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Beweis |x|/(x^2+1)<= 1/2
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MudGuard
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Beweis |x|/(x^2+1)<= 1/2
Hallo,
irgendwie schaff ich es gerade gar nicht, so beweisen, dass |x|/(x^2+1) <= 1/2 ist.
(x enstammt den reellen Zahlen)
Bin da voll auf dem Holzweg, wäre nett wenn mich jemand retten könnte ^^
MFG
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Hallo,
irgendwie schaff ich es gerade gar nicht, so beweisen, dass |x|/(x^2+1) <= 1/2 ist.
(x enstammt den reellen Zahlen)Bin da voll auf dem Holzweg, wäre nett wenn mich jemand retten könnte ^^
Nunja, die Ungleichung ist symmetrisch bezüglich negativen und positiven x, daher brauchen wir nur [latex]x \le 0[/latex] betrachten, da können wird die Betragsstriche weglassen:
[latex]\frac{x}{x^2 + 1} \le \frac{1}{2}[/latex]
Nun kannst Du durch Äquivalenzumformungen (wichtig: die Umformungen müssen rückgängig gemacht werden können, damit die Schlussrichtung stimmt!) die Ungleichung umforen. Da [latex]x^2 + 1[/latex] immer positiv ist, kann man damit einfach multiplizieren, ohne, dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht:
[latex]2x \le x^2 + 1[/latex]
Und nun auf eine Seite bringen:
[latex]x^2 - 2x + 1 \ge 0[/latex]
Nun sieht man, dass dies eine binomische Formel ist (die zweite):
[latex](x - 1)^2 \ge 0[/latex]
Nun steht auf der linken Seite das Quadrat einer reellen Zahl - und das Quadrat einer reellen Zahl ist *IMMER* größer gleich 0 - d.h. die Ungleichung ist damit auf eine korrekte Aussage durch Äquivalenzumformungen zurückgeführt, womit die Ungleichung bewiesen ist.
Viele Grüße,
Christian-
Hi,
daher brauchen wir nur [latex]x \le 0[/latex] betrachten, da können wird die Betragsstriche weglassen:
Fast, [latex]x \ge 0[/latex], nur dann kann man die Betragstriche weglassen.
cu,
Andreas--
Warum nennt sich Andreas hier MudGuard?
O o ostern ...
Fachfragen unaufgefordert per E-Mail halte ich für unverschämt und werde entsprechende E-Mails nicht beantworten. Für Fachfragen ist das Forum da.
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Hallo Andreas,
daher brauchen wir nur [latex]x \le 0[/latex] betrachten, da können wird die Betragsstriche weglassen:
Fast, [latex]x \ge 0[/latex], nur dann kann man die Betragstriche weglassen.
*ARGH* Ja, das wollte ich schreiben. Man kann natürlich auch [latex]x \le 0[/latex] betrachten, dann ist aber [latex]|x| = -x[/latex], was aber an den grundsätzlichen Schritten nichts ändert.
Viele Grüße,
Christian
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Tach.
irgendwie schaff ich es gerade gar nicht, so beweisen, dass |x|/(x^2+1) <= 1/2 ist.
(x enstammt den reellen Zahlen)Falls Du ein bißchen Differenzieren üben möchtest, kannst Du alternativ zu Christians Lösung auch zeigen, daß [latex]\frac{x}{x^2 + 1}[/latex] für [latex]x \ge 0[/latex] ein globales Maximum bei 1 hat und dort den Wert 1/2 annimmt. ;)
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Once is a mistake, twice is Jazz.
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Hallo,
Falls Du ein bißchen Differenzieren üben möchtest,
Ne danke, dürfen wir noch nicht verwenden da es in der Vorlesung noch nicht definiert wurde.
Danke an Christians, irgendwie hab ich den Binomi darin nicht entdeckt.
MFG
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