Mathematik zur Wochenmitte - Lösung: Nach-Nachtrag

[ottogal]

Hallo in die Runde,

ich habe mir inzwischen doch etwas Zeit genommen und versucht, die fragliche Funktion zu ermitteln - wenigstens für einen Fall.

Gegeben sind:

• die Seitenlängen des großen Rechtecks: $$w$$ und $$h$$
• die des ausgeschnittenen Rechtecks ABCD:
  $$p=AD=BC$$ und $$q=AB=DC$$
• der Winkel $$\alpha$$, um den das Rechteck ABCD aus der horizontalen Lage gedreht ist
• die x-Koordinate $$a$$ des Eckpunkts $$A$$

$$b$$, $$c$$, $$d$$ seien die x-Koordinaten der übrigen Ecken $$B$$, $$C$$, $$D$$.

Wir betrachten den Fall,
dass $$\alpha$$ positiv ist und so klein, dass $$c$$ nicht links von $$a$$ liegt;
das ist gleichbedeutend mit $$u\leq v$$.

Zur Abkürzung setzen wir
$$u=a-d=b-c$$,
$$v=c-d=b-a$$,
$$s=AE=FC$$,
$$z=\dfrac{s}{2u}$$.

$$\mathcal{A_{\triangle}}$$ bezeichne die Fläche von $$\triangle AED$$ bzw. $$\triangle CFB$$.

Man liest ab:

$$u=p \sin \alpha \quad$$ und $$\quad v=q \cos \alpha$$.

(Die obige Voraussetzung $$u\leq v$$ ist somit gleichbedeutend mit
$$\tan \alpha \leq \dfrac{q}{p}$$, also $$\quad \alpha \leq \arctan \dfrac{q}{p}$$.)

Ferner ist

$$s=\dfrac{p}{\cos \alpha}$$, daher

$$\mathcal{A_{\triangle}} = \frac{1}{2} su = \frac{1}{2}p^2 \tan \alpha$$

und folglich

$$z = \dfrac{\mathcal{A_{\triangle}}}{u^2} = \dfrac{1}{2\cos\alpha \sin\alpha}$$.

$$x$$ sei die Stelle, bei der die vertikale Schnittgerade die x-Ache schneidet.

Die gesuchte Funktion $$f$$ für den grünen Flächenteil hat auf den durch $$0$$, $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ und $$w$$ begrenzten Teilintervallen unterschiedliche Funktionsterme - abwechselnd lineare und quadratische.
(Wir nehmen jeweils die geschlossenen Teilintervalle als Definitionsmenge; an den gemeinsamen Trennstellen a, b, c, d stimmen jeweils die Funktionswerte der benachbarten Teilfunktionen überein: f ist überall stetig!)

Ich habe folgende Teilfunktionen gefunden:

Intervall $$[0; d]$$:

$$\quad f_{1}(x) = hx$$

Intervall $$[d; a]$$:

$$\quad f_{2}(x) = hx -z(x-d)^2$$

Intervall $$[a; c]$$:

$$\quad f_{3}(x) = (h-s)x + \frac{1}{2}s(d+a)$$

Intervall $$[c; b]$$:

$$\quad f_{4}(x) = z(b-x)^2 + hx - pq$$

Intervall $$[b; w]$$:

$$\quad f_{5}(x) = hx - pq$$

Die anderen Fälle
lassen sich durch Spielen mit der Geogebra-Zeichnung inspizieren, von der das obige Bild einen Zustand zeigt: https://www.geogebra.org/m/ad5bcanp

Mit den Schiebereglern lassen sich die Werte der gegebenen Größen variieren (insbesondere natürlich $$\alpha$$), der Punkt A lässt sich vertikal verschieben. (Freilich muss man darauf achten, dass das kleine Rechteck nicht aus dem großen herausragt.)
Der x-Wert der roten Schnittlinie lässt sich durch Verschieben des roten Punktes ändern.

Man erkennt, welche Änderungen gegenüber dem oben behandelten Fall nötig wären - im wesentlichen ist die Situation die gleiche.

Vielleicht hats ja doch noch jemand interessant gefunden...
Viele Grüße und ein schönes Wochenende
ottogal