Mathematik zur Abkühlung

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Gegeben ist ein Quadrat mit aufgesetzem Halbkreis sowie P(3|0).

a) Berechne die Länge der Strecke SK.
b) Berechne für beliebige Quadrate die Länge der Strecke QK in Abhängkeit von der Länge der Strecke OP.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

ich hab was eingeschickt. Jetzt bin ich ja sowas von cool 🧊 ❄️ 🥶 😂

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Gegeben ist ein Quadrat mit aufgesetzem Halbkreis sowie P(3|0).

a) Berechne die Länge der Strecke SK.
b) Berechne für beliebige Quadrate die Länge der Strecke QK in Abhängkeit von der Länge der Strecke OP.

Die Aufgabe ist nicht eindeutig. Es wird nicht festgelegt, welche Punkte variabel sind!

Gruß
Kalk

[Matthias Apsel]

Hallo Tabellenkalk,

Die Aufgabe ist nicht eindeutig. Es wird nicht festgelegt, welche Punkte variabel sind!

Alle. Außer die, die sich durch Konstruktion ergeben.

Bis demnächst
Matthias

[Tabellenkalk]

Hallo,

Die Aufgabe ist nicht eindeutig. Es wird nicht festgelegt, welche Punkte variabel sind!

Alle. Außer die, die sich durch Konstruktion ergeben.

Wie gesagt: nicht eindeutig. S scheint von dir als festgelegt wahrgenommen zu werden. Ich kann mir aber auch einen konstanten, konstruierten Punkt K und einen sich ergebenden Schnittpunkt S vorstellen.

Gruß
Kalk

[Matthias Apsel]

Hallo Tabellenkalk,

Die Aufgabe ist nicht eindeutig. Es wird nicht festgelegt, welche Punkte variabel sind!

Alle. Außer die, die sich durch Konstruktion ergeben.

Wie gesagt: nicht eindeutig. S scheint von dir als festgelegt wahrgenommen zu werden. Ich kann mir aber auch einen konstanten, konstruierten Punkt K und einen sich ergebenden Schnittpunkt S vorstellen.

S ist als Diagonalenschnittpunkt erkennbar.

Bis demnächst
Matthias

[Tabellenkalk]

Hallo,

S ist als Diagonalenschnittpunkt erkennbar.

Das mag sein. Wo aber wird postuliert, dass PK durch S gehen muss? In der Zeichnung kann es grade zufall sein...

Gruß
Kalk

[Matthias Apsel]

Hallo Tabellenkalk,

Wo aber wird postuliert, dass PK durch S gehen muss? In der Zeichnung kann es grade zufall sein...

Das stimmt.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

da das Quadrat bemaßt ist, sollte die Kantenlänge von 24 Einheiten für den Teil 1 der Aufgabe gegeben sein.

Was ich noch vorausgesetzt habe, ist, dass P ein Punkt auf derjenigen Seite des Quadrats ist, die dem Halbkreis gegenüberliegt. Das nenne ich „unten“. Und P habe den Abstand x von der linken unteren Ecke. Um die Darstellung zu vereinfachen, lege ich den Koordinatenursprung in diese Ecke und lasse X- und Y-Achse auf vertraute Weise entlang der Quadratkanten laufen. Das Quadrat habe die Kantenlänge $$a$$.

Damit ergibt sich für P die Koordinate (x|0), und ich setze weiter voraus, dass $$0 \le x < \frac{a}{2}$$ gilt.

Für $$x = \frac{a}{2}$$ liest man $$\overline{SK}=a$$ ab, und $$x > \frac{a}{2}$$ ist symmetrisch zu $$x < \frac{a}{2}$$.

$$x = 0$$ kann man auch ablesen ($$\overline{SK}=\frac{\sqrt 2}{2} \cdot a$$), vermutlich hätte ich das in meiner Einreichung separat betrachten müssen weil Q und K dann zusammenfallen.

Den Zweig $$x < 0$$ habe ich nicht betrachtet, weil es dann keinen Schnittpunkt der Geraden PS mit dem Halbkreis gibt.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

da das Quadrat bemaßt ist, sollte die Kantenlänge von 24 Einheiten fix sein.

Es heißt

Berechne für beliebige Quadrate

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

ja, hab ich ja gemacht. Und den Text oben nochmal geändert.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

wie so oft, ist die Wahl der richtigen Hilfslinie wichtig. Diesmal ist es die andere Hälfte des Kreises.

Um Brüche im Nenner zu vermeiden, nehmen wir nicht die Seitenlänge des Quadrates, sondern den Radius des Kreises als Parameter. Die Länge der Strecke OP sei p.

DC und SK sind Sehnen desselben Kreises. Für die gilt der Sehnensatz, den @ottogal auch verwendet hat, allerdings ohne ihn zu nennen, dafür fällt bei ihm der Beweis quasi nebenbei mit ab.

Sehnensatz: Das Produkt der Sehnenabschnitte der einen Sehne ist gleich dem Produkt der Sehnenabschnitte der anderen Sehne.

Damit gilt:

DQ = 2r - p
QC = p

SQ = PS

PS lässt sich über den Pythagoras ermitteln: $$\overline{PS}^2=r^2+(r-p)^2$$, für QK kann der Sehnensatz verwendet werden.

$$QK = \frac{(2r-p) \cdot p}{\sqrt{r^2 + (r-p)^2}}$$

Damit ist Teil b) erledigt.

Für Teil a) können wir noch ein bisschen addieren und erhalten:

$$SK = \frac{2r}{\sqrt{r^2 + (r-p)^2}}$$

Mit r = 12 und p = 3 ergibt sich SK = 96/5.

Alternativ kann man auch hier den Sehnensatz verwenden. Das Dreieck zur Berechnung von PS hat die Katheten 9 und 12, also ist PS = SQ = 15 (3-4-5-Dreieck). Die beiden anderen Sehnenabschnitte sind 3 und 21.

Damit ist die gesuchte Streckenlänge $$15 + \frac{3 \cdot 21}{15}$$

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

tja. Sehnensatz. So einfach kann's sein.

Da man gesendete Post nicht bearbeiten oder zitieren kann, erspare ich mir das Posten meiner arctan-Wüste...

Rolf

[Rolf B]

Hallo Matthias,

danke für die Weiterleitung. Hier also mein Ansatz. Ganz anders... Aus irgendeinem Grund jammert das Forum immer ein Uups, wenn ich mein Bild hochladen will. Ich verlinke es also einfach. Externe Imagelinks scheinen ja auch nicht zu gehen.

http://images.borchmann.one/Cooldown-August2020.PNG

Im Falle von P=(3|0) ergibt sich ein nettes rechtwinkliges 3-4-5 Dreieck mit dem Winkel <EPS = α. Der findet sich als Stufenwinkel auch oben am kleinen Dreieck QCK wieder.

Ich habe nun noch den Halbkreis zu einem Vollkreis ergänzt. Bei Punkt C findet sich ein Peripheriewinkel über der Sehne DS, und der beträgt 45°. Weil's ja die Quadratdiagonale ist. Und weil es ein Peripheriewinkel ist, beträgt auch der Winkel DKS 45°.

Nun kann ich den Sinussatz anwenden.

$$\displaystyle \frac{\overline{QC}}{sin45°} = \frac{x}{sin(135°-\alpha)}$$

QC ist wegen der Symmetrie am Quadrat gleich OP, und sin(135°-α) „vereinfacht“ sich mit Additionstheorem zu $$\frac{\sqrt 2}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha)$$. Mit $$\sin 45° = \frac{\sqrt 2}{2}$$ folgt daraus

$$x = \overline{OP} (\cos \alpha + \sin \alpha)$$

Fun Fact: Die Größe des Quadrats ist für die Länge von x komplett egal.

Im Falle unseres 3-4-5 Dreiecks ist $$\cos \alpha = 0,6$$ und $$\sin \alpha = 0{,}8$$, QK hat also die Länge

$$\overline{QK} = x = 1{,}4\cdot OP = 4{,}2$$

Die Länge von SQ ist gleich der Länge von PS, und wegen unseres 3-4-5 Dreiecks ist das die halbe Quadratseitenlänge plus 25%, also 15. Die Länge von SK ist also 19.2.

Für ein beliebiges P muss man dann wohl umständlicher rechnen. Falls P in der Seitenmitte liegt, ergibt sich SK=a als Sonderfall, und für ein kleineres OP ergibt sich α als Arcustangens:

$$\displaystyle \alpha = \arctan \frac{a/2}{a/2 - \overline{OP}}= \arctan \frac{a}{a - 2\overline{OP}}$$

und die Länge von SK mittels Phythagoras. Also

$$\overline{SK}$$
$$= \overline{PS} + x$$
$$\displaystyle = \sqrt{\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{a}{2} - \overline{OP}\Bigr)^2} + \overline{OP} \Bigl(\cos \arctan \frac{a}{a - 2\overline{OP}} + \sin \arctan \frac{a}{a - 2\overline{OP}}\Bigr)$$

Es gibt zwar Ersatzformeln für sin(arctan x) und cos(arctan x), und die kann man einsetzen wenn man die Formel programmieren will, die machen die Lösung aber nicht übersichtlicher…

Oder gefällt Dir dies hier besser als die Summe von sin arctan und cos arctan?

$$\displaystyle \frac{1+\frac{a}{a - 2\overline{OP}}}{\sqrt{1+\Bigl(\frac{a}{a - 2\overline{OP}}\Bigr)^2}}$$

Ja. Soweit meine Post an Matthias. Meine Arctan-Ersatzformel und sein Sehnensatzergebnis riechen leicht ähnlich, und vielleicht kann man mit der Algebratrickkiste das eine in das andere überführen. Vielleicht hab ich auch irgendwo eine Klasser oder ein Quadrat verschlunzt. Aber das analysiere nicht mehr heute und auch nicht dieses Wochenende.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Sehnensatz – noch nie gehört. (Oder erfolgreich vergessen.)

Ich hatte wieder gerechnet, allerdings ohne Winkelfunktionen. Das eingemalte Koordinatensystem ignoriert und mein eigenes gemacht: Ursprung im Mittelpunkt des Kreises, der (da man sich mit großen Zahlen leicht verrechnet) ein Einheitskreis ist: x² + y² = 1.

Den linken unteren Eckpunkt des Quadrats benenne ich mal um in A, um das O für meinen Koordinatenursprung frei zu haben.

AP = p, OQ = q, q = 1 − p.

Die Gerade durch P, S, Q und K hat die Gleichung $$y = \frac{1}{q}x-1 $$.

Damit weitergerechnet – und verrechnet, trotz kleiner Zahlen. 😞

Am Ende sollte dasselbe rauskommen – bis auf den Faktor 12.

😷 LLAP

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Sehnensatz – noch nie gehört.

Gehört schon - und zwar im Rahmen von Recherchen für Matheaufgaben in diesem Forum.

Behalten - leider nein.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

Sehnensatz – noch nie gehört.

Es gibt ihn auch als Sekanten-Tangenten-Satz bzw. als Sekantensatz. Im Prinzip gleichlautend.

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Die Gerade durch P, S, Q und K hat die Gleichung $$y = \frac{1}{q}x-1 $$.

Das finde ich ebenfalls eine clevere Idee.

Damit weitergerechnet – und verrechnet, trotz kleiner Zahlen. 😞

Ich erhalte $$\mathrm{K}\left( \frac{2q}{q^2+1} \bigg| \frac{1-q^2}{q^2+1} \right) $$ …

Am Ende sollte dasselbe rauskommen – bis auf den Faktor 12.

… und WolframAlpha für |QK| mit q = 3/4 und den Faktor 12

Also kommt dasselbe raus.

Bis demnächst
Matthias