Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Wo ich es nun endlich geschafft habe, die Lösung der vorigen Aufgabe zu posten, kann ich mich jetzt trauen, eine neue zu stellen:

Gleichseitges Dreieck ABC, BD : DF : FA = AE : EG : GC = 2 : 2 : 1. DE und FG schneiden sich in P. Wie groß ist die Fläche des Dreiecks BCP im Verhältnis zur Fläche des Dreiecks ABC?

Ich bin auf eure Lösungen gespannt. (Hinweis: es muss kein Wurzelzeichen drin vorkommen.)

LLAP 🖖

[ottogal]

Am Verhältnis der Strecken und der Flächeninhalte ändert sich nichts, wenn man die Ecken von Dreick ABC so in ein kartesisches Koordinatensystem legt, dass A(0;5), B(0;0) und C(5;0) ist:

Dann ist D(0;2), E(2/3), F(0;4) und G(4;1).

Die Gerade DE hat die Gleichung $$y=\frac{1}{2}x+2$$;

die Gerade FG hat die Gleichung $$y=-\frac{3}{4}x+4$$;

Die x-Koordinate des Schnittpunkts P von DE mit FG muss also die Gleichung

$$\frac{1}{2}x+2=-\frac{3}{4}x+4$$

erfüllen. Man erhält $$x=\frac{8}{5}$$ und damit $$y=\frac{14}{5}$$.

Die Flächeninhalte der Dreiecke BCP und BCA verhalten sich wie ihre Höhen, da sie in der Grundseite |BC| übereinstimmen. Somit ist das gesuchte Flächenverhältnis $$\frac{14}{5}:5$$, also $$\frac{14}{25}$$ oder 56%.

[Matthias Apsel]

Hallo ottogal,

Am Verhältnis der Strecken und der Flächeninhalte ändert sich nichts, wenn man die Ecken von Dreick ABC so in ein kartesisches Koordinatensystem legt, dass A(0;5), B(0;0) und C(5;0) ist:

Das Dreieck soll doch aber gleichseitig sein!

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Am Verhältnis der Strecken und der Flächeninhalte ändert sich nichts, wenn man die Ecken von Dreick ABC so in ein kartesisches Koordinatensystem legt, dass A(0;5), B(0;0) und C(5;0) ist:

Das Dreieck soll doch aber gleichseitig sein!

Aber stimmt, am Verhältnis ändert sich nichts.

Bis demnächst
Matthias

[encoder]

Hi Gunnar, meine Lösung

Alle Dreiecksseiten sind gleich lang, insbesondere BA und AC. Durch das Verhältnis der Punktabstände folgt dass alle x Abstände der Punkte gleich sind, sowie alle y Abstände auch, auch wenn x ungleich y ist.

Da die Dreiecke die selbe Grundseite haben, entspricht das Verhältnis der Flächen dem Verhältnis der Höhen.

Man kann jetzt sogar die ganze Figur so strecken/stauchen dass eine x Einheit gleich einer y Einheit ist. Das Verhältnis bleibt trotzdem gleich.

Man suche also die y Koordinaten der Punkte A und P. Deren Verhältnis entspricht dem Verhältnis der Flächen.

A ist einfach, es ist 5 Punkte bzw. Einheiten über BC.

Für P suchen wir den Schnittpunkt. Denken wir uns den Ursprung in D. Dann gibt es die Geradengleichungen
DE: y = 0,2 * x und
FG: y = -(3/5) * (x-2) + 2 y = -0,6x + 3,2

diese beiden gleichsetzen:
0,2 * x = -0,6*x + 3,2
0,8 * x = 3,2
x = 4 und daraus folgend y = 0,8

Die 0,8 stehen über D, das bedeutet 2,8 über der Grundlinie BD.

Jetzt haben wir das Verhältnis 2,8/5 = 0,56.

Grüße von Encoder

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Ich bin auf eure Lösungen gespannt. (Hinweis: es muss kein Wurzelzeichen drin vorkommen.)

Der entscheidende Gedanke hier (wie ihn auch encoder und ottogal hatten): Man kann an dem Dreieck rumzerren wie man will, solange die Verhältnisse BD : DF : FA = AE : EG : GC = 2 : 2 : 1 gewahrt bleiben, ändert sich auch das Verhältnis der Flächen BCP und ABC nicht. ABC muss also gar nicht gleichseitig sein, mann kann daraus auch ein gleichschenklig-rechtwinkliges machen, um einfacher rechnen zu können.

Die Lösungen unterscheiden sich im Detail; meine sieht so aus:

LLAP 🖖