Mathematik - Schlag auf Schlag --- Lösung

[ottogal]

Hallo in die Runde, ich löse mal auf.

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Die Dreiecksseiten seien wie üblich mit a, b, c bezeichnet. Die Radien der Kreisbögen nennen wir der Reihe nach r1 bis r6. Die Lage des Punktes $P_0$ legen wir fest durch die variable Streckenlänge $x = AP_0$.

Im Folgenden unterstellen wir, dass der gewählte Wert von x alle Kreisbögen erlaubt.

Stes gilt:

r1 = x
r2 = b − r1 = b − x
r3 = a − r2 = a − b + x
r4 = c − r3 = c − a + b − x
r5 = b − r4 = b − c + a − b + x = a − c + x
r6 = a − r5 = a − a + c − x = c − x

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Lösung von Aufgabe (1):

Die Bedingung für $P_3=P_0$ lautet r3 = c − x, also
a − b + x = c − x
2x = c − a + b
Mit u für den Umfang des Dreiecks, u = a + b + c, und s = u/2 folgt
2x = u − 2a
x = s − a

In diesem Fall gilt also r1 = s − a,
und entsprechend auch r2 = s − c und r3 = s − b;
natürlich ist r1 + r2 + r3 = s.

Den gefundenen speziellen Wert für x nennen wir im Folgenden a', den speziellen Punkt $P_0'$.

Bemerkung:

Ist der Radius r1 größer als a', etwa r1 = a' + d, dann wird r2 um d kleiner und folglich r3 um den gleichen Wert d größer.
Die Punkte $P_0$ und $P_3$ liegen dann also um 2d voneinander entfernt,
und der Mittelpunkt der Strecke $P_0P_3$ ist stets $P_0'$:

Man kann das gut in der Geogebra-Zeichnung verfolgen, indem man den Punkt $P_0$ verschiebt.

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Lösung von Aufgabe (2):

Oben erhielten wir r6 = c − x.
Daraus folgt sofort $AP_6 = AB − r6 = c − c + x = x = AP_0$.

Das ist der Beweis für die Vermutung, dass $P_0$ und $P_6$ stets zusammenfallen,
die Sechserkette sich also immer schließt, unabhängig von der Wahl von $P_0$.

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Zur Konstruktion von $P_0$:

Wenn einem das Bild eines Dreiecks mit Inkreis vor's (vllt. innere) Auge kommt, erkennt man, dass $P_0$ der Berührpunkt von AB mit dem Inkreis sein muss:

Die Tangentenabschnitte von einer Ecke zu den benachbarten beiden Berührpunkten sind ja jeweils gleich lang:
$AP_0=AP_1=a'$, $CP_1=CP_2=c'$, $BP_2=BP_3=b'$.
Alle 6 addieren sich zum Umfang:
u = 2a' + 2b' + 2c', also s = a' + b' + c'.
Es folgt a' = s − (b' + c') = s − a, wie oben.

Somit ist $AP_0'=a'$, und man erhält $P_0'$ als Fußpunkt des Lotes vom Inkreismittelpunkt auf AB.

Anderer Weg:

Im Fall, dass drei Kreisbögen mit $P_3 \neq P_0$ vorliegen, konstruiert man den Mittelpunkt $M$ der Strecke $P_3P_0$.
Nach der Bemerkung oben hat $AM$ dann die gesuchte Länge a', es ist $M=P_0'$.

Noch ein anderer Weg:

Man konstruiert eine Strecke der Länge a' = s − a.

1. Abtragen der Streckenlänge AC von A aus nach links auf die Gerade AB ergibt Punkt D.
2. Abtragen der Streckenlänge BC von B aus nach rechts auf die Gerade AB ergibt Punkt G.
3. DG hat nun die Länge des Dreiecksumfangs $u$.
4. Konstruktion der Mittelsenkrechten von DG erzeugt ihren Mittelpunkt H. Folglich hat HG die Länge u/2 = s.
5. Wegen HB = HG − BG = s − a = a' ist HB eine Strecke der gesuchten Länge.
6. Abtragen dieser Streckenlänge von A aus nach rechts auf AB liefert $P_0'$.

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Viele Grüße
ottogal