Gunnar Bittersmann: Mathematik zum Wochenende

A, B, C, E, F auf einem Kreis um O. AC = BD = 4, CG = 3, AC ∥ FE.

Gesucht ist der Flächeninhalt von △AFE.

LLAP 🖖

-- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
  1. Hi,

    A, B, C, E, F auf einem Kreis um O. AC = BD = 4, CG = 3, AC ∥ FE.

    Gesucht ist der Flächeninhalt von △AFE.

    scheint mir so, als wäre da zu wenig Information. Müßte der Durchmesser (AB) nicht auch bekannt sein?

    cu,
    Andreas a/k/a MudGuard

    1. @@MudGuard

      Müßte der Durchmesser (AB) nicht auch bekannt sein?

      Nein.

      LLAP 🖖

      -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
  2. @@Gunnar Bittersmann

    Am einfachsten geht’s wohl so:

    Skizze

    Winkel ACB ist nach Thales ein rechter; damit auch Winkel FDB (Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen).

    Die Winkel EAC, EFC, EBC und AEF sind gleich groß (Peripheriwinkel über CE bzw. Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen).

    Die Dreiecke AGC, EGD, BED und CFD stimmen in diesem Winkel und im rechten Winkel überein, sind also ähnlich. Ihre Kathetenlängen verhalten sich wie 3/4.

    Wegen AC = BD ist DE = CG = 3.

    GD = 3/4 × DE = 3/4 × 3 = 9/4;  CD = 3 + 9/4 = 21/4

    FD = 4/3 × CD = 4/3 × 21/4 = 7;  FE = 7 + 3 = 10

    Wegen ACFE ist das Sehnenviereck ACEF ein gleichschenkliges Trapez; die Dreiecke AFE und CFE sind kongruent. Ihre Fläche beträgt 1/2 × FE × CD = 1/2 × 10 × 21/4 = 105/4.

    Bin ich da allein drauf gekommen? Natürlich nicht! 😡

    Meine Lösung ging über Pythogoras und Heron und Wurzeln, die sich dann wegen (a + b)(a − b) = a² − b² wieder auflösten. Wenn ich mich dafür nicht so schämen würde nicht gerade unterwegs wäre, würde ich’s euch ja zeigen.

    Ottogal war der Einfachheit da deutlich näher.

    LLAP 🖖

    -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
    1. @Gunnar Bittersmann

      Meine Lösung ging über ... Heron ...

      Wow, wahrlich eine dicke Kanone für die Spatzen... 🐤

      Weil du den Pythagoras so magst, noch zwei YouTube-Links:

      https://www.youtube.com/watch?v=tsfGObmyhLU

      https://www.youtube.com/watch?v=p-0SOWbzUYI

    2. @@Gunnar Bittersmann

      Meine Lösung ging über Pythogoras und Heron und Wurzeln, die sich dann wegen (a + b)(a − b) = a² − b² wieder auflösten. Wenn ich mich dafür nicht so schämen würde nicht gerade unterwegs wäre, würde ich’s euch ja zeigen.

      Bin wieder zu Hause, also bitteschön:

      Da hatte ich schon ∠EFC als gleich groß wie die anderen Peripheriewinkel erkannt. Wie ich da übersehen konnte, dass △CFD ebenfalls so ein rechtwinkliges mit Katheten 3 : 4 ist …?

      LLAP 🖖

      -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann