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Gunnar Bittersmann
ottogal
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Matthias Apsel
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Camping_RIDER
Gunnar Bittersmann
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Camping_RIDER
J o
Hello,
i*i=-1, wie nennt sich das? Es ist kein physikalisches Gesetz. Nennt man es einfach nur "Theorie"? "Mathematische Regel" wäre mir auch zu einfach. Jedenfalls finde ich den Nutzen für diverse andere Modelle enorm.
Entdeckung, Erfindung, usw. gefallen mir eigentlich auch nicht dafür.
Glück Auf
Tom vom Berg
@@TS
i*i=-1, wie nennt sich das?
Definition.
Das ist die Definition der imaginären Einheit: eine Zahl i ∈ ℂ mit der Eigenschaft i² = −1.
LLAP 🖖
Und mit ihr schreibt sich die "Schönste Formel der Mathematik":
$$e^{i\pi}+1=0$$
https://www.spektrum.de/kolumne/die-schoenste-formel-der-welt/1461437
Edit:
Noch ein Video zum Beweis:
https://www.youtube.com/watch?v=nIL6qUsii68
@@ottogal
Und mit ihr schreibt sich die "Schönste Formel der Mathematik":
$$e^{i\pi}+1=0$$
So richtig schön sieht die Formel aus, wenn sie schön geschrieben wird:
$$\mathrm e^{\mathrm i \mathrm \pi}+1=0$$
e, i und π sind keine Variablen.
LLAP 🖖
Ich schrieb hier keinen mathematischen Fachtext, sondern einen Forumsbeitrag...
Wie schreibst du eigentlich Formeln handschriftlich?
Und mit ihr schreibt sich die "Schönste Formel der Mathematik":
$$e^{i\pi}+1=0$$
das ist keine Formel sondern ein Ausdruck mit einer anderen Schreibweise komplexer Zahlen.
MfG
Und mit ihr schreibt sich die "Schönste Formel der Mathematik":
$$e^{i\pi}+1=0$$
das ist keine Formel sondern ein Ausdruck mit einer anderen Schreibweise komplexer Zahlen.
Die Eulersche Identität ist nach Definition (Aussagenlogik: eine Formel ist ein wohlgeformter Ausdruck) eine Formel.
Es gibt 2 Schreibweisen für komplexe Zahlen. Und die Darstellung behilft sich mit der Gauß'schen Zahlenebene.
MfG
Hallo pl,
das ist keine Formel sondern ein Ausdruck mit einer anderen Schreibweise komplexer Zahlen. Die Eulersche Identität ist nach Definition (Aussagenlogik: eine Formel ist ein wohlgeformter Ausdruck) eine Formel. Es gibt 2 Schreibweisen für komplexe Zahlen. Und die Darstellung behilft sich mit der Gauß'schen Zahlenebene.
Was hat das mit Formel vs. Ausdruck zu tun?
Bis demnächst
Matthias
Es gibt 2 Schreibweisen für komplexe Zahlen. Und die Darstellung behilft sich mit der Gauß'schen Zahlenebene.
Nein, in der Eulerschen Identität wird die Exponentialform z=r·e^(i·φ) genutzt; die Gauß'sche Zahlenebene wäre die Form in Vektoren, wie hier erwähnt; es gibt dann noch mindestens zwei weitere Schreibweisen: algebraisch z=a+i·b und Polarform z=r·(cos(φ)+i·sin(φ)).
Hello,
i*i=-1, wie nennt sich das?Definition.
Nur so eine geringe Würdigigung soll die imaginäre Einheit bekommen?
e und [pi] mag ich ja wenigstens "Naturkonstanten" nennen, die man irgendwann entdeckt hat.
Ich dachte da dann wenigstens an etwas ähnliches. Allerdings kann man bei Definitionen wohl kaum von Entdeckungen sprechen. Trotzdem lässt sich mit dieser so manches Phänomen berechnen, was ohne nicht möglich wäre.
Nun denn, vielleicht findet ja noch jemand eine andere Bezeichnung dafür?
Glück Auf
Tom vom Berg
Hi Tom,
die imaginäre Zahl i ist keine Entdeckung sondern eine Festlegung zum Rechnen mit komplexen Zahlen.
MfG
Aloha ;)
Nur so eine geringe Würdigigung soll die imaginäre Einheit bekommen?
e und [pi] mag ich ja wenigstens "Naturkonstanten" nennen, die man irgendwann entdeckt hat.
Man spricht auch im Zusammenhang mit $$e$$ und $$\pi$$ in der Mathematik nicht von Naturkonstanten.
Auch $$e$$ und $$\pi$$ haben, genau wie die imaginäre Einheit $$i$$, nur den Charakter einer Definition: $$e$$ ist der Grenzwert einer Reihe, $$\pi$$ ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle einer Funktion namens Kosinus, die ihrerseits über eine Taylorreihe definiert ist.
Die Mathematik versteht sich als Strukturwissenschaft, wenn nicht sogar als die Strukturwissenschaft.
Sie hat das Bestreben, auf möglichst wenigen grundlegenden Annahmen (Axiomen) ein logisch begründbares, widerspruchsfreies Gebäude aus Sätzen aufzubauen und bedient sich dabei gewisser Sprachregelungen (Definitionen), um besonders ausgezeichnete Zusammenhänge mit einem Namen zu versehen.
Ich dachte da dann wenigstens an etwas ähnliches. Allerdings kann man bei Definitionen wohl kaum von Entdeckungen sprechen. Trotzdem lässt sich mit dieser so manches Phänomen berechnen, was ohne nicht möglich wäre.
Ja, aber das berechnen selbst hat eigentlich gar nicht so viel mit Mathematik zu tun. Beim Berechnen von Phänomenen sind wir schon in der Anwendung der aus der Mathematik bekannten Regeln, nicht mehr bei der Mathematik selbst (die - wie gesagt - ja nicht nach Einzelergebnissen für irgendwelche Zahlenbeispiele sucht, sondern nach einem logisch aufeinander aufbauenden Gerüst aus Sätzen).
Nun denn, vielleicht findet ja noch jemand eine andere Bezeichnung dafür?
Nun, ja. Aber sicher kein Mathematiker im wissenschaftlichen Sinn. Für das Finden von Bezeichnungen sind gewöhnlich Naturwissenschaftler oder Geisteswissenschaftler auf ihren Gebieten zuständig, in denen sie die Mathematik für ihre Zwecke nutzen. Und manche dieser Bezeichnungen schaffen es dann in den allgemeinen Sprachgebrauch.
Bezeichnungen, die in der Mathematik verwendet werden (man spricht von Definitionen) sind im Allgemeinen sehr sachlich gehalten und versuchen gerade nicht irgendwelche spezifischen Anwendungen zu referenzieren, sondern eben möglichst allgemein gehalten zu sein. Von diesen schaffen es nur sehr wenige in den allgemeinen Sprachgebrauch.
Grüße,
RIDER
@@Camping_RIDER
Auch $$e$$ und $$\pi$$ haben, genau wie die imaginäre Einheit $$i$$, nur den Charakter einer Definition:
?? „Nur den Charakter“?
$$e$$ ist der Grenzwert einer Reihe
Ich hätte gedacht, einer Folge. $$\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$
Aber laut Wikipedia ist e tatsächlich definiert als Grenzwert einer Reihe.
$$\pi$$ ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle einer Funktion namens Kosinus, die ihrerseits über eine Taylorreihe definiert ist.
π ist definiert als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu dessen Durchmesser.
LLAP 🖖
Aloha ;)
Auch $$e$$ und $$\pi$$ haben, genau wie die imaginäre Einheit $$i$$, nur den Charakter einer Definition:
?? „Nur den Charakter“?
Ich verstehe unter „den Charakter einer Definition haben“, dass ein Begriff in Form einer Definition geprägt wird, so wie andere Begriffe in Form von Sätzen geprägt werden.
Die Formulierung $$e$$ ist eine Definition ist genauso unsauber, denn $$e$$ selbst ist keine Definition, sondern ein Begriff, der im Rahmen einer Definition geprägt wird.
Ich habe mich deshalb für diese Formulierung entschieden.
$$e$$ ist der Grenzwert einer Reihe
Ich hätte gedacht, einer Folge. $$\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$
Es gibt unterschiedliche, äquivalente Möglichkeiten, die selbe Zahl zu definieren.
Aber laut Wikipedia ist e tatsächlich definiert als Grenzwert einer Reihe.
Deshalb steht die Definition über den Grenzwert der Folge in Wikipedia unter dem Stichwort ebenfalls auch mit dabei.
$$\pi$$ ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle einer Funktion namens Kosinus, die ihrerseits über eine Taylorreihe definiert ist.
π ist definiert als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu dessen Durchmesser.
Es gibt unterschiedliche, äquivalente Möglichkeiten, die selbe Zahl zu definieren. In der Mathematik sind die Begriffe Kreis und Durchmesser nur in einem kleinen Teilgebiet relevant und definiert (nämlich in der Geometrie), weshalb man für $$\pi$$, das ja auch in vielen anderen Teilgebieten, allen voran in der Analysis, Bedeutung besitzt, für gewöhnlich eine andere - nämlich die genannte - Definition.
Ich zitiere als Referenz dazu gerne mein Analysis-1-Skript:
Grüße,
RIDER
Hello Rider,
schön geschrieben!
Nur eines macht mich noch stutzig:
Auch $$e$$ und $$\pi$$ haben, genau wie die imaginäre Einheit $$i$$, nur den Charakter einer Definition: $$e$$ ist der Grenzwert einer Reihe, $$\pi$$ ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle einer Funktion namens Kosinus, die ihrerseits über eine Taylorreihe definiert ist.
Brook Taylor lebte um 1700. Die Kreiszahl $$\pi$$ wurde aber mindestens schon um 500 pC von Aryabhata erwähnt mit anfänglicher heutiger Genauigkeit. Bis dahin hatte sie schon eine lange Entwicklung mit vielen Forschungen hinter sich gebracht. Insofern möchte ich sie doch als "Narurkonstante" bezeichnen, die es zu entdecken galt.
Als was würdest Du denn die Bedeutungen von Gensequenzen bezeichnen? Davon werden ja auch immer mehr entschlüsselt und die werden nicht definiert, sondern entdeckt.
Glück Auf
Tom vom Berg
Aloha ;)
Brook Taylor lebte um 1700. Die Kreiszahl $$\pi$$ wurde aber mindestens schon um 500 pC von Aryabhata erwähnt mit anfänglicher heutiger Genauigkeit. Bis dahin hatte sie schon eine lange Entwicklung mit vielen Forschungen hinter sich gebracht. Insofern möchte ich sie doch als "Narurkonstante" bezeichnen, die es zu entdecken galt.
Klar, aus Sicht des Naturphilosophen Aryabhata schon. Deshalb schrieb ich ja bewusst, dass Anwendungen oft in den allgemeinen Sprachgebrauch eingehen. Obwohl Aryabhata als Mathematiker bezeichnet wird, hat das, was er getan hat, mit moderner Mathematik nicht mehr viel zu tun, und deshalb hat seine Entdeckung, die er gemacht hat, auch streng genommen keine modern-mathematische Relevanz.
Die Mathematik hat in ihrer Geschichte einen klaren Bruch erlebt: Während frühe Mathematiker in ihren Spezialgebieten (allen voran der Geometrie) Einzelzusammenhänge entdeckt haben, hat es lange gedauert, bis die Mathematik tatsächlich als Strukturwissenschaft aufgefasst und auch entsprechend aufgebaut wurde. Natürlich sind die Ergebnisse der frühen Mathematiker mit der modernen Mathematik konsistent, aber die Herangehensweise war eine ganz andere. So sind auch die Peano-Axiome, auf denen heute ein großer Teil der Mathematik fußt, erst am Ende des 19. Jahrhunderts formuliert worden. Man kann mit Fug und Recht behaupten, dass die Mathematik als Wissenschaft in ihrer heutigen Form erst in den letzten 150 Jahren entstanden ist, und man ist gewissermaßen in der Zeit, als man dabei war, die moderne Mathematik zu formen, einfach hergegangen und hat an den Stellen, an denen nun Ergebnisse früher Mathematiker eingeordnet wurden, eine Würdigung der entsprechenden Person vorgenommen, indem z.B. Sätze entsprechend benannt wurden.
So hat der moderne Satz des Thales zwar natürlich noch die selbe Grundaussage und trägt als Würdigung auch den Namen des griechischen Früh-Mathematikers, aber die Art und Weise, wie man zu ihm kommt, und auch die Formulierung sowie der Aufbau des Satzes haben nur noch sehr wenig mit der ursprünglichen Entdeckung von Thales zu tun. Auch Brook Taylors Taylorentwicklung ist nur inhaltlich, aber nicht der Form nach, identisch mit dem, was wir heute unter Taylorentwicklung verstehen, denn auch Taylors Erkenntnisse stammen noch aus einer Zeit vor der strikten Strukturwissenschaft.
Als was würdest Du denn die Bedeutungen von Gensequenzen bezeichnen? Davon werden ja auch immer mehr entschlüsselt und die werden nicht definiert, sondern entdeckt.
Eben! Da befinden wir uns bei einer Naturwissenschaft, nicht mehr in der Mathematik.
Die moderne Mathematik kennt keine Entdeckungen - mit einer Ausnahme: Das Entdecken von Beweisen für Sätze beziehungsweise der Sätze selbst, die dann nach ihren Entdeckern benannt werden.
Grüße,
RIDER
Brook Taylor lebte um 1700. Die Kreiszahl $$\pi$$ wurde aber mindestens schon um 500 pC von Aryabhata erwähnt mit anfänglicher heutiger Genauigkeit. Bis dahin hatte sie schon eine lange Entwicklung mit vielen Forschungen hinter sich gebracht. Insofern möchte ich sie doch als "Narurkonstante" bezeichnen, die es zu entdecken galt.
Geometrie hat konkrete Anwendungen, wenn man auf der Erde ausreichend kleine Kreise zeichnet (ausreichend klein, sonst ist die Geometrie nicht mehr euklidisch), kann man vermuten, dass es eine Konstante gibt, die Umfang und Durchmesser verbindet; wenn man allerdings axiomatische Geometrie macht, kann man es beweisen.
Als was würdest Du denn die Bedeutungen von Gensequenzen bezeichnen? Davon werden ja auch immer mehr entschlüsselt und die werden nicht definiert, sondern entdeckt.
Wenn man ihnen einen besonderen Namen zuweist, ist das immer eine Definition und ich würde sagen in der Mathematik ist alles, was nicht Axiom aber irgendwie relevant ist, prinzipiell eine Entdeckung.
Hello,
Brook Taylor lebte um 1700. Die Kreiszahl $$\pi$$ wurde aber mindestens schon um 500 pC von Aryabhata erwähnt mit anfänglicher heutiger Genauigkeit. Bis dahin hatte sie schon eine lange Entwicklung mit vielen Forschungen hinter sich gebracht. Insofern möchte ich sie doch als "Narurkonstante" bezeichnen, die es zu entdecken galt.
Geometrie hat konkrete Anwendungen, wenn man auf der Erde ausreichend kleine Kreise zeichnet (ausreichend klein, sonst ist die Geometrie nicht mehr euklidisch), kann man vermuten, dass es eine Konstante gibt, die Umfang und Durchmesser verbindet; wenn man allerdings axiomatische Geometrie macht, kann man es beweisen.
Als was würdest Du denn die Bedeutungen von Gensequenzen bezeichnen? Davon werden ja auch immer mehr entschlüsselt und die werden nicht definiert, sondern entdeckt.
Wenn man ihnen einen besonderen Namen zuweist, ist das immer eine Definition und ich würde sagen in der Mathematik ist alles, was nicht Axiom aber irgendwie relevant ist, prinzipiell eine Entdeckung.
Sehr diplomatisch formuliert. Dafür einen Gummipunkt.
Ich habe als Jugendlicher immer die These vertreten, man könne bestimmt eine neue Mathematik erfinden/entdecken, die ebenfalls wie die vorhandene, in sich schlüssig ist. Aber in ihr gäbe es dann keine irrationalen Zahlen mehr usw.
Aber das ist bis heute Science Fiction geblieben :-O
Glück Auf
Tom vom Berg
Ich habe als Jugendlicher immer die These vertreten, man könne bestimmt eine neue Mathematik erfinden/entdecken, die ebenfalls wie die vorhandene, in sich schlüssig ist. Aber in ihr gäbe es dann keine irrationalen Zahlen mehr usw.
Aber das ist bis heute Science Fiction geblieben :-O
Du meinst sowas wie diskrete Mathematik? Das ist keine Science Fiction, sonst wäre ich ein Sci-Fi-Autor, was mir zwar gefallen würde, aber leider auch ein leicht verzerrtes Bild meiner Tätigkeit zeichnen würde.
Hello,
Ich habe als Jugendlicher immer die These vertreten, man könne bestimmt eine neue Mathematik erfinden/entdecken, die ebenfalls wie die vorhandene, in sich schlüssig ist. Aber in ihr gäbe es dann keine irrationalen Zahlen mehr usw.
Aber das ist bis heute Science Fiction geblieben :-O
Du meinst sowas wie diskrete Mathematik? Das ist keine Science Fiction, sonst wäre ich ein Sci-Fi-Autor, was mir zwar gefallen würde, aber leider auch ein leicht verzerrtes Bild meiner Tätigkeit zeichnen würde.
Könnte sein, dass Du Recht hast. Ich muss allerdings erst das passende Bit in meinem PC finden :-P
Glück Auf
Tom vom Berg
Guten Morgen,
i*i=-1, wie nennt sich das?Definition.
Nur so eine geringe Würdigigung soll die imaginäre Einheit bekommen?
Generell würde ich bei $$i$$ nicht von einer Einheit reden. $$i$$ ist nichts anderes als die (einzige) Zahl auf der imaginären Achse, genauso wie $$1$$ die erste Ganzzahlige Zahl auf der reellen Achse ist.
Richtig spannend wird es dann wenn man weiter definiert. Zum Beispiel:
$$j² = -1$$, $$k² = -1$$, $$ijk = -1$$, $$ij = k$$, $$jk = i$$, $$ki = j$$, $$ji = -k$$, $$kj = -i$$, $$ik = -j$$.
Dann landet man bei den Quaternions, was zur besseren Vorstellung nichts anderes ist als eine Vierdimensionale Komplexe Zahl. Sehr hilfreich bei zum Beispiel Grafik Programmierung und etwas performanter als jeden Vektor mit mit 3 Drehmatrizen zu multiplizieren.
Gruß
Jo
Aloha ;)
Generell würde ich bei $$i$$ nicht von einer Einheit reden. $$i$$ ist nichts anderes als die (einzige) Zahl auf der imaginären Achse, genauso wie $$1$$ die erste Ganzzahlige Zahl auf der reellen Achse ist.
Eben genau aus diesem Grund hat ja der Begriff Einheit überhaupt seine Berechtigung: Die $$1$$ ist die Einheit auf der reellen Achse, $$i$$ ist die Einheit auf der imaginären Achse.
Das ist ja genau das, was im Begriff Einheit schon drinsteckt.
Man könnte sogar soweit gehen zu sagen, dass $$i$$ die Eins der imaginären Achse ist, da in der Mathematik der Begriff Eins gar nicht streng mit der Ziffer $$1$$ besetzt ist, sondern je nach Definition viel allgemeiner das neutrale Element der Multiplikation bezeichnet. Weil im allgemeinen Sprachgebrauch aber eine große Verwechslungsgefahr von Eins mit $$1$$ besteht, spricht man öfter mal lieber von einer Ein(s)heit 😉
Grüße,
RIDER
Man könnte sogar soweit gehen zu sagen, dass $$i$$ die Eins der imaginären Achse ist, da in der Mathematik der Begriff Eins gar nicht streng mit der Ziffer $$1$$ besetzt ist, sondern je nach Definition viel allgemeiner das neutrale Element der Multiplikation bezeichnet.
In diesem Sinn kann man $$i$$ gerade nicht als "Eins" der imaginären Achse bezeichnen, denn $$i$$ ist kein neutrales Element bei der Multiplikation komplexer Zahlen.
Aloha ;)
In diesem Sinn kann man $$i$$ gerade nicht als "Eins" der imaginären Achse bezeichnen, denn $$i$$ ist kein neutrales Element bei der Multiplikation komplexer Zahlen.
Stimmt, mein Fehler! Danke fürs drauf aufmerksam machen, da hab ich nicht weit genug gedacht.
Grüße,
RIDER
Nur so eine geringe Würdigigung soll die imaginäre Einheit bekommen?
e und [pi] mag ich ja wenigstens "Naturkonstanten" nennen, die man irgendwann entdeckt hat.
e und π sind mathematische Konstanten; im Gegensatz zu Naturkonstanten sind sie unabhängig von „Kleinigkeiten“ wie Naturgesetzen oder der konkreten Geometrie unseres Universums.
Allerdings kann man bei Definitionen wohl kaum von Entdeckungen sprechen.
Es ist eine Konstruktion der komplexen Zahlen möglich, ohne i zu definieren (z.B. indem man untersucht, was die Eigenschaften der Menge R² mit Vektoraddition und Multiplikation (a,b)·(c,d)=(a·c-b·d,a·d+b·c) sind); dann kann man i=(0,1) später entdecken, um die Schreibweise der (und das Rechnen mit den) Zahlen zu vereinfachen.
