Mathematik zur Versöhnung
ottogal
Mathematik zur Versöhnung
ottogal
Rolf B
Tabellenkalk
Gunnar BittersmannAuf ein DIN-A4-Blatt sind von einer Ecke aus Transversalen gezeichnet (rot), die den rechten Winkel an der Ecke in 4 gleiche Teilwinkel zerlegen.
Man zeige, dass das gefärbte Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig ist.
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Auf ein DIN-A4-Blatt sind von einer Ecke aus Transversalen gezeichnet (rot), die den rechten Winkel an der Ecke in 4 gleiche Teilwinkel zerlegen.
Man zeige, dass das gefärbte Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig ist.
Der Lorbeer gebührt @Tabellenkalk!
Er hat, wie wir alle, natürlich gleich gesehen, dass die Dreiecke ADE und ABG wegen übereinstimmender Winkel ähnlich sind, und dass dabei
das Verhältnis entsprechender Seiten 1 : √2 ist.Aber dann hat er eine schöne Schlussfolgerung gezogen: Das Dreieck AGE hat einen 45°-Winkel bei A, dessen anliegende Seiten AE und AG (als die Hypotenusen der oben genannten Dreiecke)
im Verhältnis 1 : √2 stehen. Ein solches Dreieck ist notwendiger Weise ein halbes Quadrat, also gleichschenklig-rechtwinklig!
Wir anderen Mittüftler (@Gunnar Bittersmann, @Rolf B und ich) haben uns stattdessen bemüht, das Dreieck ECG als kongruent zum Dreieck ADE zu erweisen. Der Weg dahin geht über die Bestimmung des Wertes von x = DE (grün).
O.B.d.A. setzt man natürlich AD = 1 und AB = √2. Mit $$\alpha = 22,5°$$ haben wir dann $$x = \tan \alpha$$.
Man kann diesen Wert in einer Formelsammlung als speziellen Wert der Tangensfunktion finden:
tan 22,5° = √2 - 1. Oder man findet wenigstens die Formel für den doppelten Winkel:$$\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$$
Mit $$\tan 2\alpha=\tan 45° = 1$$ heißt das
$$1 = \dfrac{2x}{1 - x^2}$$
was auf die quadratische Gleichung $$x² + 2x - 1 = 0$$ führt;
deren positive Lösung ist $$\sqrt{2}-1$$.Damit folgt $$DE = AD \cdot \tan \alpha = 1 \cdot x = \sqrt{2}-1$$ und dann $$EC = 1$$ für die lange Kathete von Dreieck ECG.
Aus der oben gen. Ähnlichkeit folgt für die kurze Kathete des Dreiecks ABG der Wert
BG = √2 x = 2 - √2 und damit CG = 1 - BG = - 1 + √2 = x.Die Dreiecke ECG und ADE sind also tatsächlich kongruent. Ihre Hypotenusen sind gleich lang und schließen einen 90°-Winkel ein - das beweist die Behauptung über das Dreieck AGE.
@Rolf B wäre lieber ohne Trigonometrie ausgekommen, um x = DE zu bestimmen.
Das gelingt, indem man Symmetrien ausnutzt.Das Lot von F auf AB erzeugt das Quadrat ALFD.
Spiegelt man die Strecke AD an der Achse AE, erhält man AH. Wegen ∡HAD = 45° liegt H auf der Quadratdiagonale AF.Das Dreieck ABH ist wegen ∡BAH = 45° und dem Seitenverhältnis AH : AB = 1 : √2 ein halbes Quadrat. Folglich ist BH = AH = 1 und HF = AF - AH = √2 - 1.
Die Dreiecke FEH und ABH sind wegen übereinstimmender Winkel ähnlich; entsprechende Seiten stehen im Verhältnis 1 : √2. Also ist auch FEH ein halbes Quadrat.
Es folgt x = DE = HE = HF, also x = √2 - 1.Fortsetzung wie beim "trigonometrischen" Vorgehen ...
Wie eingangs zugestanden: Es geht wirklich viel einfacher!
Vielen Dank fürs Mitdenken!
Allen schöne Ostertage!
ottogal-
Grats an Tabellenkalk, sehr gut gesehen!
Rolf
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sumpsi - posui - obstruxi-
Hallo,
Grats an Tabellenkalk,
Danke!
Gruß
Kalk
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@@ottogal
Der Lorbeer gebührt @Tabellenkalk!
👏
Aber dann hat er eine schöne Schlussfolgerung gezogen: Das Dreieck AGE hat einen 45°-Winkel bei A, dessen anliegende Seiten AE und AG (als die Hypotenusen der oben genannten Dreiecke)
im Verhältnis 1 : √2 stehen. Ein solches Dreieck ist notwendiger Weise ein halbes Quadrat, also gleichschenklig-rechtwinklig!„Wie man leicht sieht“ ist das so, ja. Aber wie begründet man das stichhaltig? Mir würde sicher ein Beweis mit Winkelfunktionen gelingen, was die Eleganz der Lösung aber zunichte macht. Welche einfache Begründung übersehe ich hier?
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„Ukončete, prosím, výstup a nástup, dveře se zavírají.“-
Hallo,
„Wie man leicht sieht“ ist das so, ja. Aber wie begründet man das stichhaltig? Mir würde sicher ein Beweis mit Winkelfunktionen gelingen, was die Eleganz der Lösung aber zunichte macht. Welche einfache Begründung übersehe ich hier?
Z.B. mit dem guten alten Pythagoras: a²+a²=c² -> 2a²=c²
Gruß
Kalk-
@@Tabellenkalk
„Wie man leicht sieht“ ist das so, ja. Aber wie begründet man das stichhaltig? Mir würde sicher ein Beweis mit Winkelfunktionen gelingen, was die Eleganz der Lösung aber zunichte macht. Welche einfache Begründung übersehe ich hier?
Z.B. mit dem guten alten Pythagoras: a²+a²=c² -> 2a²=c²
Nö. Der gilt für rechtwinklige Dreiecke, aber dass ▵AGE rechtwinklig ist, willst du ja gerade erst beweisen.
Zu Umkehrung des Pythagoras fehlt dir aber die Länge der 3. Seite EG.
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Hallo,
Zu Umkehrung des Pythagoras fehlt dir aber die Länge der 3. Seite EG.
Nein, ich hab ja den einen 45°-Winkel. Damit ist das Dreieck "festgenagelt". Ein Dreieck mit einem solchen Winkel und zwei Seiten im besagten Seitenverhältnis ist eindeutig und notwendig ein "Geodreieck"!
Gruß
Kalk-
@@Tabellenkalk
Zu Umkehrung des Pythagoras fehlt dir aber die Länge der 3. Seite EG.
Nein, ich hab ja den einen 45°-Winkel. Damit ist das Dreieck "festgenagelt". Ein Dreieck mit einem solchen Winkel und zwei Seiten im besagten Seitenverhältnis ist eindeutig und notwendig ein "Geodreieck"!
Das will ich nicht bestreiten. Aber wie beweist man das ohne Trigonometrie?
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Hallo,
Aber wie beweist man das ohne Trigonometrie?
einen Beweis für den Pythagoras lässt sich bestimmt online finden…
Gruß
Kalk-
@@Tabellenkalk
Aber wie beweist man das ohne Trigonometrie?
einen Beweis für den Pythagoras lässt sich bestimmt online finden…
Das ist nicht der Punkt.
Der Punkt ist, dass du den Pythagoras nicht anwenden kannst.
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Hallo,
Der Punkt ist, dass du den Pythagoras nicht anwenden kannst.
an einem rechtwinkligen, gleichseitigen Dreieck kann ich sehr wohl Pythagoras anwenden. Das hat übrigens 3 Seiten und 3 Winkel. Jeweils zwei gleiche und eine/n anders. Ein Winkel doppelt so groß wie die 2 anderen und eine Seite 🥕2 mal so groß wie die anderen.
Demnach ist ein Dreieck mit einem 45°-Winkel und zwei Seiten im Verhältnis 1: 🥕2 ein ganz Spezielles, alternativlos.
Gruß
Kalk-
@@Tabellenkalk
Der Punkt ist, dass du den Pythagoras nicht anwenden kannst.
an einem rechtwinkligen, gleichseitigen Dreieck kann ich sehr wohl Pythagoras anwenden.
Ja, kannst du. Wenn du denn ein solches hast.
Haste aber nicht, denn du willst ja erst zeigen, dass das fragliche Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig ist.
(Fun fact: ein ebenes Dreieck kann nicht rechtwinklig und gleichseitig sein. 😉)
Du hast zwei Seiten der Längen 1 und √2 sowie den von ihnen eingeschlossenen Winkel 45°.
Den Pythagoras kannst du nicht zur Berechnung der Länge der 3. Seite nehmen, solange du nicht gezeigt hast, dass es ein rechtwinkliges Dreieck ist.
Den Pythagoras rückwärts zum Nachweis des rechten Winkels kannst du nicht nehmen, solange du nicht gezeigt hast, dass die 3. Seite ebenfalls die Länge 1 hat.
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@@Gunnar Bittersmann
Der Punkt ist, dass du den Pythagoras nicht anwenden kannst.
an einem rechtwinkligen, gleichseitigen Dreieck kann ich sehr wohl Pythagoras anwenden.
Ja, kannst du. Wenn du denn ein solches hast.
Haste aber nicht, denn du willst ja erst zeigen, dass das fragliche Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig ist.
Ich glaube, ich hab einen Beweis. Dazu nehme ich ein zweites Dreieck mit den Seitenlängen 1, 1 und √2. Für dieses Dreieck gilt der Pythagoras rückwärts: der eine Winkel ist somit ein rechter. Und da das Dreieck gleichschenklig ist, sind die beiden anderen Winkel jeweils 45° groß.
Das zweite Dreieck ist nun aber nach SWS zu unserem ersten kongruent. Damit ist auch unser erstes Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig.
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Hallo,
Dazu nehme ich ein zweites Dreieck mit den Seitenlängen 1, 1 und √2.
Wo hast du das her? Aus der Schublade oder bei Amazon bestellt. Hoffentlich nicht das, das mir seit Jahren fehlt...
Gruß
Kalk-
@@Tabellenkalk
Dazu nehme ich ein zweites Dreieck mit den Seitenlängen 1, 1 und √2.
Wo hast du das her? Aus der Schublade oder bei Amazon bestellt. Hoffentlich nicht das, das mir seit Jahren fehlt...
Das ist das Gute in der Mathematik: es ist alles irgendwie da.
O.B.d.A. habe mein Goldspeicher einen Inhalt von 1000001 Talern.
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Dazu nehme ich ein zweites Dreieck mit den Seitenlängen 1, 1 und √2.
Wo hast du das her?
Vermutlich in der Prager U-Bahn gefunden 😉
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Hallo Gunnar Bittersmann,
Dazu nehme ich ein zweites Dreieck mit den Seitenlängen 1, 1 und √2. Für dieses Dreieck gilt der Pythagoras rückwärts: der eine Winkel ist somit ein rechter.
Bzw. du kannst sagen: Ich nehme aus meiner Schublade ein Quadrat der Kantenlänge 1. Mr. Pyth A. Goras wirft einen müden Blick drauf und sagt: die Diagonale ist √2 lang. Die 45° zwischen Kathete und Diagonale - a.k.a. Hypotenuse - folgen automatisch. Nun schnell ein Schnippschnapp entlang der Diagonale, SWS angewendet und fertig.
Rolf
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sumpsi - posui - obstruxi -
Korrekter Beweis!
Andere Möglichkeit:
Man trägt an den Strahl EA einen Winkel von +45° an, dessen freier Schenkel die Strecke AG in P trifft. (Anders ausgedrückt: Man wählt einen Punkt P auf AG so, dass der ∡AEP = 45° beträgt.)
Der dritte Innenwinkel von Dreieck APE beträgt dann 90°, es ist also ein halbes Quadrat.
Es folgt AP = EP = ½√2, daher auch PG = ½√2. Damit ist auch Dreieck PGE ein halbes Quadrat.
Jetzt darf der Pythagoras zuschlagen: Die Katheten sind ½√2, die Hypotenuse also EG = 1.Lässt man Trigonometrie zu, benutzt man am besten den Cosinus-Satz:
In der Formel
$$a²=b²+c²- 2bc \cdot \cos \alpha$$
nehmen wir a = EG, b= AE, c = AG und $$\alpha=45°$$ und erhalten
EG² = 1² + √2² - 2 * 1 * √2 * ½√2 = 1. Also ist EG = 1.
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Hallo,
Der Punkt ist, dass du den Pythagoras nicht anwenden kannst.
an einem rechtwinkligen, gleichseitigen Dreieck kann ich sehr wohl Pythagoras anwenden.
Ja, kannst du. Wenn du denn ein solches hast.
In meiner Schulzeit hatte ich sogar mehrere davon…
Haste aber nicht, denn du willst ja erst zeigen, dass das fragliche Dreieck gleichschenklig-rechtwinkig ist.
Ich hab mir ein beliebiges genommen und mir die Verhältnisse darin klargemacht.
(Fun fact: ein ebenes Dreieck kann nicht rechtwinklig und gleichseitig sein. 😉)
ups, hab ich mich vertan, aber du wusstest was ich meinte.
Du hast zwei Seiten der Längen 1 und √2 sowie den von ihnen eingeschlossenen Winkel 45°.
Und mit zwei Seiten und einem davon eingeschlossenen Winkel (SWS) ist das Dreieck sowas von festgetackert!
Den Pythagoras kannst du nicht zur Berechnung der Länge der 3. Seite nehmen, solange du nicht gezeigt hast, dass es ein rechtwinkliges Dreieck ist.
Nach der Länge der 3. Seite war nicht gefragt.
Den Pythagoras rückwärts zum Nachweis des rechten Winkels kannst du nicht nehmen, solange du nicht gezeigt hast, dass die 3. Seite ebenfalls die Länge 1 hat.
Doch. Und ich hab nichtmal die Längen der Seiten, sondern nur deren Längenverhältnis. Toll, oder?
Gruß
Kalk
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