Hallo in die Runde,
ich habe mir inzwischen doch etwas Zeit genommen und versucht, die fragliche Funktion zu ermitteln - wenigstens für einen Fall.
Gegeben sind:
- die Seitenlängen des großen Rechtecks: w und h
- die des ausgeschnittenen Rechtecks ABCD:
p=AD=BC und q=AB=DC - der Winkel α, um den das Rechteck ABCD aus der horizontalen Lage gedreht ist
- die x-Koordinate a des Eckpunkts A
b, c, d seien die x-Koordinaten der übrigen Ecken B, C, D.
Wir betrachten den Fall,
dass α positiv ist und so klein, dass c nicht links von a liegt;
das ist gleichbedeutend mit u≤v.
Zur Abkürzung setzen wir
u=a−d=b−c,
v=c−d=b−a,
s=AE=FC,
z=s2u.
A△ bezeichne die Fläche von △AED bzw. △CFB.
Man liest ab:
u=psinα und v=qcosα.
(Die obige Voraussetzung u≤v ist somit gleichbedeutend mit
tanα≤qp, also α≤arctanqp.)
Ferner ist
s=pcosα, daher
A△=12su=12p2tanα
und folglich
z=A△u2=12cosαsinα.
x sei die Stelle, bei der die vertikale Schnittgerade die x-Ache schneidet.
Die gesuchte Funktion f für den grünen Flächenteil hat auf den durch 0, a, b, c, d und w begrenzten Teilintervallen unterschiedliche Funktionsterme - abwechselnd lineare und quadratische.
(Wir nehmen jeweils die geschlossenen Teilintervalle als Definitionsmenge; an den gemeinsamen Trennstellen a, b, c, d stimmen jeweils die Funktionswerte der benachbarten Teilfunktionen überein: f ist überall stetig!)
Ich habe folgende Teilfunktionen gefunden:
Intervall [0;d]:
f1(x)=hx
Intervall [d;a]:
f2(x)=hx−z(x−d)2
Intervall [a;c]:
f3(x)=(h−s)x+12s(d+a)
Intervall [c;b]:
f4(x)=z(b−x)2+hx−pq
Intervall [b;w]:
f5(x)=hx−pq
Die anderen Fälle
lassen sich durch Spielen mit der Geogebra-Zeichnung inspizieren, von der das obige Bild einen Zustand zeigt: https://www.geogebra.org/m/ad5bcanp
Mit den Schiebereglern lassen sich die Werte der gegebenen Größen variieren (insbesondere natürlich α), der Punkt A lässt sich vertikal verschieben. (Freilich muss man darauf achten, dass das kleine Rechteck nicht aus dem großen herausragt.)
Der x-Wert der roten Schnittlinie lässt sich durch Verschieben des roten Punktes ändern.
Man erkennt, welche Änderungen gegenüber dem oben behandelten Fall nötig wären - im wesentlichen ist die Situation die gleiche.
Vielleicht hats ja doch noch jemand interessant gefunden...
Viele Grüße und ein schönes Wochenende
ottogal