Henry: Wahrscheinlichkeit berechnen

Hallo,

hier gibts ja einige Mathespezialisten. Eine, für mich glasklare, Sacher der Wahrscheinlichkeitsrechnung traf auf Kritiker und da das Netz keine eindeutige Antwort weiss, hoffe ich einer von euch kann helfen.

Wenn ich eine Zahl würfeln möchte habe ich ein Chance von 1:6. Und ich dachte auch das ändert sich nicht wenn ich nun mehrmals würfel. Denn bei jedem Wurfl bleict die Wahrscheinlichkeit gleich, genauso wie beim Lotto es egal ist, wie oft man spielt, ob nun einmal oder jahrelang jedes Mal. Ein kleines Javscript sollte das auflisten, doch bekam ich Gegenargumentation, dass eben doch die Wahrscheinlichkeit steigen würde mit jedem Mal würfeln, bzw. jedes Mal Lotto spielen. Anfangs fand ich das nicht zutreffend, allerdings ging mir bei einem der Gegenargumente die Antwort aus. So wurde ich gefragt, wenn ich zb. mich oft in gefährlichem Gebiet(zb. Gangarea USA,Kriegsgebiet, usw) aufhalte die Wahrscheinlichkeit ausgeraubt zu werden steigt. Was ich gefühlt zustimmen würde, weil ja wirklich wahrscheinlicher ist, dann auf eine Gefahr zu treffen.

Kann mich da bitte mal jemand aufkären?

Gruss
Henry

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Meine Meinung zu DSGVO & Co:
„Principiis obsta. Sero medicina parata, cum mala per longas convaluere moras.“

akzeptierte Antworten

  1. Hallo Henry,

    Kann mich da bitte mal jemand aufkären?

    so wie ich es verstehe, geht es um die Unterscheidung zwischen der Wahrscheinlichkeit pro Einzelereignis, dass ein bestimmter Fall eintritt (die bleibt immer gleich), und der Wahrscheinlichkeit über die Gesamtheit der Ereignisse, dass dieser Fall eintritt (die steigt mit der Zahl der betrachteten Ereignisse).

    Die mathematisch saubere Darstellung überlasse ich jemand anderem. 😉

    Einen schönen Tag noch
     Martin

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    Dass Dr. Oetker in Amerika eine Puddingmine entdeckt und damit seine ersten Millionen gemacht hat, ist nur ein Gerücht.
    1. @@Der Martin

      so wie ich es verstehe, geht es um die Unterscheidung zwischen der Wahrscheinlichkeit pro Einzelereignis, dass ein bestimmter Fall eintritt (die bleibt immer gleich), und der Wahrscheinlichkeit über die Gesamtheit der Ereignisse, dass dieser Fall eintritt (die steigt mit der Zahl der betrachteten Ereignisse).

      Die mathematisch saubere Darstellung überlasse ich jemand anderem. 😉

      An die Wahrscheinlichkeit, nach n Versuchen mindestens einmal eine Sechs gewürfelt zu haben, kommt man über die das Gegenereignis ran (also nach n Versuchen keine Sechs gewürfelt zu haben):

      P(min. eine Sechs) = 1 − (1 − ⅙) = 1 − (⅚)

      Und da 0 < ⅚ < 1, wird (⅚) mit wachsendem n immer kleiner, P also immer größer.

      🖖 Живіть довго і процвітайте

      --
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      — @Grantscheam auf Twitter
      1. Hallo Gunnar,

        Jetzt bin ich verwirrt. In der anderen Antwort schreibst du:

        "Da dachtest du richtig. Die Wahrscheinlichkeit, beim siebten Wurf eine Sechs zu würfeln, ist ⅙ – egal, ob man vorher schon sechs Sechsen gewürfelt hatte oder ob die Sechs noch gar nicht fiel."

        Aber hier das:

        P(min. eine Sechs) = 1 − (1 − ⅙) = 1 − (⅚)

        Und da 0 < ⅚ < 1, wird (⅚) mit wachsendem n immer kleiner, P also immer größer.

        Vermutlich ist das kein Widerspruch,sondern ich verstehe das falsch? Was trifft denn nun zu? Immer gleiche Wahrscheinlichkeit wie oft ich auch würfel oder doch steigende Wahrscheinlichkeit?

        Gruss
        Henry

        --
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        1. Hallo,

          Vermutlich ist das kein Widerspruch,sondern ich verstehe das falsch? Was trifft denn nun zu? Immer gleiche Wahrscheinlichkeit wie oft ich auch würfel oder doch steigende Wahrscheinlichkeit?

          wie schon gesagt: Wenn du jedes Ereignis (jedes Würfeln) für sich isoliert betrachtest, ist die Wahrscheinlichkeit immer gleich. Betrachtest du aber die Gesamtheit aller Würfe, ändert sich das Bild von Wurf zu Wurf.

          Einen schönen Tag noch
           Martin

          --
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          1. Hallo Der,

            wie schon gesagt: Wenn du jedes Ereignis (jedes Würfeln) für sich isoliert betrachtest, ist die Wahrscheinlichkeit immer gleich. Betrachtest du aber die Gesamtheit aller Würfe, ändert sich das Bild von Wurf zu Wurf.

            und das ist dann der Punkt für mich, der nicht mehr logisch erscheint, sondern eher in den Bereich Esoterik oder Quantenphysik eingeht. Hab mich jetzt mal dank eurer Hinweise näher damit beschäftigt und stelle zb. nach Laplace fest, dass ich ab 17 Würfe eine Whrscheinlichkeit über 90% habe eine Sechs zu würfeln. Doch auch wenn das erfahungsgmäss so ist, wo ist die Kausalität, schliesslich hat ein Würfel kein Gedächnis, und auch zb. im Roulette gibts mnachmal die gleiche Farbe 30mal. Das ist doch nicht wirklich eine Wahrscheinlichkeitberechnung mit der man zb. Weltraummissionen planen könnte also ist das dann noch ernsthafte Mathematik?

            Gruss
            Henry

            --
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            1. @@Henry

              und das ist dann der Punkt für mich, der nicht mehr logisch erscheint, sondern eher in den Bereich Esoterik oder Quantenphysik eingeht.

              Vielleicht hilft dir die Erkenntnis weiter, dass sich das n-malige Würfeln mit einem Würfel nicht unterscheidet vom einmaligen gleichzeitigem Würfeln mit n Würfeln.

              Just another roll of the dice

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            2. Hallo,

              wo ist die Kausalität…?

              Die Kausalität ist das Mehrfache würfeln. Aber nicht so wie du das denkst, dass sich die Würfel erinnern würden, sondern das Betrachten der Gesamtheit aller Würfe.

              Wenn du 17mal würfelst hast du immer noch ca. 16,7% Wahrscheinlichkeit für eine 6 beim nächsten Wurf. Aber in diesen 18 Würfen war fast sicher eine 6 dabei!

              Gruß
              Kalk

              1. Hallo Tabellenkalk,

                Wenn du 17mal würfelst hast du immer noch ca. 16,7% Wahrscheinlichkeit für eine 6 beim nächsten Wurf.

                so erscheint es für mich ja noch logisch, also egal wie oft man würfelt. Jedoch kommt man "mathematisch" angeblich beim 17ten Wurf schon auf satte ~95%

                Aber in diesen 18 Würfen war fast sicher eine 6 dabei!

                Auch das wird wohl passieren, nur ob man das wirklich noch als Mathematik auffassen kann?

                https://www.youtube.com/watch?v=MbW9M4aYNak

                Gruss
                Henry

                --
                Meine Meinung zu DSGVO & Co:
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                1. Hallo,

                  ob man das wirklich noch als Mathematik auffassen kann?

                  Warum zweifelst du daran? Die Stochastik ist ein großer und wichtiger Teil der Mathematik.

                  Gruß
                  Kalk

                  1. Hallo Tabellenkalk,

                    ob man das wirklich noch als Mathematik auffassen kann?

                    Warum zweifelst du daran? Die Stochastik ist ein großer und wichtiger Teil der Mathematik.

                    Weil Mathematik und selbst ursachenbasierende Wahrscheinlichkeitberechnung etwas verlässliches darstellen sollte. Und das tut es hier für mein Empfinden nicht. Falls zb. auch nach dem 17ten Wurf immer noch keine Sechs und weiter würfeln kommen wir relativ bald an ~99,9% das jetzt ne Sechs dabei ist. Doch würde darauf jemand sein komplettes Vermögen wetten? Kaum, zumindest unklug. Was dabi ja auch noch zu beachten wäre, spielt es eine Rolle WER würfelt oder die Anzahl der Würfe?

                    Denn, mal angenommen ich komme in einem Raum, wo schon jemand 25 mal gewürfelt hat, ohne dass ich das weiss, wäre die Wahrscheinlichkeit KEINE Sechs beim nächsten Wurf zu erzielen (falls bisher keine dabei war) bei nahezu unter 1% also mit 99% iger Sicherheit kommt eine Sechs. Da ich aber gerade erst den Raum betrete und vom ersten Wurf ausgehe, gehe ich von nur ~16% aus. ABER dennoch können wir beide richtig liegen. Was aber wenn ich dran bin zu würfeln, zählen dann die Würfe des Vorgängers gar nicht mehr und die Zählung beginnt wieder erneut, obwohl ja immer noch ohne bisherige Sechs?

                    Puhhh.... macht mich ganz konfus 👓

                    Gruss
                    Henry

                    --
                    Meine Meinung zu DSGVO & Co:
                    „Principiis obsta. Sero medicina parata, cum mala per longas convaluere moras.“
                    1. Hallo,

                      nochmal: die einzelnen Würfe sind voneinander unabhängig. Egal wer wirft, egal wie oft vorher geworfen wurde. Punkt.

                      Zur Wahrscheinlichkeitsberechnung gehört immer auch eine exakte Fragestellung. Hier: Ein Wurf, also 16,6667%.

                      Andere Fragestellungen können mehrere Würfe betrachten: je mehr Würfe desto wahrscheinlicher ist eine 6 dabei.

                      Wenn du in einen Raum kommst, wo bereits 17mal keine 6 gewürfelt wurde, ist das ein bereits abgeschlossenes Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit gering war, aber berechenbar ist. Jeder weitere Wurf hat weiterhin, s.o., seine unabhängige Wslk. von 17%.

                      Die steigende Wslk ist an die steigende Gesamtzahl der Würfe gekoppelt.

                      Gruß
                      Kalk

                    2. Hallo Henry,

                      ABER dennoch können wir beide richtig liegen. Was aber wenn ich dran bin zu würfeln, zählen dann die Würfe des Vorgängers gar nicht mehr und die Zählung beginnt wieder erneut, obwohl ja immer noch ohne bisherige Sechs?

                      Genau so ist es. Und der Grund ist: Es sind verschiedene Experimente.

                      Ich sitze im Zimmer und würfele. Mein Experiment: 25 Würfe mit einem W6.

                      Nach meinem 24. Wurf kommst Du ins Zimmer. Dein Experiment: übernehme meinen 25. Wurf und wette auf eine 6

                      Du schriebst: Der Würfel hat kein Gedächtnis. Völlig korrekt. Aber ich habe eins. Denn mein Experiment besteht aus 2 Komponenten: Der Würfel, und eine Strichliste mit Ergebnissen.

                      Du wettest vor dem 25. Wurf darauf, dass der Würfel beim 25. Wurf eine 6 zeigt.

                      Ich wette vor meinem ersten Wurf darauf, dass auf meiner Strichliste nach 25 Würfen mindestens ein Strich bei der 6 ist.

                      Wir wetten also nicht nur auf unterschiedliche Objekte, sondern auch zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Wenn Du wettest, ist mein Experiment schon zu 96% vorüber und der Ausgang bis dahin bekannt. Wenn ich bis dahin keine einzige 6 bekommen habe, ist meine Chance, im 25. Wurf doch noch eine zu bekommen, 1/6.

                      Was hier hilft, ist ein Wahrscheinlichkeitsbaum. Den kann ich hier nur als eingerückte Liste darstellen.

                      A1. Rolf wirft in 24 Würfen KEINE 6 (also jedesmal 1-5): $$p_{a1}=\bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24}$$
                      A1-B1. Henry wirft im 25. Wurf eine 1-5: $$p_{b1}=\frac{5}{6}$$
                      A1-B2. Henry wirft im 25. Wurf eine 6: $$p_{b2}=\frac{1}{6}$$

                      A2. Rolf wirft in 24 Würfen mindestens eine 6: $$p_{a2}=1-\bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24}$$
                      A2-B1. Henry wirft im 25. Wurf eine 1-5: $$p_{b2}=\frac{5}{6}$$
                      A2-B1. Henry wirft im 25. Wurf eine 6: $$p_{b2}=\frac{1}{6}$$

                      Die Wahrscheinlichkeit für jeden Zweig ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Weg dorthin.

                      Die Wahrscheinlichkeit für Dein Experiment ist nun die Summe der B2-Zweige, also
                      $$p_{a1}\cdot p_{b2} + p_{a2}\cdot p_{b2} = \bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24}\cdot\frac{1}{6} + (1-\bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24})\cdot\frac{1}{6} = \bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24}\cdot\frac{1}{6} + 1\cdot\frac{1}{6} - \bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$$

                      Die Wahrscheinlichkeit für Mein Experiment (mind. einmal 6) ist das Gegenteil von Zweig A1-B1 (in 25 Würfen keine 6):
                      $$1-p_{a1}\cdot p_{b1} = 1-\bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{24}\cdot\frac{5}{6} = 1-\bigr(\frac{5}{6}\bigl)^{25}$$.

                      Mathematik? Eine ganze Menge davon.

                      Rolf

                      --
                      sumpsi - posui - obstruxi
                2. Hallo Henry,

                  Jedoch kommt man "mathematisch" angeblich beim 17ten Wurf schon auf satte ~95%

                  Da braucht es weder Anführungszeichen noch ein "angeblich". Wenn Du oft wirfst, steigt logischerweise die Chance, dass rein zufällig mal eine 6 fällt. Und um Dich zu beunruhigen: sie wird nie 1. Selbst wenn Du 10000 Mal wirfst, gibt's immer noch eine winzige Chance, dass gar keine 6 fällt. Grad mal rechnen... ups. $$3 \cdot 10^{-7792}$$. Der Zahlenraum von Windows calc.exe ist beeindruckend 😉

                  nur ob man das wirklich noch als Mathematik auffassen kann?

                  Definitiv. Auch wenn diese Information mit deinem Schädel inkompatibel ist.

                  Rolf

                  --
                  sumpsi - posui - obstruxi
                3. @@Henry

                  Wenn du 17mal würfelst hast du immer noch ca. 16,7% Wahrscheinlichkeit für eine 6 beim nächsten Wurf.

                  so erscheint es für mich ja noch logisch, also egal wie oft man würfelt. Jedoch kommt man "mathematisch" angeblich beim 17ten Wurf schon auf satte ~95%

                  Du vermischt da zwei ganz verschiedene Ereignisse:

                  1. im 17. Wurf eine Sechs zu würfeln. Das ist natürlich von den Würfen 1 bis 16 unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist ⅙ ≈ 0.167.

                  2. in den Würfen 1 bis 17 eine Sechs zu würfeln. Wie ich schon sagte, ist das völlig identisch zum Ereignis, einmalig mit 17 Würfeln zu würfeln und mindestens eine Sechs dabei zu haben. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1 − (⅚)¹⁷ ≈ 0.955.

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            3. Hallo Henry,

              Esoterik

              Nein. Esoterik hat damit nichts zu tun.

              Quantenphysik

              Da kommen wir der Sache schon näher. Quantenphysik ist Wissenschaft und ein Kern der Quantenphysik ist, dass auf Quantenlevel die Dinge mit gewissen Wahrscheinlichkeiten geschehen. Was an einer grundsätzlichen Eigenschaft der Natur liegen kann. Oder einfach an der Tatsache, dass man einen Fußball nicht ohne Rückwirkungen auf den Ball dadurch erforschen kann, dass man mit anderen Bällen auf ihn schießt. Wir haben in der Quantenphysik aber keine kleineren Bällchen zum Schießen.

              Doch auch wenn das erfahrungsgmäss so ist, wo ist die Kausalität, schliesslich hat ein Würfel kein Gedächnis, und auch zb. im Roulette gibts mnachmal die gleiche Farbe 30mal.

              Dass beim Roulette dreißigmal hintereinander rot fällt, ist nicht unmöglich. Nur sehr unwahrscheinlich: $$\bigl(\frac{16}{37}\bigr)^{30} ≈ 4{,}09\cdot 10^{-10}$$ oder 0,0000000409%.

              Das bedeutet: Wenn Du zehn Milliarden Mal hingehst und 30 Roulettespiele in Folge beobachtest, kannst Du erwarten, dass vier dieser Sequenzen aus dreißig mal "rot" bestehen. Es könnte aber auch gar nicht passieren, oder zehnmal. Wie man die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass der erwartete Wert auch eintritt oder davon abgewichen wird - sorry, da hakt es dann auch bei mir aus.

              Ich nehme an, dass die Berechnung anders aussieht, wenn ich 10 Milliarden mal werfe und jeweils die letzten 30 Würfe betrachte. Aber ich weiß nicht, wie.

              Kausalität - im Sinne von "wenn dies passiert, dann folgt immer exakt das" - und Zufall schließen sich aus. Deswegen heißt es Zufall.

              Das ist doch nicht wirklich eine Wahrscheinlichkeitberechnung mit der man zb. Weltraummissionen planen könnte

              Natürlich ist es das. Du kannst Fehler nicht ausschließen. Nur die Wahrscheinlichkeit dafür drücken.

              Also ist das dann noch ernsthafte Mathematik?

              Sehr. Und überhaupt nicht leicht.

              Rolf

              --
              sumpsi - posui - obstruxi
        2. Hallo Henry,

          der Unterschied ist, ob Du einen Wurf oder mehrere Würfe betrachtest.

          Die Wahrscheinlichkeit, bei einem konkreten Wurf eine 6 zu werfen, ist ⅙. Egal was vorher passierte.

          Die Wahrscheinlichkeit p, bei mehreren Würfen mindestens eine 6 zu werfen, berechnet man am einfachsten über ihr Gegenteil: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nie eine 6 zu werfen." Also jedesmal etwas von eins bis fünf. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist pro Wurf ⅚. Bei n Würfen multipliziert sich das und ergibt (⅚)ⁿ. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 zu haben, ist das Gegenteil davon, also 1-(⅚)ⁿ.

          Statistik macht Spaaaaaaß. Man sollte Wednesday davon erzählen, sie hätte bestimmt eine schöne Anwendung dafür.

          Rolf

          --
          sumpsi - posui - obstruxi
  2. @@Henry

    Wenn ich eine Zahl würfeln möchte habe ich ein Chance von 1:6. Und ich dachte auch das ändert sich nicht wenn ich nun mehrmals würfel.

    Da dachtest du richtig. Die Wahrscheinlichkeit, beim siebten Wurf eine Sechs zu würfeln, ist ⅙ – egal, ob man vorher schon sechs Sechsen gewürfelt hatte oder ob die Sechs noch gar nicht fiel.

    BTW, „Chance von“ hört sich eher nach dem Verhältnis von ‚Ereignis tritt ein‘ zu ‚Ereignis tritt nicht ein‘ an, d.h. die Chance wäre 1 : 5.

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    — @Grantscheam auf Twitter
  3. Hallo,

    Kann mich da bitte mal jemand aufkären?

    Nur weil etwas hinkt, muss es nicht unbedingt ein Vergleich sein…

    Das Würfeln erzeugt Zufallsereignisse im mathematischen Sinn und natürlich steigt die Gesamtwahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, an, je häufiger du würfelst.

    Ausgeraubt zu werden, hat keine mathematische sondern nur eine statistische Wahrscheinlichkeit. Außerdem sind das keine unabhängigen Ereignisse, da sowohl die Reisenden als auch die Alternativbesitzenden ihre Beobachtungen und Erfahrungen machen…

    Gruß
    Kalk

  4. Hallo Henry,

    das Schlüsselwort lautet „Laplace-Experiment“. Es beschreibt ein Zufallsexperiment „ohne Gedächtnis“, bei dem die einzelnen Ausführungen unabhängig voneinander sind.

    Bei Laplace-Experimenten ist es total wurscht, was früher passiert ist. Wenn im Roulette die Kugel zwanzig Mal auf „rot“ fiel, ist die Chance für rot beim nächsten Mal immer noch 18/37 (37 wegen der bösen 0) - es sei denn, du hast einen manipulierten Tisch oder eine*n Werfer*in, der/die die Kugel so einwerfen kann, dass das gewünschte Ergebnis herauskommt. Gerüchteweise gibt's solche Leute.

    Bei Besuchen in Kriegsgebieten dürfte das anders sein. Menschen haben ein Gedächtnis, und wenn Du ein paar Mal da warst, erinnert sich vielleicht jemand an Dich, und je nach Verhalten bei den vorigen Malen schießt man dann mit höherer oder geringerer Wahrscheinlichkeit auf Dich.

    Wenn Du ein Laplace-Experiment mehrfach durchführst und dann nach Wahrscheinlichkeiten fragst, kommt es darauf an, ob Du die Frage vor der Serie stellst oder mitten in der Serie. Es ist etwas anderes, ob ich vorher frage: Wie hoch ist die Chance, dass ab jetzt einundzwanzig Mal rot fällt, oder ob ich nach zwanzig Mal rot frage: Wie hoch ist die Chance, dass das nächste Mal rot kommt.

    Wenn Du kein Laplace-Experiment hast, z.B. eine Kugel durch ein Hindernisfeld rollen lässt, wo der Untergrund weich ist und sie eine Furche hinterlässt, dann ist die Vergangenheit relevant. Bei harten Untergrund hast Du zufällige Abpralleffekte. Bei formbarem Untergrund dürfte die Kugel nach einigen Wiederholungen ziemlich oft den gleichen Weg nehmen.

    Viele Leute haben das nicht gelernt oder nicht kapiert. Weswegen Lotto ja auch als eine Strafsteuer für Menschen gilt, die schlecht in Mathe sind.

    Rolf

    --
    sumpsi - posui - obstruxi
  5. Hallo in die Runde,

    ich versuche mal, das Ganze etwas anschaulicher zu machen.

    Das "Zufallsexperiment" soll aber aus dem 4-maligen Werfen eines Würfels bestehen.
    (17 oder 24 Würfe darzustellen wäre doch etwas unhandlich.)

    Wir notieren einen einzelnen Wurf als 1 (= Treffer = Sechs) bzw. 0 (= Niete = keine Sechs),
    und den Ausgang eines viermaligen Werfens als geordnetes "4-Tupel", z.B.
    0010
    (nur der 3. Wurf war eine Sechs).

    Es gibt 16 mögliche Ausgänge des Experiments, die sich gut in einem Baumdiagramm darstellen lassen:

    baumE0.png

    Jeder Ausgang des Experiments entspricht einem "Pfad" in diesem Baum, von der Wurzel (oben) in 4 Schritten nach unten. Grüne Schritte sind Treffer, rote sind Nieten.
    Da wir faire Würfel voraussetzen, beträgt bei jedem Schritt die Wahrscheinlichkeit für grün 1/6 und für rot 5/6.

    Es gelten zwei Pfadregeln.

    Pfadregel 1:

    Die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Pfad
    ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Schritte.

    Der Pfad 0010 hat also die Wahrscheinlichkeit
    $$\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=(\frac{5}{6})^3\cdot\frac{1}{6}=\frac{5^3}{6^4}=0,096= 9,6$$%.
    (Kurzschreibweise: $$Wk(0010)=\frac{5^3}{6^4}$$.)

    Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse, die beim 4-maligen Werfen eines Würfels auftreten können. Ein Ereignis ist mathematisch durch die Menge der Pfade definiert, bei denen es eintritt.

    Beispiele:


    Ereignis E1: "Es fällt genau 2-mal die Sechs."

    Zu diesem Ereignis gehören die 6 Pfade
    1100
    1010
    1001
    0110
    0101
    0011

    baumE1.png

    Jeder dieser Pfade hat die gleiche Wahrscheinlichkeit $$(\frac{1}{6})^2\cdot(\frac{5}{6})^2=\frac{25}{1296}=0,019=1,9$$%.

    Nun brauchen wir die

    Pfadregel 2:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zu ihm gehörenden Pfade.

    Da bei E1 die 6 Summanden gleich sind, brauchen wir nur zu multiplizieren:

    $$Wk(E1)=6 \cdot(\frac{1}{6})^2\cdot(\frac{5}{6})^2=\frac{25}{216}=0,116=11,6$$%.

    (Kleine Probeaufgabe: Man rechne nach, dass sich die Wahrscheinlichkeiten aller 16 Pfade
    zu 1 = 100% addieren.)


    Ereignis E2: "Es fällt mindestens 2-mal die Sechs."

    Hier kommen zu den 6 Pfaden von E1 noch 4 Pfade mit 3 Sechsen
    1110
    1101
    1011
    0111
    sowie der eine Pfad mit 4 Sechsen hinzu:
    1111

    baumE2.png

    Wir erhalten $$Wk(E2)=Wk(E1)+4\cdot(\frac{1}{6})^3\cdot\frac{5}{6}+(\frac{1}{6})^4=\frac{150+20+1}{6^4}=\frac{171}{1296}=0,132 =13,2$$%.


    Ereignis E3: "Es fällt mindestens eine Sechs."

    Alle Pfade enthalten mindestens einen grünen Schritt, mit Ausnahme des letzten, der ganz rot ist.
    Deshalb liegt es nahe, das Gegenereignis von E3 zu betrachten - das eben nur aus diesem einen Pfad besteht ("Es fällt keine Sechs"):
    $$Wk(0000)=(\frac{5}{6})^4=0,482=48,2$$%.
    Wegen der 2. Pfadregel folgt
    $$Wk(E3)=1-(\frac{5}{6})^4=0,518=51,8$$%.
    Es wäre also günstig, darauf zu wetten, dass mindestens eine Sechs fällt.


    Ereignis E4: Der dritte Wurf ist eine Sechs."

    Es gibt 8 Pfade zu E4:
    1111
    1110
    1011
    1010
    0111
    0110
    0011
    0010
    Je einer davon hat 4 Treffer bzw. einen Treffer, und je drei davon haben 3 Treffer bzw. 2 Treffer.

    baumE4.png

    Damit errechnen wir

    $$Wk(E4)=(\frac{1}{6})^4+3\cdot(\frac{1}{6})^3\cdot(\frac{5}{6})^1+3\cdot(\frac{1}{6})^2\cdot(\frac{5}{6})^2+(\frac{1}{6})^1\cdot(\frac{5}{6})^3$$ $$=\frac{1+15+75+125}{6^4}=\frac{216}{6^4}=\frac{6^3}{6^4}=\frac{1}{6}$$

    Man erhält also für das Ereignis, dass der dritte Wurf eine Sechs ist, die Wahrscheinlichkeit 1/6
    – welchen Ausgang die anderen 3 Würfe haben, spielt keine Rolle!


    Viele Grüße! ottogal