Matthias Apsel: Mathematik zum Wochenende

Hallo alle,

die Summe zweier irrationaler Zahlen ist nicht zwangsläufig irrational \left(\sqrt{2} + \left(-\sqrt{2}\right) = 0\right).

Es ist zu beweisen, dass die Summe zweier irrationaler Quadratwurzeln aus natürlichen Zahlen eine irrationale Zahl ist.

Dabei darf ohne Beweis verwendet werden, dass

  • sowohl die Summe als auch das Produkt zweier rationaler Zahlen rational sind,
  • die Quadratwurzel aus einer Nicht-Quadratzahl irrational ist.

Bis demnächst
Matthias

-- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
  1. ist nicht zwangsläufig rational

    Fehlt da noch ein ir?

    1. Hallo encoder,

      Jetzt nicht mehr. Danke für den Hinweis.

      Rolf

      -- sumpsi - posui - clusi
  2. @@Matthias Apsel

    Wo ist die Skizze?

    Äh, wie jetzt, keine Geometrie?

    LLAP 🖖

    -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
    1. Hallo,

      Wo ist die Skizze?

      Ich bin auch dafür, die Kategorie in „Geometrie zum Wochenende“ umzubenennen…

      Gruß
      Kalk

    2. Hi,

      Wo ist die Skizze?

      Äh, wie jetzt, keine Geometrie?

      doch, geht doch um Quadrat-Wurzeln - skizzier Dir also ein paar Quadrate 😉

      cu,
      Andreas a/k/a MudGuard

      1. @@MudGuard

        Hi,

        Wo ist die Skizze?

        Äh, wie jetzt, keine Geometrie?

        doch, geht doch um Quadrat-Wurzeln - skizzier Dir also ein paar Quadrate 😉

        Hab ich schon. Vielleicht gibt’s ja auch einen geometrischen Beweis …

        Wenn’s ihn gibt, habe ich ihn noch nicht gefunden.

        LLAP 🖖

        -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
  3. Hallo Matthias Apsel,

    @Gunnar Bittersmann schrieb mir: „Die Intuition sagt: Das ist die Art von Behauptungen, die man indirekt beweist.“ - Recht hat er. Ebenso wie @Rolf B hat er (aber beide etwas anders) die Behauptung durch einen indirekten Beweis bewiesen. Ich auch, aber anders als die beiden, nämlich unter Verwendung der 3. binomischen Formel (😝).

    Annahme: \sqrt{a}+\sqrt{b} ist rational

    Es gilt: \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\cdot\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b

    Da a-b rational ist, müssen beide Faktoren rational sein.

    Wenn ich jetzt diese beiden Faktoren addiere, muss sich ebenfalls eine rationale Zahl ergeben
    \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=2\sqrt{a},
    \sqrt{a} ist aber nicht rational.

    @ottogal hat mit einem direkten Beweis angefangen und ihn indirekt zu Ende geführt.

    Zusatzaufgabe: Führe einen direkten Beweis.

    Bis demnächst
    Matthias

    -- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
    1. @@Matthias Apsel

      Annahme: \sqrt{a}+\sqrt{b} ist rational

      Es gilt: \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\cdot\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b

      Da a-b rational ist, müssen beide Faktoren rational sein.

      Ähm, so kannste das nicht begründen. Bei \left(\sqrt{5}+1\right)\cdot\left(\sqrt{5}-1\right)=5-1 ist die rechte Seite auch rational, aber beide Faktoren auf der linken Seite sind irrational.

      So geht’s (vielleicht meintest du das auch): Wenn a-b und \sqrt{a}+\sqrt{b} rational sind, dann ist auch \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} rational.

       

      unter Verwendung der 3. binomischen Formel (😝)

      Sachen gibt’s, die gibt’s gar nicht.

      Ich hab die 2. binomische Formel verwendet – welche eine binomische Formel ist, aber nicht unbedingt die zweite, sondern auch bloß die erste (also: die eine) in anderem Gewand (mit umgekehrtem Vorzeichen von b).

      Also mal angenommen, s = √a + √b wäre rational (mit √a und √b irrational).

      \begin{align} s - \sqrt{a} &= \sqrt{b} \\ \left( s - \sqrt{a} \right)^2 = s^2 - 2s\sqrt{a} + a &= b \\ - 2s\sqrt{a} &= -a + b - s^2 \\ \sqrt{a} &= \frac{a - b + s^2}{2s} \end{align}

      Die rechte Seite ist rational, damit ist √a rational, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht.

      LLAP 🖖

      -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
      1. Hallo Gunnar Bittersmann,

        Ähm, so kannste das nicht begründen. Bei \left(\sqrt{5}+1\right)\cdot\left(\sqrt{5}-1\right)=5-1 ist die rechte Seite auch rational, aber beide Faktoren auf der linken Seite sind irrational.

        So geht’s (vielleicht meintest du das auch): Wenn a-b und \sqrt{a}+\sqrt{b} rational sind, dann ist auch \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} rational.

        Ja, den Schritt habe ich mir gespart.

        Bis demnächst
        Matthias

        -- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
    2. hallo

      Hallo Matthias Apsel,

      @Gunnar Bittersmann schrieb mir: „Die Intuition sagt: Das ist die Art von Behauptungen, die man indirekt beweist.“ - Recht hat er. Ebenso wie @Rolf B hat er (aber beide etwas anders) die Behauptung durch einen indirekten Beweis bewiesen. Ich auch, aber anders als die beiden, nämlich unter Verwendung der 3. binomischen Formel (😝).

      Annahme: \sqrt{a}+\sqrt{b} ist rational

      Es gilt: \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\cdot\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b

      Da a-b rational ist, müssen beide Faktoren rational sein.

      Sicher? nehmen wir an, der eine Faktor sei phi und das andere 1/phi

      wobei: phi = a^0.5 + b^0.5

      und: 1/phi = a^0.5 - b^0.5

      -- https://beat-stoecklin.ch/pub/index.html
      1. Hallo beatovich,

        Sicher? nehmen wir an, der eine Faktor sei phi und das andere 1/phi

        wobei: phi = a^0.5 + b^0.5

        und: 1/phi = a^0.5 - b^0.5

        Interessant.

        Bis demnächst
        Matthias

        -- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
        1. Hallo Matthias Apsel,

          Interessant.

          (√(a+1) + √a) * (√(a+1) - √a) = 1

          Bis demnächst
          Matthias

          -- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
      2. @@beatovich

        Sicher? nehmen wir an, der eine Faktor sei phi und das andere 1/phi

        Oder 2Φ und 1/2Φ, wie ich annahm.

        Aber Klein-φ macht auch Mist.

        wobei: phi = a^0.5 + b^0.5

        und: 1/phi = a^0.5 - b^0.5

        Ach so, du meintest gar nicht das Φ (den goldenen Schnitt).

        LLAP 🖖

        -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
    3. Hallo Matthias,

      3. binomische hatte ich doch auch (nach einem Fehlstart mit der 1.)

      Bevor ich lange grübele: kennst du einen direkten Beweis? Oder ist das eine ungelöste Frage?

      Rolf

      -- sumpsi - posui - clusi
      1. Hallo Rolf B,

        kennst du einen direkten Beweis?

        Ja.

        Bis demnächst
        Matthias

        -- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
    4. @ottogal hat mit einem direkten Beweis angefangen und ihn indirekt zu Ende geführt.

      Der ging so (hier straffer formuliert als in der Mitteilung an @Matthias Apsel):

      Seien a und b natürliche Zahlen mit \sqrt a und \sqrt b irrational.

      Dann ist \left( \sqrt a + \sqrt b \right)² = a+2\sqrt{ab}+b.

      Wenn \sqrt{ab} irrational ist, dann ist auch \left( \sqrt a + \sqrt b \right)² irrational, dann aber auch \sqrt a + \sqrt b;
      denn andernfalls wäre \left( \sqrt a + \sqrt b \right)² als Produkt rationaler Zahlen rational.

      Wir zeigen im Folgenden: \sqrt{ab} kann nicht rational sein.

      Der Sonderfall a=b ist trivial: Dann ist \sqrt a + \sqrt b = 2\sqrt a irrational (nach Voraussetzung über \sqrt a).

      Sei also a \ne b.

      Sei g der größte gemeinsame Teiler von a und b,
      also etwa a=gc und b=gd mit teilerfremden c, d.

      Dann ist \sqrt{ab}=g\sqrt{cd}, und \sqrt{ab} ist genau dann irrational, wenn \sqrt{cd} es ist.

      Wir zeigen nun:

      Sind c und d teilerfremde natürliche Zahlen, so ist \sqrt{cd} irrational.

      Der Beweis erfolgt indirekt (nach dem Muster, wie man üblicher Weise die Irrationalität von \sqrt 2 zeigt).

      Wir nehmen das Gegenteil an: Es gebe (O.B.d.A. teilerfremde) natürliche zahlen p, q mit

      \sqrt{cd}=\frac{p}{q}.

      Es folgt cd=\frac{p²}{q²}, p²=cd \cdot q².

      hat also den Teiler cd, daher muss auch p den Teiler cd haben, etwa p=cd \cdot r.

      Man erhält cd \cdot q²= (cd)² \cdot r², q²= cd \cdot r². Also hat auch den Teiler cd und damit auch q.

      Dass sowohl p als auch q den Teiler cd haben steht aber im Widerspruch zu der Annahme, dass p und q teilerfremd sind.

      Somit muss \sqrt{cd} irrational sein.

      1. Hallo ottogal,

        ich hätte ein paar Einwände.

        Woher weiß ich, dass die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl irrational ist? Das ist schnell gezeigt, aber erwähnt werden sollte es bei einem Beweis auf diesem Level. Es ist nicht in den Axiomen der Aufgabenstellung enthalten.

        Deine GGT-Überlegungen hatte ich bei meinem Fehlstart auch, war aber ungeschickter und habe mit Primfaktoren rumhantiert. Deins ist eleganter, aber der Hilfssatz taugt leider trotzdem nichts.

        Zuerst hat mich gestört, dass Du die Teilerfremdheit von c und d im Beweis nicht nutzt. Der Nichtgebrauch einer Voraussetzung zeigt entweder an, dass die Voraussetzung unnötig ist, oder der Beweis faul ist. Nach kurzem Nachdenken fand ich den Wurm:

        Gegenbeispiel: a=8, b=18. Deren Wurzeln sind irrational (2\sqrt2 und 3\sqrt2). GGT ist 2, d.h. es ist c=4 und d=9. Die sind teilerfremd. Die Wurzel aus cd=36 ist 6, das ist zwar in gewissem Sinne irrational, aber nur für Lateiner.

        Rolf

        -- sumpsi - posui - clusi
        1. Chapeau, Rolf!

          Da muss ich wohl die Segel streichen. Zugegeben: Ich hatte selbst ein leicht mulmiges Gefühl bei meiner Argumentation, sogar auch nach eine Gegenbeispiel gesucht...

          Danke für deinen sezierenden Blick, und viele Grüße
          ottogal

        2. Mein peinlicher Fehlschluss nochmal beleuchtet:

          Wir nehmen das Gegenteil an: Es gebe (O.B.d.A. teilerfremde) natürliche zahlen p, q mit

          \sqrt{cd}=\frac{p}{q}.

          Es folgt cd=\frac{p²}{q²}, p²=cd \cdot q².

          hat also den Teiler cd, daher muss auch p den Teiler cd haben, etwa p=cd \cdot r.
          ...

          Wenn auch nur eine der Zahlen c oder d eine Quadratzahl ist, ist dieser Schluss
          (von cd teilt auf cd teilt p) falsch.

          Ist z.B. d=n², so folgt aus p²=c\cdot n² \cdot q² nur dass c auch p teilen muss (aber auch nur falls c nicht auch Quadratzahl ist).

          P.S. Ich freu mich schon auf die nächste Geometrie-Aufgabe... 📐

          Folgende Nachrichten verweisen auf diesen Beitrag:

    5. Hallo Matthias Apsel,

      Zusatzaufgabe: Führe einen direkten Beweis.

      Aus dem, was wir verwenden dürfen, folgt mit einfacher Begründung

      • Summe bzw. Produkt aus einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational
      • die Wurzel aus einer irrationalen Zahl ist irrational

      Es gilt:

      \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + 2\sqrt{ab} + b}.

      \sqrt{ab} ist entweder irrational oder rational.

      Im ersten Fall ist der Radikant und mit ihm auch die Wurzel irrational.

      Der zweite Fall ist der spannende.

      Bis demnächst
      Matthias

      -- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
      1. Hallo Matthias,

        man kann es noch etwas verschärfen: \sqrt{ab} ist entweder irrational oder eine natürliche Zahl.

        Denn weil die Wurzel einer Nichtquadratzahl irrational ist, muss ab bei einer rationalen Wurzel eine Quadratzahl sein. Und die Wurzel einer Quadratzahl ist natürlich.

        Falls das als indirekter Beweis gilt: man kann das auch über Primfaktoren von ab verargumentieren. Auf Grund der Potenzgesetze hat eine Quadratzahl nur gerade Exponenten. Die Primfaktoren von ab mit geraden Exponenten sind also Quadratzahlen, können partiell radiziert werden und sind dann ein natürlicher Faktor vor der Wurzel. Die mit ungeraden Exponenten bleiben übrig, aber eine Quadratzahl braucht gerade Exponenten. Also: \sqrt{ab} ist natürlich oder irrational. Dazwischen gibt es nichts. Hm. Ich habe „aber“ gesagt. Immer noch indirekt?

        Bleibt die Frage: Wie zeigt man, ohne Widersprüche aufzuzeigen, dass bei natürlichem \sqrt{ab} unter der Wurzel keine Quadratzahl steht?

        Rolf

        -- sumpsi - posui - clusi
        1. Hallo Rolf B,

          Bleibt die Frage: Wie zeigt man, ohne Widersprüche aufzuzeigen, dass bei natürlichem \sqrt{ab} unter der Wurzel keine Quadratzahl steht?

          Im Prinzip genauso, wie du oben angefangen hast:

          a ist keine Quadratzahl, also darstellbar als m^2 \cdot P=a.
          m² ist dabei das Produkt aller Primfaktoren, die in gerader Anzahl vertreten sind (oder 1), P das Produkt der Primfaktoren, die es nur einmal gibt.

          Weiter gilt: m \cdot \sqrt{P}=\sqrt{a}.
          \sqrt{P} ist also irrational.

          entsprechend n^2 \cdot Q=b

          Weil aber \sqrt{ab} rational ist, ist P = Q.

          \begin{align} \sqrt{a} + \sqrt{b} &= \sqrt{a + 2\sqrt{ab} + b}\\ &= \sqrt{m^2P + 2\sqrt{m^2n^2P^2} + n^2P}\\ &= \sqrt{m^2P + 2mnP + n^2P}\\ &= \sqrt{(m + n)^2 \cdot P}\\ &= (m + n) \cdot \sqrt{P} \end{align}

          q.e.d.

          Bis demnächst
          Matthias

          -- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
          1. Hallo Matthias,

            m² ist dabei das Produkt aller Primfaktoren, die in gerader Anzahl vertreten sind (oder 1), P das Produkt der Primfaktoren, die es nur einmal gibt.

            Das ist etwas unscharf formuliert, es gibt ja nicht die Unterscheidung „Exponent ist gerade oder 1“, sondern „Exponent ist gerade oder ungerade“. Gemeint ist natürlich, die ungeraden Exponenten aufzuteilen: p_i^{2n_i+1} = p_i^{2n_i}p, dann kann man den geraden Teil radizieren und p_i bleibt unter der Wurzel.

            Ja, und dann muss ich mal wieder zum Zahnarzt und zum Schreiner - in meiner Tischkante steckt ein Schneidezahn:

            Weil aber \sqrt{ab} rational ist, ist P = Q (Wurzelzeichen von mir nachgetragen)

            Das ist der Knackpunkt, und der hätte mir auffallen müssen. Eigentlich hatte ich auf meinem Zettel alles stehen, was ich zu dieser Erkenntnis brauchte. Ich hatte verzweifelt überlegt, wie ich ausklammern könnte, und sah immer nur P und Q ohne ihre Gleichheit zu erkennen. Super!

            Rolf

            -- sumpsi - posui - clusi
            1. Hallo Rolf B,

              m² ist dabei das Produkt aller Primfaktoren, die in gerader Anzahl vertreten sind (oder 1), P das Produkt der Primfaktoren, die es nur einmal gibt.

              Das ist etwas unscharf formuliert, es gibt ja nicht die Unterscheidung „Exponent ist gerade oder 1“, sondern „Exponent ist gerade oder ungerade“. Gemeint ist natürlich, die ungeraden Exponenten aufzuteilen: p_i^{2n_i+1} = p_i^{2n_i}p, dann kann man den geraden Teil radizieren und p_i bleibt unter der Wurzel.

              m² ist (das Produkt aller Primfaktoren, die in gerader Anzahl vertreten sind) oder (1², falls es keinen solchen Primfaktor gibt)

              Bis demnächst
              Matthias

              -- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
              1. Hallo Matthias,

                reden wir orthogonal zueinander?

                Wenn Du sagst: Ich ziehe aus a alle Primfaktoren heraus die in gerader Anzahl vertreten sind, dann holt das aus a=72 = 2^3*3^2 nur 3^2 heraus. Und damit funktioniert dein Beweis nicht mehr, der geht davon aus dass in P und Q alle Primfaktoren nur noch Exponent 1 haben, andernfalls ist die Folgerung P=Q unzulässig.

                Du musst schon explizit auf die Teilung der ungeraden Exponenten in 2n und 1 eingehen. Ich weiß ja was Du meinst - in 2^3 ist 2^2 als gerader Exponent implizit enthalten, aber das muss für einen validen Beweis auch so aufgeschrieben sein.

                Sorry für's Korinthenkacken, mein seliger Mathelehrer aus den 80ern würde mich aber sonst im Schlaf heimsuchen und fragen, warum er eigentlich für uns Beweissalami täglich in feinsten Scheiben auf dem Speisezettel hatte...

                Rolf

                -- sumpsi - posui - clusi
                1. @@Rolf B

                  reden wir orthogonal zueinander?

                  oder parallel, d.h. aneinander vorbei? 😉

                  LLAP 🖖

                  -- „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann