Mathe: wenn zwei Ebenen sich schneiden!

[Yay!]

Hi.

Ich find folgendes komisch: wenn ich zwei Ebenen in der Form ax1 + bx2 + cx3 -d = 0 gegeben habe [...]

Das ist keine Ebene, sondern eine Gleichung. Die Ebene ist die Lösungsmenge der Gleichung.

Mein ich ja. >.<

und diese dann gleichsetze

Was heißt es, Ebenen gleichzusetzen? Zwei Ebenen sind entweder gleich oder nicht.

Naja halt gleichsetzen... der Begriff ist doch eigentlich recht verbreitet oder nicht?

also ax1 + bx2 ... = nx1 + mx2 ...

Der Schnitt der Ebenen, also der Schnitt der Lösungsmengen (daher die obige Korinthenkackerei), ist die Menge aller Punkte (x1,x2,x3), die sowohl Gleichung 1 als auch Gleichung 2 erfüllen, d.h. für die gilt

ax1 + bx2 + cx3 -d = 0 = nx1 + mx2 .......
                     ^
                    (!)

Wenn Du die Bedingung, dass die Werte = 0 sein müssen, einfach ignorierst, dann kriegst Du natürlich viel mehr Punkte, nämlich auch die ganzen Schnittgeraden der ganzen (simultan) parallelverschobenen Ebenen. Und diese ganzen Schnittgeraden zusammen bilden nun mal eine Ebene.

Hm... wie mache ich es denn, dass die 0 auch beachtet wird? Ich mein, im Prinzip kann ich die Ebenen natürlich auch mithilfe von Vektoren darstellen und diese dann gleichsetzen -> da kommt dann tatsächlich auch ein Stützvektor und ein Richtungsvektor der Schnittgeraden raus, wenn sich beide Ebenen schneiden.

Aber geht das nicht auch ohne Umweg?

Ich mein, wenn ich z.b. im R² zwei geraden y = 2x + 2 und z = -3x +7 habe, dann kann ich doch auch y und z gleichsetzen und erhalte den x-Wert, für den die beiden Variablen y und z gleich sind...