Mathe: wenn zwei Ebenen sich schneiden!

[Yay!]

Hey!

Ich find folgendes komisch: wenn ich zwei Ebenen in der Form ax1 + bx2 + cx3 -d = 0 gegeben habe und diese dann gleichsetze (also ax1 + bx2 ... = nx1 + mx2 ...) erhalte ich auch dann eine Ebene, wenn sich die Ebenen schneiden! Eigentlich müsste ich doch aber eine Gerade rauskriegen?! Wieso passiert das nicht?

[MudGuard]

Hi,

Ich find folgendes komisch: wenn ich zwei Ebenen in der Form ax1 + bx2 + cx3 -d = 0 gegeben habe und diese dann gleichsetze (also ax1 + bx2 ... = nx1 + mx2 ...) erhalte ich auch dann eine Ebene, wenn sich die Ebenen schneiden! Eigentlich müsste ich doch aber eine Gerade rauskriegen?! Wieso passiert das nicht?

Schneiden sie sich oder sind sie identisch?

cu,
Andreas

[Yay!]

Hi,

Ich find folgendes komisch: wenn ich zwei Ebenen in der Form ax1 + bx2 + cx3 -d = 0 gegeben habe und diese dann gleichsetze (also ax1 + bx2 ... = nx1 + mx2 ...) erhalte ich auch dann eine Ebene, wenn sich die Ebenen schneiden! Eigentlich müsste ich doch aber eine Gerade rauskriegen?! Wieso passiert das nicht?

Schneiden sie sich oder sind sie identisch?

Sie schneiden sich. Also einfach mal als Beispiel (in der Hoffnung, dass sie sich schneiden ;)):

G1: 2x1 - 3x2 + 4x3 + 5 = 0
G2: 6x1 + 7x2 - 3x3 - 2 = 0

[apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, Yay!!

G1: 2x1 - 3x2 + 4x3 + 5 = 0 G2: 6x1 + 7x2 - 3x3 - 2 = 0

wie weiter oben schon erläutert [Bademeister, Apsel] kannst du zwar die Gleichungen gleichsetzen und erhältst auch irgendein Ergebnis. Willst du allerdings eine Geradengleichung im Raum erhalten, so ist die zwingend in vektorieller Schreibweise notwendig, weil mehr als nur eine Abhängkeit besteht.

Am besten (nicht zwingend am schnellsten) geht es imho, wenn du beide Ebenen als Parametergleichungen aufstellst, das LGS (4 Unbekannte, 3 Gleichungen löst, sodass noch 2 Parameter übrig bleiben, durch einsetzen in eine [die richtige] Ebenengleichung einen der beiden Paramter eleminierst. Der übrig gebliebene Paramter ist der für den Richtungsvektor der Schnittgeraden.

Matthias

[Yay!]

Om nah hoo pez nyeetz, Yay!!

G1: 2x1 - 3x2 + 4x3 + 5 = 0
G2: 6x1 + 7x2 - 3x3 - 2 = 0

wie weiter oben schon erläutert [Bademeister, Apsel] kannst du zwar die Gleichungen gleichsetzen und erhältst auch irgendein Ergebnis. Willst du allerdings eine Geradengleichung im Raum erhalten, so ist die _zwingend_ in vektorieller Schreibweise notwendig, weil mehr als nur eine Abhängkeit besteht.

Am besten (nicht zwingend am schnellsten) geht es imho, wenn du beide Ebenen als Parametergleichungen aufstellst, das LGS (4 Unbekannte, 3 Gleichungen löst, sodass noch 2 Parameter übrig bleiben, durch einsetzen in eine [die richtige] Ebenengleichung einen der beiden Paramter eleminierst. Der übrig gebliebene Paramter ist der für den Richtungsvektor der Schnittgeraden.

Ja, ich weiß schon wie das geht. Aber normalerweise bedeutet für mich das "gleichsetzen" zweier Gleichungen, dass ich dann quasi die Menge aller Elemente/Punkte erhalte, die beide Gleichungen valide erfüllen.

Also wenn ich z.B. y = ax² + b  und y = cx gleichsetze, dann erhalte ich als Lösung alle gemeinsamen Punkte beider Gleichungen (also entweder keinen, einen oder zwei)

Aber warum geht das im Raum nicht? Was meinst du damit, dass "mehr als nur eine Abhängigkeit besteht"? Ich mein, es kann doch nich sein, dass ich _irgendein_ Ergebnis erhalte. Ich will doch ein Ergebnis erhalten (also eine Gleichung), die all die Punkte beschreibt, die beide Ebenen gemeinsam haben. Aber wieso kommt dann bei der resultierenden Ebene (also nachdem ich gleichgesetzt haben) eine Ebene raus, die zusätzlich auch noch andere Punkte enthält?

PS: Tut mir leid, wenn ich euch damit nerve, aber ich versteh es leider noch nich so richtig, was ihr mir sagen wollt

[Bademeister]

Ich will doch ein Ergebnis erhalten (also eine Gleichung), die all die Punkte beschreibt, die beide Ebenen gemeinsam haben. Aber wieso kommt dann bei der resultierenden Ebene (also nachdem ich gleichgesetzt haben) eine Ebene raus, die zusätzlich auch noch andere Punkte enthält?

Wenn Du die Gleichungen

a = 5
und
b = 5

hast, dann gibt es eine Lösung für das Paar (a,b), so dass beide Gleichungen stimmen, nämlich (5,5).

Wenn Du nun das machst, was Du als "Gleichsetzen" bezeichnest, und zu der Gleichung

a = b

übergehst, dann hat sie eben viel mehr Lösungen: (1,1), (2,2), (3,3),...,
weil es eben Paare von Zahlen gibt, die die untere Gleichung erfüllen, aber nicht die Ausgangsgleichung.

Du setzt hier keine Gleichungen gleich (ich weiß nicht mal, wie das gehen sollte), sondern Du setzt einen Teil von einer Gleichung mit einem Teil der anderen Gleichung gleich. Dass da das rauskommt, was Du gerne willst, war blanke Hoffnung, oder? Einen Grund dafür gibts nicht.

Viele Grüße,
der Bademeister

[Yay!]

Ich will doch ein Ergebnis erhalten (also eine Gleichung), die all die Punkte beschreibt, die beide Ebenen gemeinsam haben. Aber wieso kommt dann bei der resultierenden Ebene (also nachdem ich gleichgesetzt haben) eine Ebene raus, die zusätzlich auch noch andere Punkte enthält?

Wenn Du die Gleichungen

a = 5
und
b = 5

hast, dann gibt es eine Lösung für das Paar (a,b), so dass beide Gleichungen stimmen, nämlich (5,5).

Wenn Du nun das machst, was Du als "Gleichsetzen" bezeichnest, und zu der Gleichung

a = b

Joa, das stimmt irgendwie.

Aber wenn ich die Schnittgerade zweier Ebenen ausrechnen will, dann setze ich doch auch gleich! Dann mach ich aus den Ebenen in Koordinatenform zwei Ebenen in Vektorform, die dann so aussehen:

E: (x,y,z) = (a,b,c)[Stützvektor] + u*(d,e,f)[1.Richtungsvektor] + v*(g,h,i)[2.Richtungsvektor]

Und wenn ich dann beide Ebenen in dieser Form aufgestellt habe, setze ich das (x,y,z) am Anfang gleich, d.h. da steht dann:
(a,b,c) + u*(d,e,f) + v*(g,h,i) = (a2,b2,c3) +u2*(d2,e2,f2) + v*(g2,h2,i2)

So und dann löse ich das als Gleichungssystem nach einer Unbekannten aus (die ich mir aussuche) und erhalte dann eine Gleichung für die Gerade:

G: (x,y,z) = (a',b',c')[Stützvektor] + u'*(d',e',f')[Richtungsvektor]

Fertig.

Nur: wenn ich zwei Ebenen in Parameterform gleichsetzen kann, dann muss das doch auch in Koordinatenform gehen. Denn die Mengen der Punkte sind ja gleich und wenn ich die Schnittmenge dieser Mengen bestimmen will, wieso kann ich das dann durch Gleichsetzen nur bei der Parameterform und nicht bei der Koordinatenform? Wieso kommt bei Letzterer dann eine neue Ebene raus?

übergehst, dann hat sie eben viel mehr Lösungen: (1,1), (2,2), (3,3),...,
weil es eben Paare von Zahlen gibt, die die untere Gleichung erfüllen, aber nicht die Ausgangsgleichung.

Aber wenn ich das ganze mit Vektoren mache, dann gibt es ja auch nicht plötzlich mehr Lösungen, sondern genau die, die ich wollte.

Du setzt hier keine Gleichungen gleich (ich weiß nicht mal, wie das gehen sollte)

???

y = 2x + 2
y = 3x + 5
y gleichsetzen:
2x + 2 = 3x + 5 <=> 0 = x + 3 <=> x = -3
Ich weiß, dass beide Gleichungen eine Menge von Punkten auf einer Gerade definieren und durch das Gleichsetzen weiß ich, dass es bei x = -3 einen _gemeinsamen_ Punkt gibt! Warum sollte das im 3 dimensionalen Raum plötzlich anders sein?

sondern Du setzt einen Teil von einer Gleichung mit einem Teil der anderen Gleichung gleich. Dass da das rauskommt, was Du gerne willst, war blanke Hoffnung, oder? Einen Grund dafür gibts nicht.

Aber für mich klingt das total logisch, und ansonsten hat es immer funktioniert: wenn ich zwei Gleichungen habe und diese gleichsetze, dann erhalte ich genau die Elemente, die durch beide Gleichungen definiert werden. Punkte die nur durch eine der Gleichungen oder sogar durch gar keine der Gleichungen definiert werden, kommen dann nicht dabei raus.

Viele Grüße,
der Bademeister

Viele Grüße zurück.

[Der Martin]

Hallo,

y = 2x + 2
y = 3x + 5
y gleichsetzen:
2x + 2 = 3x + 5 <=> 0 = x + 3 <=> x = -3

durch das reine Gleichsetzen ermittelst du also keinen Schnittpunkt, sondern nur wieder eine Gerade, nämlich die Gerade x=-3, auf der unter anderem der gesuchte Punkt liegt. Den musst du aber noch durch Einsetzen des x-Werts in eine der beiden Ausgangsgleichungen ermitteln.

Ich weiß, dass beide Gleichungen eine Menge von Punkten auf einer Gerade definieren ...

Ja. Aber wenn du der Gleichung y = 2x + 2 die linke Seite wegnimmst, ist es keine Gleichung mehr, sondern nur noch ein algebraischer Ausdruck mit einer Unbekannten. Die Bedingung der Gleichung ist weg.

und durch das Gleichsetzen weiß ich, dass es bei x = -3 einen _gemeinsamen_ Punkt gibt! Warum sollte das im 3 dimensionalen Raum plötzlich anders sein?

Ist es nicht. In deinem Beispiel bekommst du durch Gleichsetzen der rechten Seiten zweier Geradengleichungen wieder eine Geradengleichung; erst durch Einsetzen der Lösung eliminierst du die zweite Unbekannte und erhältst einen Punkt. Bei den Ebenen ist es nicht anders: Durch Gleichsetzen der rechten Seiten zweier Ebenengleichungen bekommst du wieder eine Ebene; erst durch Auflösen und Einsetzen bekommst du die tatsächliche Lösung - hier eine Gerade.

Aber für mich klingt das total logisch, und ansonsten hat es immer funktioniert: wenn ich zwei Gleichungen habe und diese gleichsetze, dann erhalte ich genau die Elemente, die durch beide Gleichungen definiert werden.

Dann hast du das nachfolgende Auflösen und Einsetzen immer "übersehen".

Ciao,
 Martin

[Yay!]

Hallo,

y = 2x + 2
y = 3x + 5
y gleichsetzen:
2x + 2 = 3x + 5 <=> 0 = x + 3 <=> x = -3

durch das reine Gleichsetzen ermittelst du also keinen Schnittpunkt, sondern nur wieder eine Gerade, nämlich die Gerade x=-3, auf der unter anderem der gesuchte Punkt liegt. Den musst du aber noch durch Einsetzen des x-Werts in eine der beiden Ausgangsgleichungen ermitteln.

Ich weiß, dass beide Gleichungen eine Menge von Punkten auf einer Gerade definieren ...

Ja. Aber wenn du der Gleichung y = 2x + 2 die linke Seite wegnimmst, ist es keine Gleichung mehr, sondern nur noch ein algebraischer Ausdruck mit einer Unbekannten. Die Bedingung der Gleichung ist weg.

und durch das Gleichsetzen weiß ich, dass es bei x = -3 einen _gemeinsamen_ Punkt gibt! Warum sollte das im 3 dimensionalen Raum plötzlich anders sein?

Ist es nicht. In deinem Beispiel bekommst du durch Gleichsetzen der rechten Seiten zweier Geradengleichungen wieder eine Geradengleichung; erst durch Einsetzen der Lösung eliminierst du die zweite Unbekannte und erhältst einen Punkt. Bei den Ebenen ist es nicht anders: Durch Gleichsetzen der rechten Seiten zweier Ebenengleichungen bekommst du wieder eine Ebene; erst durch Auflösen und Einsetzen bekommst du die tatsächliche Lösung - hier eine Gerade.

Aha? Also wenn ich jetzt x1 + x2 + x3 = 5 und x1 + 2x2 -4x3 = -2 habe, was mach ich dann jetzt genau? Erst gleichsetzen? Und was meinst du dann mit "durch Auflösen und Einsetzen"?

Aber für mich klingt das total logisch, und ansonsten hat es immer funktioniert: wenn ich zwei Gleichungen habe und diese gleichsetze, dann erhalte ich genau die Elemente, die durch beide Gleichungen definiert werden.

Dann hast du das nachfolgende Auflösen und Einsetzen immer "übersehen".

ô.o

[Andreas Pflug]

Aha? Also wenn ich jetzt x1 + x2 + x3 = 5 und x1 + 2x2 -4x3 = -2 habe, was mach ich dann jetzt genau? Erst gleichsetzen? Und was meinst du dann mit "durch Auflösen und Einsetzen"?

Du hast zwei Gleichungen mit drei Variablen. Man kann üblicherweise eine Variable eliminieren und diese durch die beiden anderen darstellen, z. B. kannst Du die erste Gleichung schreiben als

x1 = 5 - x2 - x3, ...

... und dann diesen Ausdruck für x1 in der zweiten Gleichung verwenden

x1 +2 x2 -4 x3 = -2

<=>

5 - x2 - x3 + 2 x2 - 4 x3 = -2

<=>

x2 = 5 x3 -7

Damit kannst Du jetzt sowohl x1 als auch x2 als Funktion von x3 darstellen:

x1 = 5 - (5 x3 - 7) - x3 = 12 - 6 x3
x2 = 5 x3 - 7

Nun könntest Du x3 an einen Geradenparameter t koppeln und hättest dann eine Geradengleichung in der Form

(x1, x2, x3) = (12, -7, 0) + t*(-6, 5, 1)

Das Verfahren klappt so natürlich nicht immer, falls beide Ebenen z. B. parallel zu einer Koordinatenachse verlaufen, muss man evtl. x2 oder x1 mit dem Geradenparameter koppeln.

MfG

Andreas

[Yay!]

Aha? Also wenn ich jetzt x1 + x2 + x3 = 5 und x1 + 2x2 -4x3 = -2 habe, was mach ich dann jetzt genau? Erst gleichsetzen? Und was meinst du dann mit "durch Auflösen und Einsetzen"?

Du hast zwei Gleichungen mit drei Variablen. Man kann üblicherweise eine Variable eliminieren und diese durch die beiden anderen darstellen, z. B. kannst Du die erste Gleichung schreiben als

x1 = 5 - x2 - x3, ...

... und dann diesen Ausdruck für x1 in der zweiten Gleichung verwenden

x1 +2 x2 -4 x3 = -2

<=>

5 - x2 - x3 + 2 x2 - 4 x3 = -2

<=>

x2 = 5 x3 -7

Damit kannst Du jetzt sowohl x1 als auch x2 als Funktion von x3 darstellen:

x1 = 5 - (5 x3 - 7) - x3 = 12 - 6 x3
x2 = 5 x3 - 7

Nun könntest Du x3 an einen Geradenparameter t koppeln und hättest dann eine Geradengleichung in der Form

(x1, x2, x3) = (12, -7, 0) + t*(-6, 5, 1)

Das Verfahren klappt so natürlich nicht immer, falls beide Ebenen z. B. parallel zu einer Koordinatenachse verlaufen, muss man evtl. x2 oder x1 mit dem Geradenparameter koppeln.

Super! Ich hab es eben mal an ein paar Beispielen ausprobiert und es hat vorzüglich geklappt.

Danke erstmal an alle die mir hier so gut geholfen haben, vor allem auch dir und Christian Seiler in dem anderen Post, der das ganze ja nochmal sehr schön erklärt hat.

^^ Das werd ich jetzt erstmal (zur Verwunderung meines Lehrers, hehe) in meiner Klausur anwenden, denn mein Lehrer meinte, dass das ganze _nur_ geht, wenn man die Ebenen erst in Parameterform darstellt.

Allerdings schein ich tatsächlich bei dieser "gleichstellen"-Sache nicht genau zu wissen, was ich da tue. Denn nach einigen Posts hier, fällt mir mittlerweile auf, dass meine anfängliche Idee irgendwie quatsch gewesen sein muss. Zwei Konstanten gleichzusetzen ist ja irgendwie sinnfrei, denn nachdem ich etwas mehr drüber nachgedacht habe, bedeutet gleichsetzen ja scheinbar, dass man zwei Variablen aus zwei Gleichungen als gleich voraussetzt.

D.h. wenn ich y = ax + b und y = cx + d gleichsetze, dann sag ich einfach, dass die y-Werte gleich sein sollen, d.h. ich bekomme als Lösungsmenge des neuen Gleichungssystems genau die Zahlen (bzw. in diesem Fall genau eine Zahl) heraus, bei denen _beide_ obige Gleichungen den gleichen Y-Wert liefern.
Grafisch stell ich mir das so vor, dass ich quasi quasi einen der unendlich vielen "Punkte" der ersten Gleichung konstant halte und dann für alle anderen Punkte der zweiten Gleichung gucke, ob diese identisch mit dem festgehaltenen Punkt sind. Und das ganze mache ich dann für alle weiteren Punkte der ersten Gleichung. (also theoretisch)

x1 = 5 - x2 - x3, ...

... und dann diesen Ausdruck für x1 in der zweiten Gleichung verwenden

x1 +2 x2 -4 x3 = -2

<=>

5 - x2 - x3 + 2 x2 - 4 x3 = -2

<=>

x2 = 5 x3 -7

Was hier aber grafisch passiert, kann ich mir irgendwie nicht vorstellen. Also ich habe zwei Ebenen (das x1 wurde hier quasi als y gesetzt, also das x1 ist wie das y in meinem Beispiel eben, wobei man aber auch jedes andere x hätte wählen können, oder?), aber was ist das für eine Ebene die dann daraus "entsteht"?

Also nochmal ein großes Danke an euch alle! Ihr habt mir sehr weitergeholfen und ich bin mega happy, dass sich mein "Gefühl" doch am Ende als richtig herausgestellt hat (also dass man von Ebenen auch ohne Parameterform die Schnittgerade ausrechnen kann).

[Bademeister]

Aber wenn ich die Schnittgerade zweier Ebenen ausrechnen will, dann setze ich doch auch gleich!

Bitte

1.: Schreib mal hin, was *exakt* das Wort "gleichsetzen" bei Dir bedeuten soll, oder
2.: benutze es nicht mehr (und streiche es am besten aus Deinem Kopf).

Dann mach ich aus den Ebenen in Koordinatenform zwei Ebenen in Vektorform, die dann so aussehen:

E: (x,y,z) = (a,b,c)[Stützvektor] + u*(d,e,f)[1.Richtungsvektor] + v*(g,h,i)[2.Richtungsvektor]

Hier musst Du aufpassen: das ist keine Ebenengleichung (in dem Sinne, dass die Ebene der Lösungsraum der Gleichung ist). Daher ist die Schreibweise sehr beknackt. Die Ebene wird hier lediglich als *Menge* beschrieben:

E = {(a,b,c) + u*(d,e,f) + v*(g,h,i) | u,v in R}

(wobei a,b,c,d,e,f feste Zahlen sind).

Und ein Vektor aus dem Schnitt der Ebenen ist eben ein Vektor, der - klar - in beiden Mengen liegt. D.h. es gibt reelle Zahlen u,v, so dass der Vektor obige Darstellung hat, ung gleichzeitig reelle Zahlen u2,v2, so dass der Vektor die entsprechende Darstellung in der anderen Ebenenparametrisierung hat. Und diese Zahlen u,v,u2,v2 sind eben gerade die Lösungen des Gleichungssystems

(a,b,c) + u*(d,e,f) + v*(g,h,i) = (a2,b2,c3) +u2*(d2,e2,f2) + v*(g2,h2,i2)

Nur: wenn ich zwei Ebenen in Parameterform gleichsetzen kann,

*Du*kannst*keine*Ebenen*gleichsetzen*!!!. Genausowenig wie Du Himbeertorten oder Gummistiefel gleichsetzen kannst, kannst Du Ebenen gleichsetzen. Und Du tust es auch nirgendwo.

und wenn ich die Schnittmenge dieser Mengen bestimmen will, wieso kann ich das dann durch Gleichsetzen nur bei der Parameterform

Wenn ein Vektor in beiden Ebenen liegt, dann hat er, wie oben gesagt, verschieden Parametrisierungen, passend zu den beiden "Koordinatenformen", wie Du sie genannt hast. Dies sind Terme (a priori mit zwei Unbekannten), und diese Terme setzt Du gleich, um die Parameter (u,v) und (u2,v2) zu bestimmen, die denselben gesuchten Vektor beschreiben.

Wenn Du aber die Schnittmenge der Lösungsräume zweier Gleichungen haben willst, dann bekommst Du diese durch Lösen des Gleichungssystems, das Du hast, wenn Du beide Gleichungen untereinander schreibst. Und wenn Du wahllos irgendwelche Hälften der jeweiligen Gleichungen in ein neue Gleichung schreibst und die jeweils anderen Hälften vergisst, dann bekommst Du eben was anderes raus.

Wieso kommt bei Letzterer dann eine neue Ebene raus?

Immer noch aus demselben Grund wie vorher.

Du setzt hier keine Gleichungen gleich [...]
???

y = 2x + 2
y = 3x + 5
y gleichsetzen:

Ist y eine Gleichung?

2x + 2 = 3x + 5 <=> 0 = x + 3 <=> x = -3

Diese Gleichung folgt aus obigem Gleichungssystem, ist aber eben nicht äquivalent dazu.

Ich weiß, dass beide Gleichungen eine Menge von Punkten auf einer Gerade definieren und durch das Gleichsetzen weiß ich, dass es bei x = -3 einen _gemeinsamen_ Punkt gibt!

Es gibt _einen_ Punkt mit der x-Koordinate -3, der das obige Gleichungssystem löst. Aber welcher das ist (also welchen y-Wert er hat), geht eben aus der zweiten Gleichung nicht mehr hervor.

Warum sollte das im 3 dimensionalen Raum plötzlich anders sein?

Ist es nicht.

Viele Grüße,
der Bademeister

[Wolfgang]

Ich find folgendes komisch: wenn ich zwei Ebenen in der Form ax1 + bx2 + cx3 -d = 0 gegeben habe und diese dann gleichsetze (also ax1 + bx2 ... = nx1 + mx2 ...) erhalte ich auch dann eine Ebene, wenn sich die Ebenen schneiden! Eigentlich müsste ich doch aber eine Gerade rauskriegen?! Wieso passiert das nicht?

Also meine Antwort lautet ganz einfach: Du bekommst eine Gerade heraus - jedenfalls meistens.

1. Gleichung: ax1 + bx2 + cx3 - d = 0
2. Gleichung: ax1 + bx2 + cx3 - nd = 0

Diese beiden Ebenen liegen parallel im Raum. Sie schneiden sich nicht und es gibt demzufolge keine Gerade.

Nun muss man wissen, dass (a,b,c) der Normalenvektor auf der Ebene ist. Hier wird also eine Gerade im Raum beschrieben. Sind die Ebenen zueiander geneigt, dann kann man die Schnittgerade zweier Ebenen berechnen.

Siehe: Schnittgerade zweier Ebenen

Der Formale Unterschied zwischen der Ebene und der Gerade ist nur die Interpretation. Man muss sich also nicht nur vier Zahlen merken, sondern auch was die darstellen sollen.

[Encoder]

Schreib mal dein Beispiel hier rein und das was bei dir rauskommt.

[apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, Yay!!

weil du vielleicht eine Geradengleichung in der Form ax1 + bx2 = irgendetwas erwartest?

Es gibt für Geraden im Raum keine Koordinatengleichung, weil z.B. x2 sowohl von x1 als auch von x3 abhängt.

Matthias

[Bademeister]

Hi.

Ich find folgendes komisch: wenn ich zwei Ebenen in der Form ax1 + bx2 + cx3 -d = 0 gegeben habe [...]

Das ist keine Ebene, sondern eine Gleichung. Die Ebene ist die Lösungsmenge der Gleichung.

und diese dann gleichsetze

Was heißt es, Ebenen gleichzusetzen? Zwei Ebenen sind entweder gleich oder nicht.

also ax1 + bx2 ... = nx1 + mx2 ...

Der Schnitt der Ebenen, also der Schnitt der Lösungsmengen (daher die obige Korinthenkackerei), ist die Menge aller Punkte (x1,x2,x3), die sowohl Gleichung 1 als auch Gleichung 2 erfüllen, d.h. für die gilt

ax1 + bx2 + cx3 -d = 0 = nx1 + mx2 .......
                     ^
                    (!)

Wenn Du die Bedingung, dass die Werte = 0 sein müssen, einfach ignorierst, dann kriegst Du natürlich viel mehr Punkte, nämlich auch die ganzen Schnittgeraden der ganzen (simultan) parallelverschobenen Ebenen. Und diese ganzen Schnittgeraden zusammen bilden nun mal eine Ebene.

Viele Grüße,
der Bademeister

[Yay!]

Hi.

Ich find folgendes komisch: wenn ich zwei Ebenen in der Form ax1 + bx2 + cx3 -d = 0 gegeben habe [...]

Das ist keine Ebene, sondern eine Gleichung. Die Ebene ist die Lösungsmenge der Gleichung.

Mein ich ja. >.<

und diese dann gleichsetze

Was heißt es, Ebenen gleichzusetzen? Zwei Ebenen sind entweder gleich oder nicht.

Naja halt gleichsetzen... der Begriff ist doch eigentlich recht verbreitet oder nicht?

also ax1 + bx2 ... = nx1 + mx2 ...

Der Schnitt der Ebenen, also der Schnitt der Lösungsmengen (daher die obige Korinthenkackerei), ist die Menge aller Punkte (x1,x2,x3), die sowohl Gleichung 1 als auch Gleichung 2 erfüllen, d.h. für die gilt

ax1 + bx2 + cx3 -d = 0 = nx1 + mx2 .......
                     ^
                    (!)

Wenn Du die Bedingung, dass die Werte = 0 sein müssen, einfach ignorierst, dann kriegst Du natürlich viel mehr Punkte, nämlich auch die ganzen Schnittgeraden der ganzen (simultan) parallelverschobenen Ebenen. Und diese ganzen Schnittgeraden zusammen bilden nun mal eine Ebene.

Hm... wie mache ich es denn, dass die 0 auch beachtet wird? Ich mein, im Prinzip kann ich die Ebenen natürlich auch mithilfe von Vektoren darstellen und diese dann gleichsetzen -> da kommt dann tatsächlich auch ein Stützvektor und ein Richtungsvektor der Schnittgeraden raus, wenn sich beide Ebenen schneiden.

Aber geht das nicht auch ohne Umweg?

Ich mein, wenn ich z.b. im R² zwei geraden y = 2x + 2 und z = -3x +7 habe, dann kann ich doch auch y und z gleichsetzen und erhalte den x-Wert, für den die beiden Variablen y und z gleich sind...

[apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, Yay!!

Ich mein, wenn ich z.b. im R² zwei geraden y = 2x + 2 und z = -3x +7 habe, dann kann ich doch auch y und z gleichsetzen und erhalte den x-Wert, für den die beiden Variablen y und z gleich sind...

nein, denn im R² gibt es das z nicht.

Matthias

[apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, apsel!

Om nah hoo pez nyeetz, Yay!!

Ich mein, wenn ich z.b. im R² zwei geraden y = 2x + 2 und z = -3x +7 habe, dann kann ich doch auch y und z gleichsetzen und erhalte den x-Wert, für den die beiden Variablen y und z gleich sind...

nein, denn im R² gibt es das z nicht.

y = 2x + 2 ist eine Gerade die beide Koordinatenachsen schneidet.

z = -3x + 7 ist identisch zu

x = -1/3 * (z -7) dies ist also eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft.

Der Schnittpunkt hat also für jedes z die Koordianten x = -1/3 * (z -7) und y = -2/3 * (z-7) + 2

Matthias

[Christian Seiler]

Hallo,

Ich find folgendes komisch: wenn ich zwei Ebenen in der Form ax1 + bx2 + cx3 -d = 0 gegeben habe und diese dann gleichsetze (also ax1 + bx2 ... = nx1 + mx2 ...) erhalte ich auch dann eine Ebene, wenn sich die Ebenen schneiden!

Du musst das anders sehen: Du hast zwei Gleichungen:

[latex]\mathrm{E1:}  a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = b[/latex]
[latex]\mathrm{E2:}  c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3 = d[/latex]

Du hast aber 3 Unbekannte:

[latex](x_1, x_2, x_3)[/latex]

Damit hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Das Auflösen der Gleichungen, nach 0 Umstellen und dann Gleichsetzen liefert Dir dagegen nur eine weitere Gleichung, die von den bereits bekannten Geichungen abhängig ist. Und diese weitere Gleichung wäre zwar wieder eine Ebene, die auch durch die Gerade verläuft. Die alleine liefert Dir jedoch noch nicht die Gerade.

Bedenke: Du willst, um den Schnitt der Ebenen zu berechnen, das Gleichungssystem *lösen*, d.h. Ergebnisse für den Vektor x finden.

Nehmen wir mal ein Beispiel an:

[latex]\mathrm{E1:}  x_1 + x_2 + x_3 = 4[/latex]
[latex]\mathrm{E2:}  2 x_1 - 3 x_2 + 6 x_3 = 12[/latex]

Um das zu lösen, wenden wir das Gauss-System an, um die unbekannten zu eliminieren. E2 + 3 * E1 führt dazu, dass die Variable [latex]x_2[/latex] eliminiert wird:

[latex]\mathrm{E1:}  x_1 + x_2 + x_3 = 4[/latex]
[latex]\mathrm{E2:}  2 x_1 - 3 x_2 + 6 x_3 = 12[/latex]
[latex]\mathrm{E2 + 3E1:}  5 x_1 + 9 x_3 = 24[/latex]

Nun haben wir das Gleichungssystem praktisch auf Gauss-Form gebracht. Da wir nur zwei Gleichungen hatten, aber drei unbekannte, haben wir 3 - 2 = 1 freien Parameter. Wir setzen hier also einfach mal [latex]x_1 = t[/latex]. Damit folgt dann:

[latex]5 t + 9 x_3 = 24[/latex]

Damit ist [latex]x_3[/latex] gegeben durch:

[latex]x_3 = \frac{1}{9} \left( 24 - 5 t \right)[/latex]

Setzen wir nun beides in E1 ein, erhalten wir:

[latex]t + x_2 + \frac{1}{9} \left( 24 - 5 t \right) = 4[/latex]

Damit ergibt sich für [latex]x_2[/latex]

[latex]x_2 = \frac{1}{9} \left( 12 - 4 t \right) [/latex]

Damit erhalten wir als Vektorgleichung folgendes:

[latex]\left(\begin{array}{c}x_1 \ x_2 \ x_3\end{array}\right) = \frac{1}{9}\left[t \left(\begin{array}{c}11 \ -4 \ -5\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}0 \ 12 \ 24\end{array}\right)\right][/latex]

Und das ist eine Geradengleichung und die Lösung des Schnittes zwischen den beiden Ebenen.

DISCLAIMER: Kann sein, dass ich mich in diesem Posting irgendwie verrechnet habe, was die Zahlenwerte angeht (es ist schon spät), das Grundprinzip stimmt aber in jedem Fall. ;-)

Viele Grüße,
Christian

PS: Diese Lösungsmethode ist in meinen Augen viel schneller, als die Lösung, erst die Parametergleichungen zu finden, da man dann ja Gleichungssystem mit 4 unbekannten Lösen muss, *nachdem* man sich die Mühe gemacht hat, die andere Form zu bekommen.

[Christian Seiler]

Hallo,

[latex]\left(\begin{array}{c}x_1 \ x_2 \ x_3\end{array}\right) = \frac{1}{9}\left[t \left(\begin{array}{c}11 \ -4 \ -5\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}0 \ 12 \ 24\end{array}\right)\right][/latex]

Grmpf, Tippfehler, trotz Vorschau erst nach dem Absenden aufgefallen:

[latex]\left(\begin{array}{c}x_1 \ x_2 \ x_3\end{array}\right) = \frac{1}{9}\left[t \left(\begin{array}{c}9 \ -4 \ -5\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}0 \ 12 \ 24\end{array}\right)\right][/latex]

Viele Grüße,
Christian