Gunnar Bittersmann: Mathematik zum Dienstag

Was ist die größte Zahl n, für die die Wurzel aus n! ganzzahlig ist? (Mit Begründung.)

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  1. Hallo Gunnar,

    fertig 😂

    Rolf

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    sumpsi - posui - obstruxi
    1. @@Rolf B

      fertig 😂

      👏

      Und hier @Rolf B⁠s Lösung:

      ich denke, die Antwort ist 1.

      Begründung: Um aus einer Fakultät die Wurzel ziehen zu können, muss jeder Primfaktor in gerader Häufigkeit vorkommen. Die 1 ist die Ausnahme, weil die Wurzel aus 1 wieder 1 ist.

      Das kann aber nicht gehen. Betrachtet man n! für irgendein n, dann enthält die Menge M der multiplizierten Zahlen [1...n] Primzahlen. Eine davon, p, ist die größte. Damit n! eine Quadratzahl ist, muss p ein weiteres Mal in M auftauchen, es muss also $$2p \le n$$ sein.

      Nun gibt es aber einen Satz über Primzahllücken von Joseph Bertrand, der besagt, dass zwischen n und 2n mindestens eine weiter Primzahl liegt. Daraus folgt, dass ein p mit $$2p \le n$$ nicht die größte Primzahl in M sein kann.

      Ein größeres p ist aber ein Primfaktorsolitär in M und würde eine ganzzahlige Wurzel verhindern.

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      1. Hallo Gunnar,

        es war ein reiner Glücksfall, dass mir das Stichwort "Primzahlenlücke" in den Sinn kam und ich den Wikipedia-Artikel dazu fand. Im Kopf hätte ich den Satz von Bertrand nicht gehabt.

        Rolf

        --
        sumpsi - posui - obstruxi
        1. @@Rolf B

          Und hier @Rolf B⁠s Lösung:

          Oops. Ticket

          es war ein reiner Glücksfall, dass mir das Stichwort "Primzahlenlücke" in den Sinn kam und ich den Wikipedia-Artikel dazu fand. Im Kopf hätte ich den Satz von Bertrand nicht gehabt.

          Den Namen hätte ich nicht gewusst, aber dass zwischen n und 2n mindestens eine Primzahl liegt, hatte ich im Hinterkopf.

          Ich hätte das etwas irgendwie anders in meiner Begründung verwurstelt; deine fand ich elegant.

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