Mathematik zum Dienstag - rain facts

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

heute morgen wurde im Radio behauptet, wenn die Weltregenjahresmenge nur auf Deutschland fiele, wäre es 1,7 km hoch mit Wasser bedeckt. Dabei würde die Zugspitze noch rausschauen, der Brocken aber nicht mehr.

Da sich aber natürlich auch auf der Zugspitze 1,7 km Regenwasser stapeln würde, das erst hinterher breit läuft, glaub ich das nicht so ohne weiteres.

In meinem Modell (1 Einheit = 1 km) modelliere ich Deutschlands Oberfläche wie folgt:

 3x + 3   für −1 <= x <= 0
−3x + 3   für  0 <  x <= 1
      0   für  1 <  x <= 5

Welche Höhe der Zugspitze schaut noch aus dem Wasser, wenn auf diese Profillinie 1,7 km Wasser fallen, das sich gleichmäßig im Intervall -1 <= x <= 5 verteilt?

Nun aber ran an die Arbeit!

Ich wünsche euch einen schönen Tag!

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

mit oder ohne Zugspitztunnel? Wenn mit - auf welcher Höhe liegt er und welchen Querschnitt hat er?

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

mit oder ohne Zugspitztunnel? Wenn mit - auf welcher Höhe liegt er und welchen Querschnitt hat er?

Ich bin von mit Tunnel ausgegangen, Querschnitt so groß, dass das Wasser links und rechts der Zugspitze gleich hoch steht; und so klein, dass das Volumen des Wassers im Tunnel nicht beachtet werden muss.

LLAP 🖖

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

ich habe zwei Rechnungen gemacht - mit und ohne Vernachlässigung - und kam auf einige Meter Höhenunterschied im Wasserspiegel. Der Tunnel würde also einige Almbauern glücklich machen, dachte ich (vor allem auf der Südseite :D)

Allerdings fällt mir gerade auf, dass ich dabei nicht beachtet habe, dass der Tunnel im verwendeten 2D-Modell eine Breite von 0 hat und damit auch eine Querschnittsfläche von 0m². Mist... Extrudiert man das 2D Modell zu einem 3D-Deutschland (in dem die Zugspitze eine 3km Mauer von Ost nach West wäre), würde meine Vorgehensweise einen Tunnel über die ganze Breite Deutschlands ergeben. Das ist nun total BLÖD, denn dann geht es plumps, die Zugspitzmauer ist 5m niedriger und der Tunnel ist weg. Und wenn ich einen kreisförmigen Tunnel unterstelle und die Extrusion halbwegs maßstäblich auf 5km Breite ziehe, ist das Wasser im 5m breiten Tunnel wirklich nur ein bisschen Pipi im ganzen Regen. Da meckert kein Almschaf hinterher.

Rolf

[Camping_RIDER]

Aloha ;)

ich habe zwei Rechnungen gemacht - mit und ohne Vernachlässigung - und kam auf einige Meter Höhenunterschied im Wasserspiegel.

Dabei war die Vernachlässigung doch sogar explizit Teil der Aufgabenstellung 😉

Grüße,

RIDER

[Auge]

Hallo

ich habe zwei Rechnungen gemacht - mit und ohne Vernachlässigung - und kam auf einige Meter Höhenunterschied im Wasserspiegel.

Allerdings fällt mir gerade auf, dass ich dabei nicht beachtet habe, dass …

Da war sie wieder, die Überschlagsrechnung. Wie glaubwürdig ist es, dass ein Tunnel in einem Berg einen deutschlandweiten Höhenunterschied der Überflutung von mehreren Metern ergäbe? 😉

Tschö, Auge

[Gunnar Bittersmann]

@@Auge

Da war sie wieder, die Überschlagsrechnung.

Da war sie wieder, die kritische Betrachtung des Ergebnisses.

Ich hatte eine „Lösung“ eingereicht, die den Click auf den Senden-Button nicht verdient hat. Die noch nicht einmal das Foto verdient hat, das ich von dem Gekritzel in meinem Schreibblock gemacht habe.

Wenn sich 1,7 km Wassersäule auf eine kleinere Fläche verteilen und ich kriege was raus, was kleiner ist als 1,7 km, dann kann das nicht stimmen. Das hätte mir auffallen müssen – vor dem Abschicken. 🤦‍♂️

LLAP 🖖

[Auge]

Hallo

Da war sie wieder, die Überschlagsrechnung.

Da war sie wieder, die kritische Betrachtung des Ergebnisses.

Wenn sich 1,7 km Wassersäule auf eine kleinere Fläche verteilen und ich kriege was raus, was kleiner ist als 1,7 km, dann kann das nicht stimmen. Das hätte mir auffallen müssen – vor dem Abschicken. 🤦‍♂️

Das erinnert mich an die letzte Volkszählung in der DDR. Das muss etwa Mitte der 1980-er Jahre gewesen sein. Da wurde auch die Wohnraumgrößen aufgenommen und ich in meinem kindlichen Leichtmut trug für die Speisekammer – ja, sowas zu haben war damals üblich – die stattliche Größe von 6qm ein. … Moment mal, 6qm? Sieht aber kleiner aus. Hmm … ach nee! … 0,6qm. 🤦‍♂️

Ach herrje, das Gezeter war groß und schwuppdiwupp hatte ich einen ungehaltenen Staatsbüttel … ähh … Volkszähler am Hals, der sauer war, dass er das in diesem Moment fast schon vollständig ausgefüllte, mehrseitige Formular auf ein neues übertragen musste. Damals habe ich die Plausibilitätsprüfung weggelassen und mit dem Mut des von seiner Berechung Überzeugten den falschen Wert eingetragen, heute hingegen würde ich behaupten, dass ich „schon immer“™️ ein wenig renitent war. 🤔😀

Tschö, Auge

[Tabellenkalk]

Hallo,

Vermutlich hast du versehentlich den Versickerungskoeffizienten mit eingerechnet...

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Vermutlich hast du versehentlich den Versickerungskoeffizienten mit eingerechnet...

Ah ja, klar: durch die Gullys im Tunnel. Welcher zufällig auf der von mir herausbekommenen Höhe gegraben wurde.

LLAP 🖖

[dedlfix]

Tach!

Ah ja, klar: durch die Gullys im Tunnel. Welcher zufällig auf der von mir herausbekommenen Höhe gegraben wurde.

Anscheinend seid ihr noch nicht auf der Zugspitze gewesen und habt auf dem Weg dorthin den Tunnel passiert. Dann würdet ihr wissen, dass der nicht waagerecht sondern mit 25% Gefälle erbaut ist, so dass man ihn nur mit Zahnradbahn durchfahren kann. Zudem verfügt er an den Enden und der Mitte über im Normalfall geschlossene Tore, um den Durchzug zu vermeiden. Da hat es das Wasser also auch nochmal schwerer, in den Tunnel zu gelangen.

dedlfix.

[Rolf B]

Hallo dedlfix,

DEN Tunnel meinte ich doch nicht. Der beginnt auf 1640m (nördlich vom Grat) und mündet am Schneefernerhaus auf 2650, d.h. tiefer als das kann's damit südlich vom Grat nicht werden.

Und jetzt erzähl mir nicht dass der Höllentalgrat doch eigentlich viel niedriger ist - in dem Modell hier gibt's in Ost-West Richtung keine Höhenunterschiede ;)

Nein nein, für meine Rechnung habe ich einen Zugspitzbasistunnel angenommen (bspw. von Leutasch (h=1200) nach Garmisch (h=800)). Aber wie gesagt - ich hab ihn dann auch quer von Basel bis Berchtesgaden gezogen, und damit die Zugspitze 5m absacken lassen. Blöd. Jetzt gucken 5m weniger raus :(

Rolf

[Der Martin]

Hallo,

mit oder ohne Zugspitztunnel? Wenn mit - auf welcher Höhe liegt er und welchen Querschnitt hat er?

Ich bin von mit Tunnel ausgegangen, Querschnitt so groß, dass das Wasser links und rechts der Zugspitze gleich hoch steht; und so klein, dass das Volumen des Wassers im Tunnel nicht beachtet werden muss.

und im Tunnel gibt's doch bestimmt ein paar Gullys. also fließt das Wasser ab und steigt gar nicht über das Tunnelniveau hinaus. :-P

*scnr*,
 Martin

[Email]

heute morgen wurde im Radio behauptet, wenn die Weltregenjahresmenge nur auf Deutschland fiele, wäre es 1,7 km hoch mit Wasser bedeckt. Dabei würde die Zugspitze noch rausschauen, der Brocken aber nicht mehr.

Kann nicht sein. Denn die Zugspitze gehört ja auch zu Deutschland. Also ist sie auch mit Wasser bedeckt.

MFG

[Tabellenkalk]

Hallo,

Also ist sie auch mit Wasser bedeckt.

Und zwar in Form von Schnee!

Gruß
Kalk

[Email]

Hallo,

Also ist sie auch mit Wasser bedeckt.

Und zwar in Form von Schnee!

Genau! Und damit wäre Zugspitz + Eispanzer = höcher als Montblank 😉

(Weil sich Wasser ausdehnt wenn es friert)

MFG

[Tabellenkalk]

Hallo,

Genau! Und damit wäre Zugspitz + Eispanzer = höcher als Montblank 😉

rechne nochmal nach!

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

chemieunterricht.de sagt: Wenn Wasser gefriert, nimmt sein Volumen um 1/11 zu

1/11 von 1700m sind 154m, der Gletschergipfel der Zugspitze liegt also auf 4854m. Wenn man unterstellt, dass der Regen dort oben als Regen fällt und sofort vor Ort gefriert. Diese Überlegung fällt angesichts der übrigen wilden Annahmen aber nicht schwer.

Der Mont Blanc hat nur 4810. Und weil's nur in Deutschland regnet, ist dort auch kein Gletscher, der ihn retten könnte.

Ich glaub's ja selbst nicht, dass ich das sage, aber: Hottimil hat recht 😂

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

chemieunterricht.de sagt: Wenn Wasser gefriert, nimmt sein Volumen um 1/11 zu

Bei Wikipedia fand ich den Faktor 8,19%. Damit hätte der Mont Blanc halt noch 10 Meter Vorsprung…

Gruß
Kalk

Edith glaubt, dass wenn man die Zugspitze auf 3 km aufrundet, man den Weißen Berg auch auf 5 km aufrunden darf…

[Tabellenkalk]

Hallo,

chemieunterricht.de sagt: Wenn Wasser gefriert, nimmt sein Volumen um 1/11 zu

Dieselbe Seite behauptet auch

Beim Gefrieren dehnt sich Wasser um etwa 1/10 aus

Ja watt denn nu? Dann doch lieber Wikipedia…

Gruß
Kalk

[Der Martin]

Hi,

Genau! Und damit wäre Zugspitz + Eispanzer = höcher als Montblank 😉 (Weil sich Wasser ausdehnt wenn es friert)

ich ziehe mich eher zusammen, wenn ich friere.
Die Zeit übrigens auch: Sommerferien sind über 6 Wochen, die Weihnachtsferien nur 2..3 Wochen.

Ciao,
 Martin

[Camping_RIDER]

Aloha ;)

In meinem Modell (1 Einheit = 1 km) modelliere ich Deutschlands Oberfläche wie folgt:

 3x + 3   für −1 <= x <= 0
−3x + 3   für  0 <  x <= 1
      0   für  1 <  x <= 5

Für alle, die's noch nicht raus haben, liefere ich mal eine Visualisierung dieser abschnittsweise definierten Funktion nach.

Grüße,

RIDER

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

es haben sich einige an der mal eben so schnell hingeschusterten Aufgabe beteiligt, nämlich @Rolf B, @Camping_RIDER, @Gunnar Bittersmann und @Tabellenkalk.

Rolf hat zurecht und recht poetisch die Modellierung kritisiert um anschließend eine ebenso lesenswerte Lösung zu liefern: Ja, es ist mir bewusst, dass die Modellierung unbrauchbar ist. Aber: Models hinken. Immer.

Wie dem auch sei, in diesem Modell schaut die Zugspitze ca. 840 m aus dem Wasser. Solange bis sie von Viserionff zerstört wird.

Etwas schwieriger wird folgende Aufgabe: In einer ausreichend hohen Schachtel mit der Grundfläche von 100 cm² steht ein gerader hinreichend schwerer Kreiskegel mir dem Radius 1 und der Höhe 3 cm. In diese Schachtel fülle ich 150 cm³ Wasser. Wie weit schaut der Kreiskegel raus?

Aber nun weiß ich immer noch nicht, ob die Zugspitzspitze aus dem Wasser ragen würde. Ich hab schon überlegt, ob ich mir eine 3D-Karte kaufe und die entsprechende Höhe experimentell bestimme.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

Aber nun weiß ich immer noch nicht, ob die Zugspitzspitze aus dem Wasser ragen würde.

Also ich hab mal gegoogelt. Laut engmaschigem DWD Niederschlagsmeßnetz (sagt Jörg aus Berlin in wzforum.de) ist die mittlere Höhe Deutschlands 287m. Ich habe jetzt aber nicht verstanden, wo er das her hat. Vielleicht sind das einfach nur die Höhen über NN der Stationen, die er gemittelt hat...

Kippt man da die 1,7km Wasser drauf, kommen ca 2km raus. Die Zugspitze und einige Alpengipfel sind höher, machen aber auf der Gesamtfläche nicht so viel aus.

Für eine bessere Rechnung brauchst Du eine Höhenkarte Deutschlands. Hier sind die Rohdaten sicherlich irgendwo dabei. Du könntest die Höhen in einem engen Raster abtasten und dann entweder dreieckige Säulen mit schräger Deckfläche bilden oder einfach über je 4 Punkte einen Quader bilden und dessen Höhe als die mittlere Höhe dieser Punkte ansetzen. Du musst nur dran denken, dass die Abstände zwischen Meridianen sinken, wenn Du nach Norden gehst.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

Laut engmaschigem DWD Niederschlagsmeßnetz (sagt Jörg aus Berlin in wzforum.de) ist die mittlere Höhe Deutschlands 287m.

Ja, das habe ich auch gefunden.

Ich habe jetzt aber nicht verstanden, wo er das her hat. Vielleicht sind das einfach nur die Höhen über NN der Stationen, die er gemittelt hat...

So denke ich das auch. Es sind 18820 Stationen.

Kippt man da die 1,7km Wasser drauf, kommen ca 2km raus. Die Zugspitze und einige Alpengipfel sind höher, machen aber auf der Gesamtfläche nicht so viel aus.

Darf man das wirklich einfach so überschlagen?

Für eine bessere Rechnung brauchst Du eine Höhenkarte Deutschlands. Hier sind die Rohdaten sicherlich irgendwo dabei. Du könntest die Höhen in einem engen Raster abtasten und dann entweder dreieckige Säulen mit schräger Deckfläche bilden oder einfach über je 4 Punkte einen Quader bilden und dessen Höhe als die mittlere Höhe dieser Punkte ansetzen. Du musst nur dran denken, dass die Abstände zwischen Meridianen sinken, wenn Du nach Norden gehst.

Ja, das wäre denkbar.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

Darf man das wirklich einfach so überschlagen?

Wenn die mittlere Höhe Deutschlands 287m beträgt, kannst Du Deutschland durch eine Scheibe ersetzen, die 287m dick ist. Ein gewisser Fehler entsteht dadurch, dass einige Berge über 2000m hinausragen, also nicht überflutet werden. Das über den Wasserspiegel hinausragende Volumen müsste aus der Scheibe herausgerechnet werden, was den Wasserspiegel etwas sinken lässt, was zu weiterem Volumen führt, das man herausrechnen muss, etc, bis sich die Folge auf einem Grenzwert einpendelt (ok, dessen Existenz wäre zu beweisen).

TL;DR: Ja.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Etwas schwieriger wird folgende Aufgabe: In einer ausreichend hohen Schachtel mit der Grundfläche von 100 cm² steht ein gerader hinreichend schwerer Kreiskegel mir dem Radius 1 und der Höhe 3 cm. In diese Schachtel fülle ich 150 cm³ Wasser. Wie weit schaut der Kreiskegel raus?

Da komme ich auf eine kubische Gleichung. Wolfram Alpha findet die Näherungslösung. Nanu? Wasserstandshöhe kleiner als 1.5 cm? Jetzt nicht dieselbe Dummheit wieder begehen!

Ah ja, Vorzeichen falsch. Wieder Wolfram Alpha befragt: Wasserstandshöhe etwas größer als 1.5 cm.

Und jetzt nicht wieder denselben Fehler begehen und nicht genau die Aufgabe lesen, wonach denn eigentlich gefragt ist! Nämlich nicht nach der Wasserstandshöhe! Es kucken etwas weniger als 1.5 cm vom Kegel aus dem Wasser.

LLAP 🖖

[Der Martin]

Hallo Gunnar,

Etwas schwieriger wird folgende Aufgabe: In einer ausreichend hohen Schachtel mit der Grundfläche von 100 cm² steht ein gerader hinreichend schwerer Kreiskegel mir dem Radius 1 und der Höhe 3 cm. In diese Schachtel fülle ich 150 cm³ Wasser. Wie weit schaut der Kreiskegel raus?

Da komme ich auf eine kubische Gleichung.

klar, weil die Querschnittsfläche des Kegels linear mit der Höhe abnimmt.

Und jetzt nicht wieder denselben Fehler begehen und nicht genau die Aufgabe lesen, wonach denn eigentlich gefragt ist! Nämlich nicht nach der Wasserstandshöhe! Es kucken etwas weniger als 1.5 cm vom Kegel aus dem Wasser.

Das war mir schon klar, ohne überhaupt tiefer in die Rechnung einzusteigen: 150ml Wasser in einen Behälter mit 100cm² Grundfläche schütten, das ergibt eine Wasserschicht von 1.5cm. Der Kegel mit dem Radius 1 (gemeint war vermutlich auch 1cm) macht nur rund 3% der Grundfläche aus, ist also klein gegenüber der gesamten Grundfläche. Da er sich außerdem nach oben verjüngt (anders als ein Zylinder), wird sein Einfluss mit steigendem Wasserstand noch geringer. Der Wasserstand kann also nicht mehr als etwa 3% steigen, wenn man den Kegel reinstellt.
Und 3% von 1.5cm sind ... weniger als 0.5mm!

Sollte eine derartige Abschätzung wirklich das Ziel der Aufgabe sein?

Schönes Wochenende noch,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

Der Kegel mit dem Radius 1 (gemeint war vermutlich auch 1cm) macht nur rund 3% der Grundfläche aus,

des Kegels Grundfläche 😜

Sollte eine derartige Abschätzung wirklich das Ziel der Aufgabe sein?

Ein bisschen das Gehirn anstrengen schadet doch nicht 😉

Wenn man jetzt Deutschlands Oberfläche mithilfe dreiseitiger Prismoide modellierte, …

Bis demnächst
Matthias