Mathe: wenn zwei Ebenen sich schneiden!

[Christian Seiler]

Hallo,

Ich find folgendes komisch: wenn ich zwei Ebenen in der Form ax1 + bx2 + cx3 -d = 0 gegeben habe und diese dann gleichsetze (also ax1 + bx2 ... = nx1 + mx2 ...) erhalte ich auch dann eine Ebene, wenn sich die Ebenen schneiden!

Du musst das anders sehen: Du hast zwei Gleichungen:

[latex]\mathrm{E1:}  a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = b[/latex]
[latex]\mathrm{E2:}  c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3 = d[/latex]

Du hast aber 3 Unbekannte:

[latex](x_1, x_2, x_3)[/latex]

Damit hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Das Auflösen der Gleichungen, nach 0 Umstellen und dann Gleichsetzen liefert Dir dagegen nur eine weitere Gleichung, die von den bereits bekannten Geichungen abhängig ist. Und diese weitere Gleichung wäre zwar wieder eine Ebene, die auch durch die Gerade verläuft. Die alleine liefert Dir jedoch noch nicht die Gerade.

Bedenke: Du willst, um den Schnitt der Ebenen zu berechnen, das Gleichungssystem *lösen*, d.h. Ergebnisse für den Vektor x finden.

Nehmen wir mal ein Beispiel an:

[latex]\mathrm{E1:}  x_1 + x_2 + x_3 = 4[/latex]
[latex]\mathrm{E2:}  2 x_1 - 3 x_2 + 6 x_3 = 12[/latex]

Um das zu lösen, wenden wir das Gauss-System an, um die unbekannten zu eliminieren. E2 + 3 * E1 führt dazu, dass die Variable [latex]x_2[/latex] eliminiert wird:

[latex]\mathrm{E1:}  x_1 + x_2 + x_3 = 4[/latex]
[latex]\mathrm{E2:}  2 x_1 - 3 x_2 + 6 x_3 = 12[/latex]
[latex]\mathrm{E2 + 3E1:}  5 x_1 + 9 x_3 = 24[/latex]

Nun haben wir das Gleichungssystem praktisch auf Gauss-Form gebracht. Da wir nur zwei Gleichungen hatten, aber drei unbekannte, haben wir 3 - 2 = 1 freien Parameter. Wir setzen hier also einfach mal [latex]x_1 = t[/latex]. Damit folgt dann:

[latex]5 t + 9 x_3 = 24[/latex]

Damit ist [latex]x_3[/latex] gegeben durch:

[latex]x_3 = \frac{1}{9} \left( 24 - 5 t \right)[/latex]

Setzen wir nun beides in E1 ein, erhalten wir:

[latex]t + x_2 + \frac{1}{9} \left( 24 - 5 t \right) = 4[/latex]

Damit ergibt sich für [latex]x_2[/latex]

[latex]x_2 = \frac{1}{9} \left( 12 - 4 t \right) [/latex]

Damit erhalten wir als Vektorgleichung folgendes:

[latex]\left(\begin{array}{c}x_1 \ x_2 \ x_3\end{array}\right) = \frac{1}{9}\left[t \left(\begin{array}{c}11 \ -4 \ -5\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}0 \ 12 \ 24\end{array}\right)\right][/latex]

Und das ist eine Geradengleichung und die Lösung des Schnittes zwischen den beiden Ebenen.

DISCLAIMER: Kann sein, dass ich mich in diesem Posting irgendwie verrechnet habe, was die Zahlenwerte angeht (es ist schon spät), das Grundprinzip stimmt aber in jedem Fall. ;-)

Viele Grüße,
Christian

PS: Diese Lösungsmethode ist in meinen Augen viel schneller, als die Lösung, erst die Parametergleichungen zu finden, da man dann ja Gleichungssystem mit 4 unbekannten Lösen muss, *nachdem* man sich die Mühe gemacht hat, die andere Form zu bekommen.