2. Hallo ottogal,

              Habe inzwischen gesehen, dass ich noch "geschickter" vorgehen kann als bei meinem bisherigen Weg...

              Dito 😂

              Rolf

              -- sumpsi - posui - clusi
            3. Habe inzwischen gesehen, dass ich noch "geschickter" vorgehen kann als bei meinem bisherigen Weg…

              Ich bin auch fast schon soweit, sehe es auch schon als sinnvoll an, anders vorzugehen. Bin aber noch am grübeln wie :-)

              1. Hallo encoder,

                ok - also warten wir mal mit dem Posten von Spoilern. Die Integrallösung als Spoiler zu bezeichnen würde mir jetzt mal widerstreben...

                Rolf

                -- sumpsi - posui - clusi
                1. Ja, wartet mal noch mit dem Posten (es ist zu interessant!).
                  Ihr könnt mich aber gern als "Autor kontaktieren"...

  2. In ein Quadrat sind ein Halbkreis und ein Viertelkreis einbeschrieben, so dass sich folgende Fisch-Figur ergibt:

    Fisch.png

    Man berechne den Anteil der blauen Fisch-Fläche an der Quadratfläche.


    Guten Morgen Mathefans,

    die Aufgabe ist jetzt fast eine Woche alt - ich verrate mal meine Lösung:


    (1)

    O.b.d.A habe das Quadrat ABCD die Seitenlänge 1.
    Der Viertelkreis hat den Mittelpunkt B und den Radius 1.
    Der Mittelpunkt des Halbkreises ist der Mittelpunkt F der Seite CD, sein Radius ist \frac{1}{2}.
    Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ist S.
    Wir nehmen für Winkelwerte stets das Bogenmaß; der Vollwinkel hat also den Wert 2\pi.

    2018-03-06_ottogal_fisch_loesung.png


    (2)

    BCFS ist ein Drachenviereck mit der Symmetrieachse BF (denn BS und BC bzw. FS und FC sind als Kreisradien jeweils gleich lang).
    Das Drachenviereck hat den Flächeninhalt \frac{1}{2}, denn es ist flächengleich zum Rechteck EBCF (da die rechtwinkligen Dreiecke BFS und FBE nach dem SWS-Satz kongruent sind).


    (3)

    Wir müssen natürlich Sektorflächen berechnen. Dies wird durch die Verwendung des Bogenmaßes für Winkel besonders einfach.

    Ein Sektor habe den Radius r und den halben Öffnungswinkel \phi.
    Seine Fläche verhält sich zur Fläche des Vollkreises wie sein Öffnungswinkel zum Vollwinkel:

    \frac{A_{Sektor}}{\pi r^2} = \frac{2 \phi}{2 \pi} = \frac{\phi}{\pi}

    So erhält man die einfache Formel

    A_{Sektor} = \phi \cdot r^2

    (4)

    Der Winkel \alpha = \angle CBF kommt noch an anderen Stellen vor:
    auch die Winkel \angle FBS, \angle FCS und \angle FSC haben den Wert \alpha, und es folgt \angle DFS = 2\alpha.

    Wegen \tan \alpha = \frac{FC}{BC} = \frac{1}{2} ist

    \alpha = \arctan \frac{1}{2} = 0,46365

    (Dies ist die einzige Stelle, an der wir die Trigonometrie bemühen müssen!)

    Wir werden eine Formel für den gesuchten Flächeninhalt des Fisches herleiten; dabei verwenden wir durchgängig die Konstante \alpha\. Erst am Schluss setzen wir den obigen numerischen Wert ein, um einen Zahlenwert für den gesuchten Flächenanteil zu erhalten.


    (5)

    Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt des Schwanzstücks DAS des Fisches links von S.
    Wir erhalten A_{Schwanz}, indem wir von der Quadratfläche 1 das Drachenviereck A_{BCFS} = \frac{1}{2} sowie die beiden Sektorflächen A_1 = A_{BSA} und A_2 = A_{FDS} subtrahieren.

    Der Sektor BSA hat den Radius 1 und den halben Öffnungswinkel (\frac{\pi}{2}-2\alpha):2=\frac{1}{4}\pi-\alpha, somit nach (2) die Fläche

    A_1 = (\frac{1}{4}\pi-\alpha) \cdot 1^2 = \frac{1}{4}\pi-\alpha

    Der Sektor FDS hat den Radius \frac{1}{2} und den halben Öffnungswinkel \alpha und daher die Fläche

    A_2 = \alpha \cdot(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\alpha

    Der Fischschwanz hat folglich die Fläche

    A_{Schwanz} = 1-\frac{1}{2}-A_1-A_2 = \frac{1}{2}-(\frac{1}{4}\pi-\alpha)-\frac{1}{4}\alpha

    also

    A_{Schwanz} = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}\pi+\frac{3}{4}\alpha

    Zwischen-Bemerkung:

    Um nun den Körper des Fisches zu bekommen, könnte man die Flächen der beiden Segmente SCH und CSK berechnen (als Differenz jeweils einer Sektor- und einer Dreiecksfläche) und addieren. So ging mein erster Lösungsweg.

    Dann jedoch hat mir Rolf am Mittwochmorgen ein Licht aufgesetzt - als er vom Herausrechnen von gewissen Überlappungen sprach.

    Das brachte mich schließlich zu den folgenden Überlegungen.


    (6)

    Addiert man die Flächen des Halbkreises und des Viertelkreises, so erhält man die Quadratfläche abzüglich des Fischschwanzes, aber zuzüglich des Fischkörpers, der - wegen der Überlappung - zweimal in die Summe eingeht (doppelt schraffiert):

    Fisch_Loesung_2-1.png

    Nun meine Idee:

    Wir addieren noch zweimal den Fischschwanz - einmal, um die Lücke zu füllen, und das zweite mal, um ihn (wie den Körper) zweimal in die Summe eingehen zu lassen (doppelt schraffiert)!

    Fisch_Loesung_2-2.png

    Subtrahiert man nun von all dem einmal die Quadratfläche, bleibt genau die Fläche des Fisches übrig!

    Fisch_Loesung_2-3.png

    Die Fischfläche berechnet sich demnach wie folgt:

    A_{Fisch} = A_{Viertelkreis} + A_{Halbkreis} + 2 \cdot A_{Schwanz} - A_{Quadrat}

    = \frac{1}{4} \pi \cdot 1^2 + \frac{1}{2}\pi \cdot (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\pi + \frac{3}{4}\alpha) - 1

    = \frac{3}{8} \pi + 1 - \frac{1}{2}\pi + \frac{3}{2}\alpha - 1

    also

    A_{Fisch} = \frac{3}{2} \alpha - \frac{1}{8}\pi

    Mit dem Wert von \alpha aus (3) erhalten wir das

    Ergebnis:

    A_{Fisch} = \frac{3}{2} \arctan{\frac{1}{2}} - \frac{1}{8}\pi

    Das ist etwa 0,30277; der Fisch nimmt also etwa 30,28% der Quadratfläche ein.


    Fazit: Wenn mans mal gefunden hat, ist es immer einfach...


    Euch einen guten Start in die Woche!
    ottogal

    1. Ich hatte dem vorigen Post den geänderten Betreff "Mathematik zum Dienstagnachmittag - Lösung" verpasst, was aber offenbar nicht durchgedrungen ist...

      1. @@ottogal

        Ich hatte dem vorigen Post den geänderten Betreff "Mathematik zum Dienstagnachmittag - Lösung" verpasst, was aber offenbar nicht durchgedrungen ist...

        Ich hab deine Intention mal so umgesetzt – auch wenn mir die Verwendung des Bindestrichs als Gedankenstrich ein Dorn im Auge ist, der richtig wehtut.

        Du solltest doch aber deine Beiträge auch nachträglich innerhalb eines Zeitfensters noch editieren können?

        LLAP 🖖

        -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
        1. Hallo Gunnar,

          wer außer einem ausgewiesen Typensetzer weiß schon, welche Strichvariante wo verwendet wird. Und das Forum hilft auch nicht. Man tippt auf diese Taste mit dem kurzen waagerechten Strich, man bekommt ein Dropdown mit drei Strichvarianten. Aber welche Variante wozu da ist, steht da nicht. Bei den typographischen „Anführungszeichen“ spiele ich ja gelegentlich mit.

          Aber die Spielerei mit Binde-/Viertelgeviertstrich (oder Divis), Gedanken-/Halbgeviertstrich und Minuszeichen, nicht zu vergessen den Spiegel- oder Geviertstrich, die alle etwas anderes sind als das von der Tastatur gelieferte Bindestrich-Minus U+002D, die geht mir auf den Keks. Wir sind ein Forum, keine Druckerei.

          Rolf

          -- sumpsi - posui - clusi
        2. Ich hab deine Intention mal so umgesetzt

          Danke.

          – auch wenn mir die Verwendung des Bindestrichs als Gedankenstrich ein Dorn im Auge ist, der richtig wehtut.

          Das tut mir leid. Eine Angewohnheit aus den fernen Tagen der Schreibmaschine... Verspreche, mich zu bessern.

          Du solltest doch aber deine Beiträge auch nachträglich innerhalb eines Zeitfensters noch editieren können?

          Vielleicht war das Zeitfenster zu kurz – ich hatte es nicht gleich gemerkt.

          (Den Gedankenstrich hier hab ich kopiert.😉 Wie gebe ich den ein?)

          1. (Den Gedankenstrich hier hab ich kopiert.😉 Wie gebe ich den ein?)

            Habs (glaub ich) gefunden: $$~-$$ ~- oder? (Der ist aber ein bisschen länger...)

          2. @@ottogal

            (Den Gedankenstrich hier hab ich kopiert.😉 Wie gebe ich den ein?)

            Ich gebe ihn so ein: [alt]+[-] (macOS). Wenn das bei dir nicht geht, leg dir einen vernünftigen™ Computer zu! 😜 Oder guckst du Wikipedia.

            (Der im Englischen ohne Leerzeichen verwendete lange Gedankenstrich (Geviertstrich, em dash) ist [shift]+[alt]+[-] – bei vernünftig™ designtem Tastaturlayout. Ansonsten halt anders.)

            LLAP 🖖

            -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
            1. Ich habe leider nur so was Unvernünftiges wie Windows da...

              Habe aber nun entdeckt, dass mit Markdown hier bei Eingabe von $$- ein kleines Fensterchen aufpoppt mit der Auswahl dreier Strichlängen (ich nehme an: normaler Bindestrich/Halbgeviertstrich/Geviertstrich).

              Das wird mir helfen, dir künftig Augenschmerzen zu ersparen...

              1. @@ottogal

                Ich habe leider nur so was Unvernünftiges wie Windows da...

                Eine Runde Mitleid …

                Habe aber nun entdeckt, dass mit Markdown hier bei Eingabe von $$- ein kleines Fensterchen aufpoppt

                Du meinst das Ding?

                Mit Markdown hat das wohl nichts zu tun. Das gehört zur Forumsoftware.

                mit der Auswahl dreier Strichlängen (ich nehme an: normaler Bindestrich/Halbgeviertstrich/Geviertstrich).

                Nicht ganz. Es sind:

                U+2212 Minuszeichen −
                U+2013 Halbgeviertstrich (Gedankenstrich; Bis-Strich) –
                U+2013 Geviertstrich (im Deutschen kaum verwendet) —

                Den Bindestrich U+002D erhältst du, wenn du das aufgepoppte Menü ignorierst.

                Den @Christian Kruse gefragt: Könnte man das nicht in Klammern dahinterschreiben?

                Das würde helfen, Minuszeichen und Gedankenstrich/Bis-Strich zu unterscheiden.

                Das Minuszeichen sitzt in vielen Schriftarten höher als der Halbgeviertstrich (bei Helvatica ist’s andersrum; bei Calibri sitzen sie auf derselben Höhe) und passt zum horizontalen Strich des Pluszeichens (ist auch ebenso breit).

                Das wird mir helfen, dir künftig Augenschmerzen zu ersparen...

                Danke. 😊

                LLAP 🖖

                -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
                1. Hallo Gunnar,

                  Den @Christian Kruse gefragt: Könnte man das nicht in Klammern dahinterschreiben?

                  Klar. Kann man. Ich habs mir mal aufgeschrieben.

                  LG,
                  CK

                  -- https://wwwtech.de/about
                  1. Hallo,

                    Klar. Kann man. Ich habs mir mal aufgeschrieben.

                    Aber bitte nicht so krüptisch, wie vom Gunnar vorgeschlagen. Woher soll man da wissen, wenn man einen Bisstrich benötigt, obs ein endash oder ein emdash sein könnte.

                    Gruß
                    Kalk

                  2. Hallo Christian,

                    Den @Christian Kruse gefragt: Könnte man das nicht in Klammern dahinterschreiben?

                    Klar. Kann man. Ich habs mir mal aufgeschrieben.

                    ✔️ done

                    LG,
                    CK

                    -- https://wwwtech.de/about
                    1. Hallo Christian,

                      — Gefällt mir – denke ich. Bin da so ein bisschen +−, oder +-?

                      Rolf

                      -- sumpsi - posui - clusi
                      1. Hallo Rolf,

                        — Gefällt mir – denke ich. Bin da so ein bisschen +− 😉

                        Du meinst, du bist da so ein bisschen ±? 😆

                        LG,
                        CK

                        -- https://wwwtech.de/about
                        1. Hallo Christian,

                          Ah, ja. Unter welchem Dropdown ist das zu finden?

                          Rolf

                          -- sumpsi - posui - clusi
                          1. Hallo Rolf,

                            Ah, ja. Unter welchem Dropdown ist das zu finden?

                            Unter Google ⇒ Unicode Plus Minus Sign 😉

                            LG,
                            CK

                            -- https://wwwtech.de/about
                            1. @@Christian Kruse

                              Unter Google

                              Buh.

                              ⇒ Unicode Plus Minus Sign 😉

                              Unter Zeichentabelle:

                              LLAP 🖖

                              -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
                              1. Hallo Gunnar,

                                ⇒ Unicode Plus Minus Sign 😉

                                Unter Zeichentabelle:

                                Das letzte mal, als die Sprache darauf kam, hat Rolf noch keinen Mac benutzt.

                                LG,
                                CK

                                -- https://wwwtech.de/about
                                1. Hallo Christian,

                                  für's ± reicht es.

                                  Das Teil ist allerdings Windows-dämlich. Das plus-minus findet man, minus-plus ∓ aber nicht, und es ist auch nicht in der Übersicht an seinem Ort U+2213 auffindbar. Zumindest nicht in der Consolas Schrift, die das Ding ja nun definitiv enthält (sonst würde ich bei der Eingabe hier nur ein Kästchen sehen).

                                  Achso – was ist eigentlich unter einem „Minus-Sybmol“ zu verstehen? Und wo finde ich U+2010, den Viertelgeviertstrich, den ich eigentlich statt des Bindestrich-Minus im „Minus-Sybmol“ hätte setzen müssen? 😜

                                  Rolf

                                  -- sumpsi - posui - clusi
                2. Danke für die Klarstellungen.

                3. Noch eine mir rätselhafte Beobachtung (mit der Forumssoftware oder mit Markdown?):

                  Wenn ich den Term $$\arctan \frac{1}{2}$$ eingebe, erhalte ich

                  \arctan \frac{1}{2}

                  falls er allein in einer neuen Zeile steht; d.h. die Schriftgröße des Bruchs ist nicht verkleinert.

                  Kommt er dagegen inline vor in gleicher Weise geschrieben , wird sie verkleinert, z.B. hier:

                  Der Winkel beträgt \arctan \frac{1}{2}.

                  Nach einigem Herumprobieren habe ich einen Trick gefunden, damit das auch bei dem allein in der Zeile stehenden Term geschieht:
                  Man schiebt an einer Stelle $$$$ dazwischen, gibt also ein: $$\arctan$$$$ \frac{1}{2}$$:

                  \arctan\frac{1}{2}

                  Dies $$$$ braucht nur einmal eingefügt zu werden, auch bei einer längeren Formel.

                  Habt ihr eine Erklärung dafür?

                  1. @@ottogal

                    Nach einigem Herumprobieren habe ich einen Trick gefunden, damit das auch bei dem allein in der Zeile stehenden Term geschieht:
                    Man schiebt an einer Stelle $$$$ dazwischen, gibt also ein: $$\arctan$$$$ \frac{1}{2}$$:

                    Was für ein mieser Trick, buh!

                    Ich kenn da einen anderen Trick: \arctan \tfrac{1}{2} (oder wer’s lang mag: \textstyle \arctan \frac{1}{2} oder \arctan \textstyle \frac{1}{2}):

                    \arctan \tfrac{1}{2}

                    Und ich sag noch: Hilfe:TeX. Guckst du: Brüche.

                    Habt ihr eine Erklärung dafür?

                    Bei Inline-TeX wird automatisch auf textstyle umgeschaltet.

                    LLAP 🖖

                    -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
                    1. Was für ein mieser Trick, buh!

                      Ich duck mich ja schon weg...

                      Ich kenn da einen anderen Trick: \arctan \tfrac{1}{2} ...

                      Merci!

                      Bei Inline-TeX wird automatisch auf textstyle umgeschaltet.

                      💡

                  2. Hallo ottogal,

                    Mit $$$$ erzeugst Du ein leeres MathJax Element. Damit steht dein Bruch nicht mehr allein auf der Zeile und der von Gunnar erwähnte Inline-Modus wird aktiviert.

                    Außer dem Erzwingen des Textstyle gibt's auch noch mehr: \scriptscriptstyle \sqrt\frac{1}{2} + \scriptstyle \sqrt\frac{1}{2} + \textstyle \sqrt\frac{1}{2} + \displaystyle \sqrt\frac{1}{2} \cdot \scriptstyle \int_{-1}^k\pi\sqrt\phi\mathrm d\phi\ \approx \displaystyle \ 42 \scriptstyle +c

                    Die Magick lautet \scriptscriptstyle, \scriptstyle, \textstyle und \displaystyle

                    Rolf

                    -- sumpsi - posui - clusi
                    1. Danke - hab davon nichts gewusst...

  3. Hallo,

    mein Weg ging etwas anders, und zuerst auch VIEL mühsamer. Darum ist mein Bild ziemlich wüst geworden. Im Verlauf der Diskussion ging mir ein Kronleuchter auf...

    Im ersten Versuch hatte ich das Dreiech HFG sowie die beiden "Mützen" auf dem orangen und grünen Kreissektor separat berechnet. Wie deppert...

    Wie Ottogal schon nachgewiesen hat, hat BCEF die halbe Quadratfläche. Das Fünfeck ABFED links davon also auch.

    Ziehe ich vom Fünfeck den orangen und grünen Kreissektor ab, erhalte ich den Schwanz. Fertig. Nix mit Dreiecken und Mützen.

    Addiere ich den blauen und lilafarbenen Kreissektor, erhalte ich das Drachenviereck plus den Bauch - weil der Bauchteil des Fisches die Überlappung darstellt und damit zweimal in diese Addition eingeht.

    Für den Fisch bekommt man also: A(ABFED) - A(Orange) - A(Grün) + A(Blau) + A(Lila) - A(BCEF).

    Fünfeck und Drache sind gleich groß, subtrahieren sich also weg. Ich brauche nur die Flächen der vier Kreissektoren.

    Ich verwende die "Standard-Kreissektorformel". Ein Kreissektor mit Radius r und Öffnungswinkel φ hat die Fläche: A(S_{r, φ}) = \frac{1}{2}φ r^2.1

    Damit ergibt sich A(Lila) - A(Grün) = \frac{1}{2}\alpha 1^2 - \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} - \alpha) 1^2 = \frac{1}{2}\alpha - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\alpha = \alpha - \frac{\pi}{4}

    Und A(Blau) - A(Orange) = \frac{1}{2}(\pi-\alpha) \frac{1}{2}^2 - \frac{1}{2}\alpha \frac{1}{2}^2 = \frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{8} - \frac{\alpha}{8} = \frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{4}

    In Summe A(Fisch) = \alpha - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{4} = \frac{3}{4}\alpha - \frac{\pi}{8}

    Mein α ist doppelt so groß wie Ottogals, darum hat er drei Halbe und ich drei Viertel.

    Für α gibt's mehrere Quellen. Einmal natürlich wie Ottogal über 2\arctan{\frac{1}{2}}; aber α findet sich auch in HFG, und da kennen wir aus Gunnars Aufgabe die Seitenverhältnisse. Gegenkathete zu Hypotenuse ist 4:5, also \alpha = \arcsin\frac{4}{5}

    A(Fisch) = \frac{3}{4}\arcsin\frac{4}{5} - \frac{\pi}{8} \approx 0{,}30277

    Rolf

    1. Was für ein Dreck - das kleine Phi gibt's in drei Glyphen: U+03C6 φ, U+03D5 ϕ und U+0278 ɸ. Das Foren CSS setzt mir "Menlo", "Monaco" und "Consolas" als Font-Family ein, aber Consolas hat die Glyphen für φ und ϕ vertauscht. Im Editor sehe ich den linken der zwei als Kreis mit senkrechtem Strich drin. Alle anderen Windows-Fonts zeigen es andersrum, und die Grafiktafel der Wikipedia ebenso 😟

    -- sumpsi - posui - clusi
    1. Um zu bestätigen, dass Rolfs Ergebnis identisch mit meinem ist, hab ich die folgende Aussage direkt bewiesen:

      Behauptung:

      arcsin{\frac{4}{5}}= 2 \cdot arctan{\frac{1}{2}}

      Beweis:

      Wir setzen \alpha= arctan{\frac{1}{2}}. Dann ist zu zeigen: \sin 2\alpha=\frac{4}{5}.

      arcsin_arctan.png

      Nach Pythagoras ist MB^2 = 2^2+1^2, also MB=\sqrt 5.

      Somit ist \sin 2\alpha=\frac{AF}{AM}=\frac{h}{\sqrt 5}

      Um h zu bestimmen, schreiben wir den Flächeninhalt A_{ABM} auf zwei Arten:

      A_{ABM}=\frac{1}{2} \cdot AB \cdot ME=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2=2

      A_{ABM}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt 5 \cdot h

      Gleichsetzen liefert h=\frac{4}{\sqrt 5}, und damit folgt \sin 2\alpha=\frac{4}{5}.

      1. Hallo ottogal,

        Hier steht:

        \arcsin(x) = 2\arctan \left(\frac x{1+\sqrt{1-x^2}}\right)

        Setze 4/5 ein - ergibt 1/2 als arctan Argument. Passt.

        Keine Ahnung, wer das zum ersten Mal hergeleitet hat und wie. Wikipedia nennt den Bronstein als Literaturangabe, aber ob Bronstein und Semendjajew die Produzenten dieser Formeln sind oder „nur“ die Archivare, weiß ich nicht.

        Rolf

        -- sumpsi - posui - clusi
    2. Hallo,

      Was für ein Dreck - das kleine Phi gibt's in drei Glyphen: U+03C6 φ, U+03D5 ϕ und U+0278 ɸ.

      Ich sehe da nur ein kleines, aber zwei große Phis.

      Gruß
      Kalk

      1. Hallo Tabellenkalk,

        nein, das große Phi ist U+03A6 Φ, das ist was anderes als U+03D5 φ oder U+03C6 ϕ…

        Rolf

        -- sumpsi - posui - clusi
    3. @@Rolf B

      Was für ein Dreck - das kleine Phi gibt's in drei Glyphen: U+03C6 φ, U+03D5 ϕ und U+0278 ɸ. Das Foren CSS setzt mir "Menlo", "Monaco" und "Consolas" als Font-Family ein, aber Consolas hat die Glyphen für φ und ϕ vertauscht. Im Editor sehe ich den linken der zwei als Kreis mit senkrechtem Strich drin. Alle anderen Windows-Fonts zeigen es andersrum, und die Grafiktafel der Wikipedia ebenso 😟

      Die englische Wikipedia klärt auf: Phi > Computing. TL;DR:

      • In grichischen Texten wird φ U+03C6 GREEK SMALL LETTER PHI verwendet. Form je nach Schriftart \varphi oder \phi.

      • Für Mathematik, Physik etc. gibt es die alternative Variante ϕ U+03D5 GREEK PHI SYMBOL. Die sollte üblicherweise so aussehen: \phi.

      • “Prior to Unicode version 3.0 (1998), the glyph assignments in the Unicode code charts were the reverse, and thus older fonts may still show a loopy form φ at U+03D5.”

      • ɸ U+0278 LATIN SMALL LETTER PHI ist für IPA (Lautschrift).

      • TeX: \phi \phi bzw. \varphi \varphi

      LLAP 🖖

      -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
  4. @@ottogal

    Meine Zerlegung sah so aus:

    Skizze

    Aus den Kreisgleichungen ist schnell der Schnittpunkt (⅘, ⅗) der Kreise berechnet. (Deshalb schwimmt mein Fisch in die andere Richtung. Und jaja, die Kreise schneiden sich natürlich in zwei Punkten, der andere ist (0, 1).)

    Das orange markierte Dreieck hat die Kathetenlängen ⅖ und ⅘ − ½ = ³⁄₁₀, die sich also auch wie 4 : 3 verhalten; damit sind die Innenwinkel auch α und β.

    Das Kreissegment A errechnet sich aus dem Kreissektor mit Radius 1 und Winkel β abzüglich des Dreiecks mit Grundseite 1 und Höhe ⅘:

    A = \frac{\beta}{2\pi} \cdot \pi \cdot 1^2 - \tfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tfrac{4}{5} = \tfrac{1}{2} \beta - \tfrac{2}{5}

    Das Kreissegment B errechnet sich aus dem Kreissektor mit Radius ½ und Winkel π − β abzüglich des Dreiecks mit Grundseite ½ und Höhe ⅖:

    B = \frac{\pi - \beta}{2\pi} \cdot \pi \cdot \left( \tfrac{1}{2} \right)^2 - \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{5} = \tfrac{1}{8} \pi - \tfrac{1}{8} \beta - \tfrac{1}{10}

    Die Fläche C errechnet sich aus dem Rechteck mit den Seitenlängen 1 und ⅗ abzüglich des Kreissektors mit Radius 1 und Winkel α und des Dreiecks mit Grundseite ⅗ und Höhe ⅘:

    C = 1 \cdot \tfrac{3}{5} - \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi \cdot 1^2 - \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{4}{5} = -\tfrac{1}{2} \alpha + \tfrac{9}{25}

    Die Fläche D errechnet sich aus dem Rechteck mit den Seitenlängen ½ und ⅖ abzüglich des Kreissektors mit Radius ½ und Winkel β und des Dreiecks mit Grundseite ³⁄₁₀ und Höhe ⅖:

    D = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{5} - \frac{\beta}{2\pi} \cdot \pi \cdot \left( \tfrac{1}{2} \right)^2 - \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{10} \cdot \tfrac{2}{5} = -\tfrac{1}{8} \beta + \tfrac{7}{50}

    Und nun mach’n Fisch!

    A + B + C + D = \tfrac{1}{8} \pi - \tfrac{1}{2} \alpha + \tfrac{1}{4} \beta

    Mit β = ½π − α und α = arcsin ⅗ ergibt sich:

    A + B + C + D = \tfrac{1}{4} \pi - \tfrac{3}{4} \alpha = \tfrac{1}{4} \pi - \tfrac{3}{4} \arcsin \tfrac{3}{5}

    LLAP 🖖

    -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann