Mathematik zur Mitternacht
ottogal
- mathematik
Hallo in die Runde!
Gegeben ist ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck ABC (gelb) mit Umkreis und Inkreis.
Der Berührpunkt des Inkreises mit der Hypotenuse heiße D.
Das eingezeichnete Quadrat (orange) hat D als linke obere Ecke;
die linke untere Ecke E liegt auf dem Umkreis.
Man zeige: Das Dreieck und das Quadrat haben gleichen Flächeninhalt.
Viele Grüße
ottogal
Zeit fehlt $$\rightarrow$$ ok
Zeit vorhanden, Lust fehlt $$\rightarrow$$ ok
Zeit und Lust vorhanden, Interesse fehlt $$\rightarrow$$ ok
Zeit , Lust und Interesse vorhanden, Idee fehlt $$\rightarrow$$ bitte melden.
Viele Grüße
ottogal
Hallo,
Zeit , Lust und Interesse vorhanden, Idee fehlt $$\rightarrow$$ bitte melden.
habe einige Ideen, die zündende fehlte…
Gruß
Kalk
Hallo ottogal,
hauptsächlich (1), auch (2) ist beteiligt. (3) definitiv nicht, und (4) ist damit irrelevant.
Nach etwas Spielen mit Geogebra hab ich zwar ein paar Ideen, aber ich müsste noch eine bestimmten Kongruenz nachweisen, für die mir der Ansatz fehlt. Aber vermutlich stecke ich da in der Sackgasse des Grauens und es geht anders viel einfacher 😉
Rolf
Hab jetzt Zeit, aber bisher keine Ahnung.
Hallo encoder,
hatte gestern nachmittag etwas Zeit und war eigentlich auf dem richtigen Weg, bin aber nicht konsequent gewesen und dann abgeschwiffen. Meine Abschweiflösung, die zu einem Zipfel-Pärchen führte, dessen Kongruenz sich mir hartnäckig entzog, hatte ich Ottogal geschickt, von ihm ein "da finde ich auch nichts, aber du hast doch HIER schon einen Ansatz Idee gehabt" bekommen und das führte mich dann heute morgen auf dem Normalweg ans Ziel. Auch wenn es mir dabei ganz schön heiß zu werden drohte!
Rolf
Hallo in die Runde (und gute WÜnsche)!
Um Altlasten nicht zu weit ins neue Jahr zu schieben, löse ich mal auf.
Dabei bin ich bewusst etwas ausführlich.
Lösung
(1)
Die zwei Tangenten, die sich von einem Punkt außerhalb eines Kreises an diesen legen lassen, erzeugen gleich lange Tangentenabschnitte. (Das folgt schon aus der Symmetrie der Figur, die aus dem Kreis und den beiden Tangenten besteht.) Zusammen mit den dazugehörigen Kreisradien ergibt sich ein Drachenviereck. Dessen Flächeninhalt ist das Produkt aus dem Tangentenabschnitt und dem Radius.
(2)
Wir bezeichnen die Längen der Tangentenabschnitte von A aus mit p, die von B aus mit q; bei C bilden die Tangentenabschnitte den rechten Winkel und haben die Länge r des Inkreisradius.
Für die Seiten des Dreiecks ABC gilt dann
a = q + r
b = p + r
c = p + q
Für die Dreiecksfläche schreiben wir einfach ABC:
ABC = a b / 2, also ABC = (q + r)(p + r) / 2 und daher
$$\quad 2 ABC = p q + r (p + q + r)$$
(3)
Um weiter zu kommen, müssen wir ABC noch auf anderem Weg berechnen.
Wir zerlegen das Dreieck ABC in die 3 Drachenvierecke (links im Bild).
Ihre Flächen sind
p r (bei A)
q r (bei B)
r² (bei C).
Somit ergibt sich
$$\quad ABC = r (p + q + r)$$
Alternativ kann man das Dreieck ABC auch in drei Dreiecke zerlegen (rechts im Bild).
Sie haben alle die gleiche Höhe r und die Flächeninhalte
ABM = c r / 2
BCM = a r / 2
CAM = b r / 2
Es folgt ABC = r (a + b + c) /2, also ebenfalls
$$\quad ABC = r (p + q + r)$$
(4)
Setzt man das Ergebnis von (3) in die in (2) erhaltene Gleichung ein, folgt
2 ABC = p q + ABC und damit
$$\quad ABC = p q$$
Man kann alternativ den Pythagoras im Dreieck ABC verwenden:
(p + r)² + (q + r)² = (p + q)²
Ausmultiplizieren und Vereinfachen führt zur Gleichung
r (p + q + r) = p q, also wegen (3) ebenfalls
$$\quad ABC = p q$$
(5)
Sei h = |DE| die Seite des orangefarbenen Quadrats. Dann gilt nach dem Höhensatz im Dreieck BAE:
p q = h², also
$$\quad ABC = h²$$.
Das gelbe Dreieck und das Quadrat haben also den gleichen Flächeninhalt.
q.e.d.
Danke fürs Mitmachen!
Korrekte Lösungen mit dieser Argumentation bekam ich von @Tabellenkalk (gleich) und von @Rolf B (nach kleinem Stupser). @Gunnar Bittersmann rechnete korrekt in einem günstig gelegten Koordinatensystem, führte die mühseligen Rechnungen aber nicht zu Ende.
Die Anregung zu der Aufgabe stammt hiervon:
https://walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20250501-04/010.gif
Viele Grüße
ottogal