Mathematik zum Frühstück
ottogal
Mathematik zum Frühstück
ottogal
Gunnar BittersmannHallo in die Runde,
diese Aufgabe sieht zwar auf den ersten Blick viel komplexer aus als die letzte, lässt sich aber (sagen wir) bei einem Cappuccino lösen:
Die vier kleinen Kreise mit gleichem Radius liegen so, dass sie sich gegenseitig nicht überschneiden. Jeder von ihnen überscheidet aber den großen Kreis, der den doppelten Radius hat.
Zu zeigen ist: Die Summe der Flächeninhalte der hellgrünen Stücke ist genau so groß wie das dunkelgrüne Flächenstück.
(Man könnte an Salamischeiben denken, die etwas vom Brötchen gerutscht sind...)
Viele Grüße
ottogal ☕🥐
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@@ottogal
diese Aufgabe sieht zwar auf den ersten Blick viel komplexer aus als die letzte, lässt sich aber (sagen wir) bei einem Cappuccino lösen:
Symbolbild:
(Montage aus Fotos von Sepehr Moazed (Cappuccino) Nathan Dumlao (Kaffeefleck) auf Unsplash)
🖖 Live long and prosper
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“In my home, the America I love, the America I've written about, that has been a beacon of hope and liberty for 250 years, is currently in the hands of a corrupt, incompetent and treasonous administration. Tonight, we ask all who believe in democracy and the best of our American spirit, to rise with us, raise your voices against authoritarianism, and let freedom reign.”
— Bruce Springsteen, Manchester 2025-05-14-
😀
(Hm, Beitragstext "sollte mindestens 10 Zeichen haben" – oder "muss"? Hat er ja nun...)
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Hallo In die Runde,
Von allen Teilnehmenden (den üblichen Verdächtigen 😉) habe ich richtige Lösungen bekommen.
Bezeichnen wir mit D, H und W jeweils die Summe der Flächeninhalte der dunkelgrünen bzw. hellgrünen bzw. weißen Stücke, dann haben
- der große Kreis die Fläche D + W,
- die vier kleinen Kreise zusammen die Fläche H + W.
Der große Kreis hat wegen des doppelten Radius' die vierfache Fläche eines kleinen. (Das kann man mit der $$\pi r²$$-Formel nachrechnen; oder damit begründen, dass bei einem linearen Skalierungsfaktor k sich alle Flächeninhalte mit k² skalieren. Oder als trivial einfach ohne Beweis verwenden.)
Es gilt also
D + W = H + W
und daher D = H.
Einige von euch nahmen die kleinen Kreise zuerst außerhalb des großen liegend an und erkannten D = H (bei W = 0).
Bewegt man dann einen kleinen Kreis bis zur Überschneidung mit dem großen, so nimmt jedes entstehende weiße Stück gleichviel von D weg wie von H, und D = H gilt weiterhin – solange die kleinen Kreise sich nicht überschneiden.[Quelle: Die Aufgabe habe ich dem "Mathematik-Kalender 2025" vom Harenberg-Verlag entnommen (Blatt zum 03.09.2025).]
Danke fürs Mitmachen und viele Grüße!
ottogal
