Mathematik zum Wochenende - Lösung und Zusatzaufgabe

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

@Gunnar Bittersmann schrieb mir: „Die Intuition sagt: Das ist die Art von Behauptungen, die man indirekt beweist.“ - Recht hat er. Ebenso wie @Rolf B hat er (aber beide etwas anders) die Behauptung durch einen indirekten Beweis bewiesen. Ich auch, aber anders als die beiden, nämlich unter Verwendung der 3. binomischen Formel (😝).

Annahme: $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ ist rational

Es gilt: $$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\cdot\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b$$

Da $$a-b$$ rational ist, müssen beide Faktoren rational sein.

Wenn ich jetzt diese beiden Faktoren addiere, muss sich ebenfalls eine rationale Zahl ergeben
$$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=2\sqrt{a}$$,
$$\sqrt{a}$$ ist aber nicht rational.

@ottogal hat mit einem direkten Beweis angefangen und ihn indirekt zu Ende geführt.

Zusatzaufgabe: Führe einen direkten Beweis.

Bis demnächst
Matthias