Mathematikformel gesucht

[Rolf B]

Hallo Sven,

5% Inflation ist eine Menge. Nach 14 Jahren hat sich der Geldwert halbiert, das ist richtig. Weswegen die Lage in Deutschland im Moment übel ist. Wir hatten seit 1995 eine Inflation von unter 2% (mit 2 knappen Ausreißern). 2021 dann 3.1% und 2022 7.9% - der höchste Satz seit 1950 (Quelle: Statista).

Gedankenfehler?

Mehrere.

• Du passt die Rente monatlich um 5%/12 an. Das ist was anderes als einmal im Jahr um 5%. $$(1+\frac{0.05}{12})^{12} = 5.1\%$$. Das ist nicht viel, und nach 14 Jahren kommst Du dann auf einen Faktor von 2.01 statt 1.98, aber der Unterschied ist da. Du solltest die Rente jährlich um 5% anpassen.

• Du überschreibst deine numerische $rente-Variable mit der Druckaufbereitung von number_format. Wenn Du auf 2 Nachkommastellen runden willst, tu es mit $rente = round($rente, 2). Das musst Du aber nur nach der Inflationsbereinigung tun, nicht jeden Monat.

• Dito für $kapital - hier musst Du nur runden, wenn Du die Zinsen hinzugerechnet hast.

• Die Kapitalzinsen berechnest Du ebenfalls monatlich. Das ist nicht richtig, Banken verzinsen typischerweise jährlich. Das hat Auswirkungen auf die Zinseszinsen und auch darauf, wie sich die Auszahlungen auswirken.

Mal ein einfacheres Rechenbeispiel: Du hast zum Jahresbeginn 10000€. Du hebst am 1. April und am 1. Oktober jeweils 1000€ ab. Am Jahresende werden die Zinsen berechnet.

• Der Zinssatz sei 2%.
• Vom 01.01. bis 31.03 hattest du 10000€. Das sind 3 Bankmonate oder ein Vierteljahr, du bekommst also 0,5% von 10000€ = 50€
• Vom 01.04. bis 30.09. hattest Du 9000€. Das ist ein halbes Jahr, du bekommst 1% von 9000% = 90€
• Vom 1.10. bis Jahresende hattest Du 8000€. Wieder ein Vierteljahr, also nochmal 0,5% von 8000 = 40€.
• In Summe also 180€ für das ganze Jahr. Diese werden gutgeschrieben, zum 01.01. des neuen Jahres beträgt dein Kapital 8180€.

Wenn man das mit einer monatlichen Rate R macht und Du am Jahresende ein Restkapital K hast, kann man die Zinsen für das Restkapital und die Stück für Stück gezahlten Raten so berechnen:

• Rate 1 (01.01.) war gar nicht auf dem Konto. Keine Zinsen
• Rate 2 (01.02.) war einen Monat auf dem Konto, verzinst mit 1×p/12
• Rate 3 (01.03.) war zwei Monate auf dem Konto, verzinst mit 2×p/12
• ...
• Rate 11 (01.11) war zehn Monate auf dem Konto, verzinst mit 10×p/12
• Rate 12 (01.12) war elf Monate auf dem Konto, verzinst mit 11×p/12

Du bekommst für die Raten demnach Zinsen in Höhe von

$$\displaystyle \sum_{t=0}^{11} \Bigl(t\cdot\frac{p}{12}\cdot R\Bigr)= \frac{p}{12}\cdot R\cdot\sum_{t=0}^{11} t $$

$$\displaystyle = \frac{p}{12}\cdot R \cdot \frac{11}{2}(11+1)$$           (Gaußsche Summenformel)

$$\displaystyle = \frac{11}{2}12\cdot \frac{p}{12}R = 5{,}5\cdot p \cdot R$$

D.h. zum Jahreswechsel verzinst Du den aktuellen Kontostand mit dem Prozenzsatz p und addierst noch mal 5,5pR für die unterjährige Verzinsung der gezahlten Raten hinzu. Danach passt Du die Rate an die Inflation an und rechnest das nächste Jahr.

Rolf