Mathe

[Shark]

Tach.

[latex]y \cdot \sum_{k=0}^{x} k \cdot y^{k-1} = y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \sum_{k=0}^{x} y^k \right)[/latex]

Der letzte Schritt ist mir noch nicht ganz klar. Es scheint so, also würdest du das, was in der Summe steht, integrieren und zum "Ausgleich" (also damit sich das Ergebnis des Ausdrucks nicht ändert) einfach die partielle Ableitung nach y davor schreiben.

Da gibt's eigentlich nicht viel zu erklären. Das ist bloß die Differentiation einer Summe von Potenzfuntionen -- auch wenn ich diesen einen Schritt in der Notation übersprungen habe. Am einfachsten siehst Du das, wenn Du die Kurzschreibweise mit dem Summenzeichen durch die ausführlichere Schreibweise ersetzt:

[latex]\frac{\partial}{\partial y} \left( \sum_{k=0}^{x} y^k \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( y^0 + y^1 + y^2 + \dots + y^x \right)[/latex]
[latex]= \frac{\partial}{\partial y} y^0 + \frac{\partial}{\partial y} y^1 + \frac{\partial}{\partial y} y^2 + \dots + \frac{\partial}{\partial y} y^x[/latex] (Was man auch als [latex]\sum_{k=0}^{x} \frac{\partial}{\partial y} y^k[/latex] schreiben könnte.)
[latex]= 0 + 1 + 2y + \dots + xy^{x-1}[/latex]
[latex]= \sum_{k=0}^{x} k \cdot y^{k-1}[/latex]

Ja, das macht es eigentlich sehr gut klar. Ich bin wirklich verwundert, dass soetwas scheinbar einfaches hier weiterhilft. Der Knackpunkt (wie bei den meisten mathematischen Beweisen) scheint hier ja zu sein, dass man "sieht", dass man hier den Term so umwandeln kann, dass man danach eine geometrische Reihe hat. Du hast wohl schon Erfahrung damit oder?