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echo $begrüßung;
Der OP wollte auf "leer" (bzw. empty) prüfen, eine Prüfung mit empty() liefert aber bei z.B. 0 oder '0' true zurück, bei der Formularverarbeitung kann das zu Problemen führen, wenn man bei einem Wert den String '0' zurückbekommt.
Das ist soweit erstmal richtig. Jedoch heißen die wenigsten Menschen '0' (der OP gab $name an), so dass es in diesem Sonderfall verschmerzt werden kann, dass empty() auch bei '0' anspringt.
echo "$verabschiedung $name";