Mathematik zum Wochenende - Lösung der Zusatzaufgabe - Häppchenweise

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

Bleibt die Frage: Wie zeigt man, ohne Widersprüche aufzuzeigen, dass bei natürlichem $$\sqrt{ab}$$ unter der Wurzel keine Quadratzahl steht?

Im Prinzip genauso, wie du oben angefangen hast:

a ist keine Quadratzahl, also darstellbar als $$m^2 \cdot P=a$$.
_m_² ist dabei das Produkt aller Primfaktoren, die in gerader Anzahl vertreten sind (oder 1), P das Produkt der Primfaktoren, die es nur einmal gibt.

Weiter gilt: $$m \cdot \sqrt{P}=\sqrt{a}$$.
$$\sqrt{P}$$ ist also irrational.

entsprechend $$n^2 \cdot Q=b$$

Weil aber $$\sqrt{ab}$$ rational ist, ist P = Q.

$$\begin{align} \sqrt{a} + \sqrt{b} &= \sqrt{a + 2\sqrt{ab} + b}
&= \sqrt{m^2P + 2\sqrt{m^2n^2P^2} + n^2P}
&= \sqrt{m^2P + 2mnP + n^2P}
&= \sqrt{(m + n)^2 \cdot P}
&= (m + n) \cdot \sqrt{P} \end{align}$$

q.e.d.

Bis demnächst
Matthias