Mathematik zum Dienstag

[Gunnar Bittersmann]

Was ist die größte Zahl n, für die die Wurzel aus n! ganzzahlig ist? (Mit Begründung.)

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[Rolf B]

Hallo Gunnar,

fertig 😂

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

fertig 😂

👏

Und hier @Rolf B⁠s Lösung:

ich denke, die Antwort ist 1.

Begründung: Um aus einer Fakultät die Wurzel ziehen zu können, muss jeder Primfaktor in gerader Häufigkeit vorkommen. Die 1 ist die Ausnahme, weil die Wurzel aus 1 wieder 1 ist.

Das kann aber nicht gehen. Betrachtet man n! für irgendein n, dann enthält die Menge M der multiplizierten Zahlen [1...n] Primzahlen. Eine davon, p, ist die größte. Damit n! eine Quadratzahl ist, muss p ein weiteres Mal in M auftauchen, es muss also $$2p \le n$$ sein.

Nun gibt es aber einen Satz über Primzahllücken von Joseph Bertrand, der besagt, dass zwischen n und 2n mindestens eine weiter Primzahl liegt. Daraus folgt, dass ein p mit $$2p \le n$$ nicht die größte Primzahl in M sein kann.

Ein größeres p ist aber ein Primfaktorsolitär in M und würde eine ganzzahlige Wurzel verhindern.

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[Rolf B]

Hallo Gunnar,

es war ein reiner Glücksfall, dass mir das Stichwort "Primzahlenlücke" in den Sinn kam und ich den Wikipedia-Artikel dazu fand. Im Kopf hätte ich den Satz von Bertrand nicht gehabt.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Und hier @Rolf B⁠s Lösung:

Oops. Ticket

es war ein reiner Glücksfall, dass mir das Stichwort "Primzahlenlücke" in den Sinn kam und ich den Wikipedia-Artikel dazu fand. Im Kopf hätte ich den Satz von Bertrand nicht gehabt.

Den Namen hätte ich nicht gewusst, aber dass zwischen n und 2n mindestens eine Primzahl liegt, hatte ich im Hinterkopf.

Ich hätte das etwas irgendwie anders in meiner Begründung verwurstelt; deine fand ich elegant.

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