Mathe: wenn zwei Ebenen sich schneiden!

[Yay!]

Aha? Also wenn ich jetzt x1 + x2 + x3 = 5 und x1 + 2x2 -4x3 = -2 habe, was mach ich dann jetzt genau? Erst gleichsetzen? Und was meinst du dann mit "durch Auflösen und Einsetzen"?

Du hast zwei Gleichungen mit drei Variablen. Man kann üblicherweise eine Variable eliminieren und diese durch die beiden anderen darstellen, z. B. kannst Du die erste Gleichung schreiben als

x1 = 5 - x2 - x3, ...

... und dann diesen Ausdruck für x1 in der zweiten Gleichung verwenden

x1 +2 x2 -4 x3 = -2

<=>

5 - x2 - x3 + 2 x2 - 4 x3 = -2

<=>

x2 = 5 x3 -7

Damit kannst Du jetzt sowohl x1 als auch x2 als Funktion von x3 darstellen:

x1 = 5 - (5 x3 - 7) - x3 = 12 - 6 x3
x2 = 5 x3 - 7

Nun könntest Du x3 an einen Geradenparameter t koppeln und hättest dann eine Geradengleichung in der Form

(x1, x2, x3) = (12, -7, 0) + t*(-6, 5, 1)

Das Verfahren klappt so natürlich nicht immer, falls beide Ebenen z. B. parallel zu einer Koordinatenachse verlaufen, muss man evtl. x2 oder x1 mit dem Geradenparameter koppeln.

Super! Ich hab es eben mal an ein paar Beispielen ausprobiert und es hat vorzüglich geklappt.

Danke erstmal an alle die mir hier so gut geholfen haben, vor allem auch dir und Christian Seiler in dem anderen Post, der das ganze ja nochmal sehr schön erklärt hat.

^^ Das werd ich jetzt erstmal (zur Verwunderung meines Lehrers, hehe) in meiner Klausur anwenden, denn mein Lehrer meinte, dass das ganze _nur_ geht, wenn man die Ebenen erst in Parameterform darstellt.

Allerdings schein ich tatsächlich bei dieser "gleichstellen"-Sache nicht genau zu wissen, was ich da tue. Denn nach einigen Posts hier, fällt mir mittlerweile auf, dass meine anfängliche Idee irgendwie quatsch gewesen sein muss. Zwei Konstanten gleichzusetzen ist ja irgendwie sinnfrei, denn nachdem ich etwas mehr drüber nachgedacht habe, bedeutet gleichsetzen ja scheinbar, dass man zwei Variablen aus zwei Gleichungen als gleich voraussetzt.

D.h. wenn ich y = ax + b und y = cx + d gleichsetze, dann sag ich einfach, dass die y-Werte gleich sein sollen, d.h. ich bekomme als Lösungsmenge des neuen Gleichungssystems genau die Zahlen (bzw. in diesem Fall genau eine Zahl) heraus, bei denen _beide_ obige Gleichungen den gleichen Y-Wert liefern.
Grafisch stell ich mir das so vor, dass ich quasi quasi einen der unendlich vielen "Punkte" der ersten Gleichung konstant halte und dann für alle anderen Punkte der zweiten Gleichung gucke, ob diese identisch mit dem festgehaltenen Punkt sind. Und das ganze mache ich dann für alle weiteren Punkte der ersten Gleichung. (also theoretisch)

x1 = 5 - x2 - x3, ...

... und dann diesen Ausdruck für x1 in der zweiten Gleichung verwenden

x1 +2 x2 -4 x3 = -2

<=>

5 - x2 - x3 + 2 x2 - 4 x3 = -2

<=>

x2 = 5 x3 -7

Was hier aber grafisch passiert, kann ich mir irgendwie nicht vorstellen. Also ich habe zwei Ebenen (das x1 wurde hier quasi als y gesetzt, also das x1 ist wie das y in meinem Beispiel eben, wobei man aber auch jedes andere x hätte wählen können, oder?), aber was ist das für eine Ebene die dann daraus "entsteht"?

Also nochmal ein großes Danke an euch alle! Ihr habt mir sehr weitergeholfen und ich bin mega happy, dass sich mein "Gefühl" doch am Ende als richtig herausgestellt hat (also dass man von Ebenen auch ohne Parameterform die Schnittgerade ausrechnen kann).