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Tabellenkalk
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MudGuard
Rolf B
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Rolf B
Gunnar Bittersmann
Gunnar Bittersmann
Gunnar Bittersmann
JürgenB
Hallo Leute,
ich lese gerade ein Buch zum Thema Astronomie und bin, was Mathe angeht, so ziemlich aus allem raus. Trotzdem möchte ich die dort dargestellten Formeln verstehen.
Als erstes wird Folgendes genannt (Formel 3.1); v=g(t-t0)+v0 (die "0" ist als Index gemeint, nicht als Faktor). So weit so gut und verständlich.
Dann kommt s=1/2(v0+v)(t-t0). Auch verständlich.
Jetzt wird die rechte Seite der oben beschriebene Formel 3.1 für "v" eingesetzt
s=v0(t-t0)+1/2g(t-t0)².
Ich verstehe nicht, wo jetzt die Quadratzahl/der Exponent herkommt. Kann mir das jemand erklären?
Vielen Dank! Peter
Hallo,
ich rechne es dir jetzt nicht vor, aber die Zwischenschritte sind nicht dargestellt.
in beiden Formeln hast du Terme, die addiert werden. D.h. da muss noch nach dem Einsetzen von v ausmultipliziert und danach vereinfacht werden. Aber dadurch wird ein Term eben quadriert.
Gruß
Kalk
Hallo Kalk,
danke erstmal für deine Antwort. Ich habe auf dem Papier versucht, die Zwischenschritte zu ermitteln, was mir nicht gelungen ist. Könntest du diese Umformung doch bitte einmal hier darstellen?
Vielen Dank!
Hallo,
versuche die Reihenfolge zu ändern: einsetzen, dann vereinfachen und erst zum Schluss ausmultiplizieren!
Gruß
Kalk
Hi Kalk,
ich würde es so machen:
1/2 (v0+g(t-t0)+v0)
Klammer auflösen:
1/2 v0-g(t-t0)-v0 (v0 verschwindet)
1/2-g(t-t0)
1/2-gt+gt0
Das sieht ganz anders aus, als das richtige Ergebnis. Könntest Du mir einen Tipp dazu geben?
Hallo,
ich würde es so machen:
1/2 (v0+g(t-t0)+v0)
hier hast bereits einen Teil weggelassen.
Klammer auflösen:
1/2 v0-g(t-t0)-v0 (v0 verschwindet)
hier hast du ein minus erfunden
1/2-g(t-t0)
1/2-gt+gt0
Das sieht ganz anders aus, als das richtige Ergebnis. Könntest Du mir einen Tipp dazu geben?
Bis auf die Fehler hast du alles richtig gemacht....
Gruß
Kalk
Hi,
1/2 (v0+g(t-t0)+v0)
hier hast bereits einen Teil weggelassen.
Klammer auflösen:
1/2 v0-g(t-t0)-v0 (v0 verschwindet)
hier hast du ein minus erfunden
aber dafür den Faktor 1/2 bei den weiteren Summanden vergessen …
cu,
Andreas a/k/a MudGuard
Hallo Peter,
sorry, hab diesen parallelen Dialog übersehen.
Klammer auflösen:
Ja, Algebrabuch. Diese „Auflösung“ ist grottenfalsch.
Wo ist in Zeile 1 der Faktor (t-t0) geblieben?
Wo kommt nach Durchmultiplizieren mit ½ das Minus her?
Rolf
Hallo,
versuche die Reihenfolge zu ändern: einsetzen, dann vereinfachen und erst zum Schluss ausmultiplizieren!
Oder zuerst vereinfachen: die Zeitdifferenz bleibt komplett unverändert, also ersetze in allen Formeln (t-t0) durch zB. dT (oder nur T, völlig egal)
Man hat dann weniger Schreibarbeit und mehr Überblick.
Gruß
Kalk
Hallo Peter,
In 3.1 steckt der Faktor $$(t-t_0)$$ drin, und in der Formel für $$s$$ nochmal. Setz das stumpf ein und multipliziere aus, dann ergibt sich das.
Falls dir das nicht gelingt, solltest du ein Buch über Algebra als Propädeutikum in Erwägung ziehen, sonst dürftest du vom Astronomiebuch nur Kopfschmerzen bekommen.
Rolf
@@Peter
Als erstes wird Folgendes genannt (Formel 3.1); v=g(t-t0)+v0 (die "0" ist als Index gemeint, nicht als Faktor). So weit so gut und verständlich.
Ich mach’s mal besser und verständlicher: $$v=g(t-t_0)+v_0$$
Dann kommt s=1/2(v0+v)(t-t0). Auch verständlich.
$$s=\frac12(v_0+v)(t-t_0)$$
Jetzt wird die rechte Seite der oben beschriebene Formel 3.1 für "v" eingesetzt
s=v0(t-t0)+1/2g(t-t0)².
$$s=v_0(t-t_0)+\frac12g(t-t_0)^2$$
Ich verstehe nicht, wo jetzt die Quadratzahl/der Exponent herkommt. Kann mir das jemand erklären?
$$\begin{align}s&=\tfrac12(v_0+v)(t-t_0)\\
&=\tfrac12(v_0+g(t-t_0)+v_0)(t-t_0)\\
&=\tfrac12(2v_0+g(t-t_0))(t-t_0)\\
&=\tfrac12 \cdot 2v_0(t-t_0)+\tfrac12g(t-t_0)(t-t_0)\\
&=v_0(t-t_0)+\tfrac12g(t-t_0)^2
\end{align}$$
🖖 Живіть довго і процвітайте
PS: So, und nun weiß ich auch wieder, wie das mit dem align geht. 😉
@@Gunnar Bittersmann
Als erstes wird Folgendes genannt (Formel 3.1); v=g(t-t0)+v0 (die "0" ist als Index gemeint, nicht als Faktor). So weit so gut und verständlich.
Ich mach’s mal besser und verständlicher: $$v=g(t-t_0)+v_0$$
Geht auch ohne LaTeX (nicht zu verwechseln mit Latex):
v = g(t − t₀) + v₀
Dann kommt s=1/2(v0+v)(t-t0). Auch verständlich.
$$s=\frac12(v_0+v)(t-t_0)$$
s = ½(v₀ + v)(t − t₀)
🖖 Живіть довго і процвітайте
Hi Gunnar,
vielen Dank, so macht es total Sinn. Die Vorzeichen in der Klammer hatte ich beim Auflösen umgekehrt.
Gruß Peter
Warum werden sie jetzt eigentlich nicht umgekehrt?
Hi Gunnar,
sorry, ich muss nochmal zurückrudern.
Wo kommt das zweite
$$\begin{align}(t-t_0) \end{align}$$
in der vierten Zeile deiner Rechnung her?
bzw. warum gibt es das jetzt dreimal und nicht mehr zweimal?
@@Peter
Wo kommt das zweite $$(t-t_0)$$ in der vierten Zeile deiner Rechnung her?
Ich schreib mal zur Übersicht t − t₀ =: Δt.
3. Zeile ist dann: s = ½ · (2v₀ + g · Δt) · Δt.
Klammer aufgelöst: s = ½ · 2v₀ · Δt + ½ · g · Δt · Δt.
Da haste dein (Δt)².
🖖 Живіть довго і процвітайте
Hi Gunnar,
vielen Dank auch dafür. Meine Kenntnisse sind wohl noch viel schlechter, als ich das in Erinnerung hatte. Ich denke, dass es mir an fundamentalem Verständnis fehlt. Dass man nach dem Auflösen der Klammern zweimal "Δt" hat, die man mit dem Quadrat zusammenfassen kann, ist verständlich. Was ich trotzdem nicht verstehe ist, warum man am Ende ein drittes "Δt" erhält (nämlich das Erste im Term). Auf welcher Regel beruht das?
Gruß Peter
@@Peter
Auf welcher Regel beruht das?
Nur dass du vor und hinter der Klammer jeweils einen Faktor hast. (Hätte ich die umsortieren sollen, damit es klarer wird?)
a · (b + c) · d = abd + acd
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Hi Gunnar,
dann werde ich das mal umstellen und zusehen, dass ich das verstehe.
Danke für Deine Mühe :)
Auf welcher Regel beruht das?
Hallo Peter,
die Regel heißt Distributivgesetz.
Zu diesem Suchwort findest du außer in Wikipedia unzählige Erklärungen im Netz, du musst ein bisschen schauen, was dir zusagt. Zwei Beispiele:
https://www.studysmarter.de/schule/mathe/algebra/distributivgesetz/
https://www.matheretter.de/wiki/distributivgesetz
Dein Fall ist dadurch etwas unübersichtlich, dass es hier drei Faktoren sind und das Distributionsgesetz zweimal angewendet wird.
Gunnar schrieb:
Ich schreib mal zur Übersicht t − t₀ =: Δt.
3. Zeile ist dann: s = ½ · (2v₀ + g · Δt) · Δt.
Hier füge ich einen Zwischenschritt ein: Wir verteilen erst nur den Faktor ½ :
s = (½ · 2v₀ + ½ · g · Δt) · Δt,
das vereinfachen wir zu
s = (v₀ + ½ · g · Δt) · Δt.
Jetzt wird im zweiten Schritt der hinten stehende Faktor Δt auf die Summanden in der Klammer verteilt:
s = v₀ · Δt + ½ · g · Δt · Δt,
also
s = v₀ · Δt + ½ · g · (Δt)².
Dein Weg zur Astronomie wird noch etwas steiniger werden. Bleib dran!
ottogal
Hi Ottogal,
jetzt habe sogar ich das verstanden... vielen Dank!
@@ottogal
Dein Fall ist dadurch etwas unübersichtlich, dass es hier drei Faktoren sind und das Distributionsgesetz zweimal angewendet wird.
Anstatt das zu tun würde ich dann doch lieber umsortieren:
a · (b + c) · d = ad · (b + c) = ad · b + ad · c
🖖 Живіть довго і процвітайте
Hallo
s=v0(t-t0)+1/2g(t-t0)².
wenn sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt, ist die zurückgelegte Strecke "Geschwindigkeit mal verstrichene Zeit", also
s = v (t - t₀) + s₀
Bei einer beschleunigten Bewegung ist die Geschwindigkeit "Beschleunigeung mal verstrichene Zeit", also
v = a (t - t₀) + v₀
Wenn man jetzt die zurückgelegte Strecke bei einer beschleunigten Bewegung berechnen will, kann man nicht einfach dir zweite Formel in die erste einsetzen, weil die erste ja eine konstante Geschwindigkeit voraussetzt. Man muss statt dessen über die zeitabhängige Geschwindigkeit integrieren:
s = Integral von t₀ bis t über v dt = a/2 (t - t₀)² + v₀ t + s₀
Gruß
Jürgen
