Mathematik zum Wochenende - Lösung der Zusatzaufgabe - Häppchenweise

[Rolf B]

Hallo Matthias,

man kann es noch etwas verschärfen: $$\sqrt{ab}$$ ist entweder irrational oder eine natürliche Zahl.

Denn weil die Wurzel einer Nichtquadratzahl irrational ist, muss $$ab$$ bei einer rationalen Wurzel eine Quadratzahl sein. Und die Wurzel einer Quadratzahl ist natürlich.

Falls das als indirekter Beweis gilt: man kann das auch über Primfaktoren von $$ab$$ verargumentieren. Auf Grund der Potenzgesetze hat eine Quadratzahl nur gerade Exponenten. Die Primfaktoren von $$ab$$ mit geraden Exponenten sind also Quadratzahlen, können partiell radiziert werden und sind dann ein natürlicher Faktor vor der Wurzel. Die mit ungeraden Exponenten bleiben übrig, aber eine Quadratzahl braucht gerade Exponenten. Also: $$\sqrt{ab}$$ ist natürlich oder irrational. Dazwischen gibt es nichts. Hm. Ich habe „aber“ gesagt. Immer noch indirekt?

Bleibt die Frage: Wie zeigt man, ohne Widersprüche aufzuzeigen, dass bei natürlichem $$\sqrt{ab}$$ unter der Wurzel keine Quadratzahl steht?

Rolf