Primarstufenmathematik zum Wochenende, -anfang und darüber hinaus – Lösung

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Der schwierigste Aufgabentyp ist dabei, die drei äußeren Zahlen vorzugeben.

a) Zeige, dass alle Aufgaben dieses Typs eindeutig lösbar sind.

b) Bestimme die Lösung.

Ich kopiere einfach die Lösung von @Rolf B

wenn man die inneren Felder p,q,r benennt (beginnend oben, im Uhrzeigersinn) und die äußeren Felder a,b,c (beginnend bei p+q, gegen den Uhrzeigersinn), dann bekommt man ein Gleichungssystem:

p + q     = a
p     + r = b
    q + r = c

Es mir hier zu mühsam, mit Latex alle nötigen Matrizen zu setzen. Man kann es jedenfalls diagonalisieren, oder mit Cramer die Lösung mit Determinanten finden.

Nennerdeterminante ist -2, Zählerdeterminanten sind für p: c-a-b, für q: b-a-c, für r: a-b-c

Also gibt es grundsätzlich, egal wie a,b,c lauten, eine existierende, eindeutige Lösung in $$\mathbb Q$$:

$$\displaystyle p=\frac{a+b-c}{2}, \quad q=\frac{a+c-b}{2}, \quad r=\frac{b+c-a}{2}$$

Lösungsweg für die Schülerinnen und Schüler: Addiere die beiden anliegenden Zahlen, subtrahiere die dritte und halbiere das Ergebnis.

c) Benenne (möglichst wenige) Kriterien für die äußeren Zahlen, damit alle Zahlen natürliche Zahlen (ohne Null) sind.

• Die Summe muss gerade sein. (Ergibt sich auch aus der Tatsache, dass die Außensumme das Doppelte der Innensumme ist.)
• Die Zahlen müssen die Dreiecksungleichung erfüllen. (Der Lehrkraft würde man vielleicht sagen: Die Summe der kleineren Zahlen muss größer als die dritte sein und die Zahlen dürfen sich nicht zu sehr unterscheiden.)

Korrekte Lösungen kamen von @Gunnar Bittersmann, @Rolf B und @herrmann.

Bis demnächst
Matthias