Mathe: wenn zwei Ebenen sich schneiden!

[Yay!]

Ich will doch ein Ergebnis erhalten (also eine Gleichung), die all die Punkte beschreibt, die beide Ebenen gemeinsam haben. Aber wieso kommt dann bei der resultierenden Ebene (also nachdem ich gleichgesetzt haben) eine Ebene raus, die zusätzlich auch noch andere Punkte enthält?

Wenn Du die Gleichungen

a = 5
und
b = 5

hast, dann gibt es eine Lösung für das Paar (a,b), so dass beide Gleichungen stimmen, nämlich (5,5).

Wenn Du nun das machst, was Du als "Gleichsetzen" bezeichnest, und zu der Gleichung

a = b

Joa, das stimmt irgendwie.

Aber wenn ich die Schnittgerade zweier Ebenen ausrechnen will, dann setze ich doch auch gleich! Dann mach ich aus den Ebenen in Koordinatenform zwei Ebenen in Vektorform, die dann so aussehen:

E: (x,y,z) = (a,b,c)[Stützvektor] + u*(d,e,f)[1.Richtungsvektor] + v*(g,h,i)[2.Richtungsvektor]

Und wenn ich dann beide Ebenen in dieser Form aufgestellt habe, setze ich das (x,y,z) am Anfang gleich, d.h. da steht dann:
(a,b,c) + u*(d,e,f) + v*(g,h,i) = (a2,b2,c3) +u2*(d2,e2,f2) + v*(g2,h2,i2)

So und dann löse ich das als Gleichungssystem nach einer Unbekannten aus (die ich mir aussuche) und erhalte dann eine Gleichung für die Gerade:

G: (x,y,z) = (a',b',c')[Stützvektor] + u'*(d',e',f')[Richtungsvektor]

Fertig.

Nur: wenn ich zwei Ebenen in Parameterform gleichsetzen kann, dann muss das doch auch in Koordinatenform gehen. Denn die Mengen der Punkte sind ja gleich und wenn ich die Schnittmenge dieser Mengen bestimmen will, wieso kann ich das dann durch Gleichsetzen nur bei der Parameterform und nicht bei der Koordinatenform? Wieso kommt bei Letzterer dann eine neue Ebene raus?

übergehst, dann hat sie eben viel mehr Lösungen: (1,1), (2,2), (3,3),...,
weil es eben Paare von Zahlen gibt, die die untere Gleichung erfüllen, aber nicht die Ausgangsgleichung.

Aber wenn ich das ganze mit Vektoren mache, dann gibt es ja auch nicht plötzlich mehr Lösungen, sondern genau die, die ich wollte.

Du setzt hier keine Gleichungen gleich (ich weiß nicht mal, wie das gehen sollte)

???

y = 2x + 2
y = 3x + 5
y gleichsetzen:
2x + 2 = 3x + 5 <=> 0 = x + 3 <=> x = -3
Ich weiß, dass beide Gleichungen eine Menge von Punkten auf einer Gerade definieren und durch das Gleichsetzen weiß ich, dass es bei x = -3 einen _gemeinsamen_ Punkt gibt! Warum sollte das im 3 dimensionalen Raum plötzlich anders sein?

sondern Du setzt einen Teil von einer Gleichung mit einem Teil der anderen Gleichung gleich. Dass da das rauskommt, was Du gerne willst, war blanke Hoffnung, oder? Einen Grund dafür gibts nicht.

Aber für mich klingt das total logisch, und ansonsten hat es immer funktioniert: wenn ich zwei Gleichungen habe und diese gleichsetze, dann erhalte ich genau die Elemente, die durch beide Gleichungen definiert werden. Punkte die nur durch eine der Gleichungen oder sogar durch gar keine der Gleichungen definiert werden, kommen dann nicht dabei raus.

Viele Grüße,
der Bademeister

Viele Grüße zurück.