Mathematik - Schlag auf Schlag

[ottogal]

Hallo in die Runde,

mit den Schlägen sind aufeinander folgende Zirkelschläge gemeint...

---

Gegeben ist ein beliebiges Dreieck $$ABC$$ und ein frei gewählter Punkt $$P_0$$ auf der Strecke $$AB$$ (keiner der Endpunkte).

Man schlägt nun mit dem Zirkel einen Kreisbogen um $$A$$ durch $$P_0$$ im Gegenuhrzeigersinn bis zum Schnittpunkt mit $$CA$$, wir nennen ihn $$P_1$$.
Dann schlägt man entsprechend einen Kreisbogen um $$C$$ durch $$P_1$$ bis zum Schnittpunkt mit $$BC$$, genannt $$P_2$$.
Und schließlich einen Kreisbogen um $$B$$ durch $$P_2$$ bis zum Schnittpunkt $$P_3$$ mit $$AB$$.

Anmerkung:
Falls einer der Kreisbögen nicht die angezielte Dreiecksseite trifft,
muss man mit einem geeigneteren Ausgangspunkt $$P_0$$ von vorn anfangen.

In den meisten Fällen, in denen der Dreifach-Schlag gelingt, wird $$P_3$$ vom Ausgangspunkt $$P_0$$ verschieden sein.

Aufgabe (1):
Welche Bedingung muss $$P_0$$ erfüllen, damit $$P_3$$ mit $$P_0$$ zusammenfällt?

Im Fall, dass die Dreier-Kette sich jedoch nicht schließt, soll die Prozedur mit drei weiteren Zirkelschlägen im gleichen Sinn fortgesetzt werden, so dass man Punkte
$$P_4$$ auf $$CA$$, $$P_5$$ auf $$BC$$ und $$P_6$$ auf $$AB$$ erhält:

Aufgabe (2):
a) Man stelle eine Vermutung über den Punkt $$P_6$$ an.
b) Man beweise diese Vermutung.

---

Viele Grüße
ottogal

[ottogal]

Aufgabe (1):
Welche Bedingung muss $$P_0$$ erfüllen, damit $$P_3$$ mit $$P_0$$ zusammenfällt?

Da hätte ich mich deutlicher ausdrücken sollen: Gemeint ist eine geometrische Bedingung für $$P_0$$.
Anders ausgedrückt: Wie lässt sich $$P_0$$ konstruieren?

[Tabellenkalk]

Hallo,

Da hätte ich mich deutlicher ausdrücken sollen: Gemeint ist eine geometrische Bedingung für $$P_0$$.
Anders ausgedrückt: Wie lässt sich $$P_0$$ konstruieren?

Ist damit gemeint, dass auch das Dreieck konstruiert werden darf, also bestimnte Bedingungen erfüllen muss?

Gruß
Kalk

[ottogal]

Nein, das Dreieck soll beliebig vorgegeben sein.
Nur kann die Wahl von $$P_0$$ manchmal den Dreier-Schlag verhindern – z.B.

[Rolf B]

Hallo ottogal,

Okay, dann muss ich noch mal grübeln. Sorry für den offenen Post, das sollte eine Private Nachricht sein 🙁

Rolf

[ottogal]

Das passiert mir auch immer wieder...

[ottogal]

Hallo in die Runde, ich löse mal auf.

---

Die Dreiecksseiten seien wie üblich mit a, b, c bezeichnet. Die Radien der Kreisbögen nennen wir der Reihe nach r1 bis r6. Die Lage des Punktes $$P_0$$ legen wir fest durch die variable Streckenlänge $$x = AP_0$$.

Im Folgenden unterstellen wir, dass der gewählte Wert von x alle Kreisbögen erlaubt.

Stes gilt:

r1 = x
r2 = b − r1 = b − x
r3 = a − r2 = a − b + x
r4 = c − r3 = c − a + b − x
r5 = b − r4 = b − c + a − b + x = a − c + x
r6 = a − r5 = a − a + c − x = c − x

---

Lösung von Aufgabe (1):

Die Bedingung für $$P_3=P_0$$ lautet r3 = c − x, also
a − b + x = c − x
2x = c − a + b
Mit u für den Umfang des Dreiecks, u = a + b + c, und s = u/2 folgt
2x = u − 2a
x = s − a

In diesem Fall gilt also r1 = s − a,
und entsprechend auch r2 = s − c und r3 = s − b;
natürlich ist r1 + r2 + r3 = s.

Den gefundenen speziellen Wert für x nennen wir im Folgenden a', den speziellen Punkt $$P_0'$$.

Bemerkung:

Ist der Radius r1 größer als a', etwa r1 = a' + d, dann wird r2 um d kleiner und folglich r3 um den gleichen Wert d größer.
Die Punkte $$P_0$$ und $$P_3$$ liegen dann also um 2d voneinander entfernt,
und der Mittelpunkt der Strecke $$P_0P_3$$ ist stets $$P_0'$$:

Man kann das gut in der Geogebra-Zeichnung verfolgen, indem man den Punkt $$P_0$$ verschiebt.

---

Lösung von Aufgabe (2):

Oben erhielten wir r6 = c − x.
Daraus folgt sofort $$AP_6 = AB − r6 = c − c + x = x = AP_0$$.

Das ist der Beweis für die Vermutung, dass $$P_0$$ und $$P_6$$ stets zusammenfallen,
die Sechserkette sich also immer schließt, unabhängig von der Wahl von $$P_0$$.

---

Zur Konstruktion von $$P_0$$:

Wenn einem das Bild eines Dreiecks mit Inkreis vor's (vllt. innere) Auge kommt, erkennt man, dass $$P_0$$ der Berührpunkt von AB mit dem Inkreis sein muss:

Die Tangentenabschnitte von einer Ecke zu den benachbarten beiden Berührpunkten sind ja jeweils gleich lang:
$$AP_0=AP_1=a'$$, $$CP_1=CP_2=c'$$, $$BP_2=BP_3=b'$$.
Alle 6 addieren sich zum Umfang:
u = 2a' + 2b' + 2c', also s = a' + b' + c'.
Es folgt a' = s − (b' + c') = s − a, wie oben.

Somit ist $$AP_0'=a'$$, und man erhält $$P_0'$$ als Fußpunkt des Lotes vom Inkreismittelpunkt auf AB.

Anderer Weg:

Im Fall, dass drei Kreisbögen mit $$P_3 \neq P_0$$ vorliegen, konstruiert man den Mittelpunkt $$M$$ der Strecke $$P_3P_0$$.
Nach der Bemerkung oben hat $$AM$$ dann die gesuchte Länge a', es ist $$M=P_0'$$.

Noch ein anderer Weg:

Man konstruiert eine Strecke der Länge a' = s − a.

1. Abtragen der Streckenlänge AC von A aus nach links auf die Gerade AB ergibt Punkt D.
2. Abtragen der Streckenlänge BC von B aus nach rechts auf die Gerade AB ergibt Punkt G.
3. DG hat nun die Länge des Dreiecksumfangs $$u$$.
4. Konstruktion der Mittelsenkrechten von DG erzeugt ihren Mittelpunkt H. Folglich hat HG die Länge u/2 = s.
5. Wegen HB = HG − BG = s − a = a' ist HB eine Strecke der gesuchten Länge.
6. Abtragen dieser Streckenlänge von A aus nach rechts auf AB liefert $$P_0'$$.

---

Viele Grüße
ottogal

[ottogal]

Die Schlägerei geht weiter!

(Es sei denn, ihr gebt euch geschlagen – oder schlagt euch in die Büsche...
Mit dem Bisherigen als Vorübung sollte es aber nicht schwer sein.)

Statt mit Dreiecken schlagen wir uns mit Vierecken herum. Die sollen auf jeden Fall konvex sein, d.h. keine einspringende Ecke haben.

Die Seiten benennen wir so: AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.

$$P_0$$ sei wieder ein beliebig wählbarer Punkt auf AB, und wir erzeugen (entsprechend wie bei der Dreiecksaufgabe) durch zusammenhängende Kreisbögen um die Ecken A, D, C, B der Reihe nach die Punkte $$P_1$$ auf DA, $$P_2$$ auf CD, $$P_3$$ auf BC und $$P_4$$ auf AB.

Wir unterstellen wieder, dass alle 4 Bögen geschlagen werden können.

Es kommt nun vor, dass die Viererkette sich schließt (also $$P_4$$ mit $$P_0$$ zusammenfällt), oder eben nicht:

Aufgabe (3):
a) Angenommen, bei einem vorliegenden Viereck und gegebenem Startpunkt $$P_0$$ schließt sich die Viererkette. Man zeige: Sie schließt sich dann auch, wenn man einen anderen Startpunkt $$P_0$$ auf AB wählt.
b) Angenommen, bei einem vorliegenden Viereck und gegebenem Startpunkt $$P_0$$ schließt sich die Viererkette nicht. Man zeige: Sie schließt sich dann auch nicht, wenn man einen anderen Startpunkt $$P_0$$ auf AB wählt.

Aufgabe (4):
Welche geometrische Eigenschaft muss ein Viereck haben, damit sich jede Viererkette schließt?

---

Viele Grüße!
ottogal