Gunnar Bittersmann: Mathematik zum Wochenende

Wo ich es nun endlich geschafft habe, die Lösung der vorigen Aufgabe zu posten, kann ich mich jetzt trauen, eine neue zu stellen:

Gleichseitges Dreieck ABC, BD : DF : FA = AE : EG : GC = 2 : 2 : 1. DE und FG schneiden sich in P. Wie groß ist die Fläche des Dreiecks BCP im Verhältnis zur Fläche des Dreiecks ABC?

Ich bin auf eure Lösungen gespannt. (Hinweis: es muss kein Wurzelzeichen drin vorkommen.)

LLAP 🖖

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“When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
  1. Am Verhältnis der Strecken und der Flächeninhalte ändert sich nichts, wenn man die Ecken von Dreick ABC so in ein kartesisches Koordinatensystem legt, dass A(0;5), B(0;0) und C(5;0) ist:

    2018-02-10_SELF.png

    Dann ist D(0;2), E(2/3), F(0;4) und G(4;1).

    Die Gerade DE hat die Gleichung $$y=\frac{1}{2}x+2$$;

    die Gerade FG hat die Gleichung $$y=-\frac{3}{4}x+4$$;

    Die x-Koordinate des Schnittpunkts P von DE mit FG muss also die Gleichung

    $$\frac{1}{2}x+2=-\frac{3}{4}x+4$$

    erfüllen. Man erhält $$x=\frac{8}{5}$$ und damit $$y=\frac{14}{5}$$.

    Die Flächeninhalte der Dreiecke BCP und BCA verhalten sich wie ihre Höhen, da sie in der Grundseite |BC| übereinstimmen. Somit ist das gesuchte Flächenverhältnis $$\frac{14}{5}:5$$, also $$\frac{14}{25}$$ oder 56%.

    1. Hallo ottogal,

      Am Verhältnis der Strecken und der Flächeninhalte ändert sich nichts, wenn man die Ecken von Dreick ABC so in ein kartesisches Koordinatensystem legt, dass A(0;5), B(0;0) und C(5;0) ist:

      2018-02-10_SELF.png

      Das Dreieck soll doch aber gleichseitig sein!

      Bis demnächst
      Matthias

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      Rosen sind rot.
      1. Hallo Matthias Apsel,

        Am Verhältnis der Strecken und der Flächeninhalte ändert sich nichts, wenn man die Ecken von Dreick ABC so in ein kartesisches Koordinatensystem legt, dass A(0;5), B(0;0) und C(5;0) ist:

        Das Dreieck soll doch aber gleichseitig sein!

        Aber stimmt, am Verhältnis ändert sich nichts.

        Bis demnächst
        Matthias

        --
        Rosen sind rot.
  2. Hi Gunnar, meine Lösung

    Alle Dreiecksseiten sind gleich lang, insbesondere BA und AC. Durch das Verhältnis der Punktabstände folgt dass alle x Abstände der Punkte gleich sind, sowie alle y Abstände auch, auch wenn x ungleich y ist.

    Da die Dreiecke die selbe Grundseite haben, entspricht das Verhältnis der Flächen dem Verhältnis der Höhen.

    Man kann jetzt sogar die ganze Figur so strecken/stauchen dass eine x Einheit gleich einer y Einheit ist. Das Verhältnis bleibt trotzdem gleich.

    Man suche also die y Koordinaten der Punkte A und P. Deren Verhältnis entspricht dem Verhältnis der Flächen.

    A ist einfach, es ist 5 Punkte bzw. Einheiten über BC.

    Für P suchen wir den Schnittpunkt. Denken wir uns den Ursprung in D. Dann gibt es die Geradengleichungen
    DE: y = 0,2 * x und
    FG: y = -(3/5) * (x-2) + 2 y = -0,6x + 3,2

    diese beiden gleichsetzen:
    0,2 * x = -0,6*x + 3,2
    0,8 * x = 3,2
    x = 4 und daraus folgend y = 0,8

    Die 0,8 stehen über D, das bedeutet 2,8 über der Grundlinie BD.

    Jetzt haben wir das Verhältnis 2,8/5 = 0,56.

    Grüße von Encoder

  3. @@Gunnar Bittersmann

    Ich bin auf eure Lösungen gespannt. (Hinweis: es muss kein Wurzelzeichen drin vorkommen.)

    Der entscheidende Gedanke hier (wie ihn auch encoder und ottogal hatten): Man kann an dem Dreieck rumzerren wie man will, solange die Verhältnisse BD : DF : FA = AE : EG : GC = 2 : 2 : 1 gewahrt bleiben, ändert sich auch das Verhältnis der Flächen BCP und ABC nicht. ABC muss also gar nicht gleichseitig sein, mann kann daraus auch ein gleichschenklig-rechtwinkliges machen, um einfacher rechnen zu können.

    Die Lösungen unterscheiden sich im Detail; meine sieht so aus:

    LLAP 🖖

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    “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory