ottogal: Mathematik zur Wochenmitte - Lösung: Nach-Nachtrag

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Hallo in die Runde,

ich habe mir inzwischen doch etwas Zeit genommen und versucht, die fragliche Funktion zu ermitteln - wenigstens für einen Fall.

Kugelhalbierung_vertikal_.png

Gegeben sind:

  • die Seitenlängen des großen Rechtecks: w und h
  • die des ausgeschnittenen Rechtecks ABCD:
    p=AD=BC und q=AB=DC
  • der Winkel α, um den das Rechteck ABCD aus der horizontalen Lage gedreht ist
  • die x-Koordinate a des Eckpunkts A

b, c, d seien die x-Koordinaten der übrigen Ecken B, C, D.

Wir betrachten den Fall,
dass α positiv ist und so klein, dass c nicht links von a liegt;
das ist gleichbedeutend mit uv.

Zur Abkürzung setzen wir
u=ad=bc,
v=cd=ba,
s=AE=FC,
z=s2u.

A bezeichne die Fläche von AED bzw. CFB.

Man liest ab:

u=psinα und v=qcosα.

(Die obige Voraussetzung uv ist somit gleichbedeutend mit
tanαqp, also αarctanqp.)

Ferner ist

s=pcosα, daher

A=12su=12p2tanα

und folglich

z=Au2=12cosαsinα.

x sei die Stelle, bei der die vertikale Schnittgerade die x-Ache schneidet.

Die gesuchte Funktion f für den grünen Flächenteil hat auf den durch 0, a, b, c, d und w begrenzten Teilintervallen unterschiedliche Funktionsterme - abwechselnd lineare und quadratische.
(Wir nehmen jeweils die geschlossenen Teilintervalle als Definitionsmenge; an den gemeinsamen Trennstellen a, b, c, d stimmen jeweils die Funktionswerte der benachbarten Teilfunktionen überein: f ist überall stetig!)

Ich habe folgende Teilfunktionen gefunden:

Intervall [0;d]:

f1(x)=hx

Intervall [d;a]:

f2(x)=hxz(xd)2

Intervall [a;c]:

f3(x)=(hs)x+12s(d+a)

Intervall [c;b]:

f4(x)=z(bx)2+hxpq

Intervall [b;w]:

f5(x)=hxpq

Die anderen Fälle
lassen sich durch Spielen mit der Geogebra-Zeichnung inspizieren, von der das obige Bild einen Zustand zeigt: https://www.geogebra.org/m/ad5bcanp

Mit den Schiebereglern lassen sich die Werte der gegebenen Größen variieren (insbesondere natürlich α), der Punkt A lässt sich vertikal verschieben. (Freilich muss man darauf achten, dass das kleine Rechteck nicht aus dem großen herausragt.)
Der x-Wert der roten Schnittlinie lässt sich durch Verschieben des roten Punktes ändern.

Man erkennt, welche Änderungen gegenüber dem oben behandelten Fall nötig wären - im wesentlichen ist die Situation die gleiche.

Vielleicht hats ja doch noch jemand interessant gefunden...
Viele Grüße und ein schönes Wochenende
ottogal