Mathematikformel gesucht

[Rolf B]

Hallo Sven,

mal ohne Inflation: der Rentenbarwertfaktor steht in der Wikipedia.

Und der Rentenbarwert ist RBF(i,T) * Rente.

Du hast den Rentenbarwert, du hast i, du hast die Rente. D.h. du weißt: $$RBF(i,T)=\frac{Kapital}{Rente}$$ und suchst T.

D.h. Du musst den RBF nach T auflösen.

$$\begin{align} RBF &= \frac{1 - (1+i)^{-T}}{i} \\
\Longleftrightarrow i \cdot RBF &= 1 - (1+i)^{-T} \\
\Longleftrightarrow (1+i)^{-T} &= 1-i \cdot RBF \\
\Longleftrightarrow T = -\frac{\log{(1-i \cdot RBF)}}{\log{1+i}} \end{align}$$

Wenn Du bspw. eine Million Euro hast und 80000 Euro im Jahr ausgezahlt haben willst, hast Du einen RBF von 1250%. Bei einem Zins von 5% auf's Kapital ergibt das T=20,1 Jahre.

Das ist allerdings bei monatlicher Auszahlung nicht ganz richtig, weil die RBF Formel von einer nachschüssigen Rente mit einer Auszahlung und einer Zinszahlung pro Periode ausgeht, d.h. 80000€ jeweils am Jahresende.

Bei monatlicher Auszahlung hast Du nach wie vor eine Zinszahlung am Jahresende, aber monatliche Raten und damit reduzierte Zinsen. Die einfache geometrische Reihe, aus der sie im Wikipedia-Artikel die RBF-Formel herleiten, ist damit nicht mehr vorhanden.

Für dein Programmierprojekt kannst Du natürlich eine kleine Schleife programmieren, die mit den Auszahlungen und Zinszahlungen den Kontoverlauf bestimmt und aufhört, sobald das Konto im Minus ist. Zu beachten dabei ist:

• die Rente muss das Kapital aufzehren, andernfalls hast Du eine Endlosschleife
• durch die unterjährigen Auszahlungen musst Du auch unterjährige Zinsen bestimmen und am Jahresende gutschreiben
• der Auszahlungstermin der Monatsrate kann am Monatsanfang oder -ende sein. Vielleicht auch mittendrin? (Hinweis: Ein Bankmonat hat 30 Tage und ein Bankjahr 360 Tage)

Dann kannst Du auch eine Inflationsbereinigung einbauen und die Monatsrate um einen Inflationsfaktor $$(1+f)^y$$ anpassen (f=jährliche Inflation, y=laufendes Jahr der Zahlungsreihe. Erstes Jahr ist y=0).

Das ist dann wenigstens ein Programmierprojekt und nicht nur eine einfache Formel, die abzuschreiben ist.

Rolf