Mathematik - Schlag auf Schlag

[ottogal]

Hallo in die Runde,

mit den Schlägen sind aufeinander folgende Zirkelschläge gemeint...

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Gegeben ist ein beliebiges Dreieck $$ABC$$ und ein frei gewählter Punkt $$P_0$$ auf der Strecke $$AB$$ (keiner der Endpunkte).

Man schlägt nun mit dem Zirkel einen Kreisbogen um $$A$$ durch $$P_0$$ im Gegenuhrzeigersinn bis zum Schnittpunkt mit $$CA$$, wir nennen ihn $$P_1$$.
Dann schlägt man entsprechend einen Kreisbogen um $$C$$ durch $$P_1$$ bis zum Schnittpunkt mit $$BC$$, genannt $$P_2$$.
Und schließlich einen Kreisbogen um $$B$$ durch $$P_2$$ bis zum Schnittpunkt $$P_3$$ mit $$AB$$.

Anmerkung:
Falls einer der Kreisbögen nicht die angezielte Dreiecksseite trifft,
muss man mit einem geeigneteren Ausgangspunkt $$P_0$$ von vorn anfangen.

In den meisten Fällen, in denen der Dreifach-Schlag gelingt, wird $$P_3$$ vom Ausgangspunkt $$P_0$$ verschieden sein.

Aufgabe (1):
Welche Bedingung muss $$P_0$$ erfüllen, damit $$P_3$$ mit $$P_0$$ zusammenfällt?

Im Fall, dass die Dreier-Kette sich jedoch nicht schließt, soll die Prozedur mit drei weiteren Zirkelschlägen im gleichen Sinn fortgesetzt werden, so dass man Punkte
$$P_4$$ auf $$CA$$, $$P_5$$ auf $$BC$$ und $$P_6$$ auf $$AB$$ erhält:

Aufgabe (2):
a) Man stelle eine Vermutung über den Punkt $$P_6$$ an.
b) Man beweise diese Vermutung.

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Viele Grüße
ottogal

[ottogal]

Aufgabe (1):
Welche Bedingung muss $$P_0$$ erfüllen, damit $$P_3$$ mit $$P_0$$ zusammenfällt?

Da hätte ich mich deutlicher ausdrücken sollen: Gemeint ist eine geometrische Bedingung für $$P_0$$.
Anders ausgedrückt: Wie lässt sich $$P_0$$ konstruieren?

[Tabellenkalk]

Hallo,

Da hätte ich mich deutlicher ausdrücken sollen: Gemeint ist eine geometrische Bedingung für $$P_0$$.
Anders ausgedrückt: Wie lässt sich $$P_0$$ konstruieren?

Ist damit gemeint, dass auch das Dreieck konstruiert werden darf, also bestimnte Bedingungen erfüllen muss?

Gruß
Kalk

[ottogal]

Nein, das Dreieck soll beliebig vorgegeben sein.
Nur kann die Wahl von $$P_0$$ manchmal den Dreier-Schlag verhindern – z.B.

[Rolf B]

Hallo ottogal,

Okay, dann muss ich noch mal grübeln. Sorry für den offenen Post, das sollte eine Private Nachricht sein 🙁

Rolf

[ottogal]

Das passiert mir auch immer wieder...

[ottogal]

Hallo in die Runde, ich löse mal auf.

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Die Dreiecksseiten seien wie üblich mit a, b, c bezeichnet. Die Radien der Kreisbögen nennen wir der Reihe nach r1 bis r6. Die Lage des Punktes $$P_0$$ legen wir fest durch die variable Streckenlänge $$x = AP_0$$.

Im Folgenden unterstellen wir, dass der gewählte Wert von x alle Kreisbögen erlaubt.

Stes gilt:

r1 = x
r2 = b − r1 = b − x
r3 = a − r2 = a − b + x
r4 = c − r3 = c − a + b − x
r5 = b − r4 = b − c + a − b + x = a − c + x
r6 = a − r5 = a − a + c − x = c − x

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Lösung von Aufgabe (1):

Die Bedingung für $$P_3=P_0$$ lautet r3 = c − x, also
a − b + x = c − x
2x = c − a + b
Mit u für den Umfang des Dreiecks, u = a + b + c, und s = u/2 folgt
2x = u − 2a
x = s − a

In diesem Fall gilt also r1 = s − a,
und entsprechend auch r2 = s − c und r3 = s − b;
natürlich ist r1 + r2 + r3 = s.

Den gefundenen speziellen Wert für x nennen wir im Folgenden a', den speziellen Punkt $$P_0'$$.

Bemerkung:

Ist der Radius r1 größer als a', etwa r1 = a' + d, dann wird r2 um d kleiner und folglich r3 um den gleichen Wert d größer.
Die Punkte $$P_0$$ und $$P_3$$ liegen dann also um 2d voneinander entfernt,
und der Mittelpunkt der Strecke $$P_0P_3$$ ist stets $$P_0'$$:

Man kann das gut in der Geogebra-Zeichnung verfolgen, indem man den Punkt $$P_0$$ verschiebt.

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Lösung von Aufgabe (2):

Oben erhielten wir r6 = c − x.
Daraus folgt sofort $$AP_6 = AB − r6 = c − c + x = x = AP_0$$.

Das ist der Beweis für die Vermutung, dass $$P_0$$ und $$P_6$$ stets zusammenfallen,
die Sechserkette sich also immer schließt, unabhängig von der Wahl von $$P_0$$.

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Zur Konstruktion von $$P_0$$:

Wenn einem das Bild eines Dreiecks mit Inkreis vor's (vllt. innere) Auge kommt, erkennt man, dass $$P_0$$ der Berührpunkt von AB mit dem Inkreis sein muss:

Die Tangentenabschnitte von einer Ecke zu den benachbarten beiden Berührpunkten sind ja jeweils gleich lang:
$$AP_0=AP_1=a'$$, $$CP_1=CP_2=c'$$, $$BP_2=BP_3=b'$$.
Alle 6 addieren sich zum Umfang:
u = 2a' + 2b' + 2c', also s = a' + b' + c'.
Es folgt a' = s − (b' + c') = s − a, wie oben.

Somit ist $$AP_0'=a'$$, und man erhält $$P_0'$$ als Fußpunkt des Lotes vom Inkreismittelpunkt auf AB.

Anderer Weg:

Im Fall, dass drei Kreisbögen mit $$P_3 \neq P_0$$ vorliegen, konstruiert man den Mittelpunkt $$M$$ der Strecke $$P_3P_0$$.
Nach der Bemerkung oben hat $$AM$$ dann die gesuchte Länge a', es ist $$M=P_0'$$.

Noch ein anderer Weg:

Man konstruiert eine Strecke der Länge a' = s − a.

1. Abtragen der Streckenlänge AC von A aus nach links auf die Gerade AB ergibt Punkt D.
2. Abtragen der Streckenlänge BC von B aus nach rechts auf die Gerade AB ergibt Punkt G.
3. DG hat nun die Länge des Dreiecksumfangs $$u$$.
4. Konstruktion der Mittelsenkrechten von DG erzeugt ihren Mittelpunkt H. Folglich hat HG die Länge u/2 = s.
5. Wegen HB = HG − BG = s − a = a' ist HB eine Strecke der gesuchten Länge.
6. Abtragen dieser Streckenlänge von A aus nach rechts auf AB liefert $$P_0'$$.

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Viele Grüße
ottogal

[ottogal]

Die Schlägerei geht weiter!

(Es sei denn, ihr gebt euch geschlagen – oder schlagt euch in die Büsche...
Mit dem Bisherigen als Vorübung sollte es aber nicht schwer sein.)

Statt mit Dreiecken schlagen wir uns mit Vierecken herum. Die sollen auf jeden Fall konvex sein, d.h. keine einspringende Ecke haben.

Die Seiten benennen wir so: AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.

$$P_0$$ sei wieder ein beliebig wählbarer Punkt auf AB, und wir erzeugen (entsprechend wie bei der Dreiecksaufgabe) durch zusammenhängende Kreisbögen um die Ecken A, D, C, B der Reihe nach die Punkte $$P_1$$ auf DA, $$P_2$$ auf CD, $$P_3$$ auf BC und $$P_4$$ auf AB.

Wir unterstellen wieder, dass alle 4 Bögen geschlagen werden können.

Es kommt nun vor, dass die Viererkette sich schließt (also $$P_4$$ mit $$P_0$$ zusammenfällt), oder eben nicht:

Aufgabe (3):
a) Angenommen, bei einem vorliegenden Viereck und gegebenem Startpunkt $$P_0$$ schließt sich die Viererkette. Man zeige: Sie schließt sich dann auch, wenn man einen anderen Startpunkt $$P_0$$ auf AB wählt.
b) Angenommen, bei einem vorliegenden Viereck und gegebenem Startpunkt $$P_0$$ schließt sich die Viererkette nicht. Man zeige: Sie schließt sich dann auch nicht, wenn man einen anderen Startpunkt $$P_0$$ auf AB wählt.

Aufgabe (4):
Welche geometrische Eigenschaft muss ein Viereck haben, damit sich jede Viererkette schließt?

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Viele Grüße!
ottogal

[ottogal]

Hallo in die Runde,

außer @Tabellenkalk hat sich zum "Nachschlag" niemand mehr geäußert - ich löse daher mal auf.

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Lösung von Aufgabe (3):

a)

Für die Radien der Kreisbögen gilt hier:

r1 = x
r2 = d - r1 = d - x
r3 = c - r2 = c - d + x
r4 = b - r3 = b - c + d - x

Die Bedingung für $$P_4=P_0$$ lautet r4 = a - r1 = a - x,
also b - c + d - x = a - x
und damit b + d = a + c.

Hier fällt x heraus - die Bedingung ist also nur eine an die Seiten des Vierecks:
Die Längen gegenüberliegender Seiten haben jeweils die gleiche Summe.
Auf die Wahl von $$P_0$$ kommt es nicht an.

b)

Gäbe es eine andere Wahl von $$P_0$$, bei der sich die Kette doch schließt,
würde sie das wegen der Aussage a) auch mit dem Punkt $$P_0$$ tun müssen, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Ein anderer Weg:

Die Strecke $$P_0P_4$$ hat die Länge |r1 + r4 - a|, nach obigem also
|x + (b - c + d - x) - a| = |b - c + d - a|, unabhängig von x.
(Man sieht auch hier, dass $$P_4=P_0$$ gleichbedeutend ist mit b + d = a + c.)

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Lösung von Aufgabe (4):

Bei der "Schlägerei" im Dreieck spielte der Inkreis eine Rolle. Daher liegt die Vermutung nahe, dass bei einem Viereck, das einen Inkreis besitzt, sich die Viererkette schließt, andernfalls nicht. (Solche Vierecke heißen Tangentenvierecke, weil ihre Seiten den Inkreis berühren.)

Im ersten Fall sieht man sofort: Wählt man für $$P_0$$ bis $$P_3$$ die Berührpunkte des Inkreises mit den Seiten, erhält man an einer Ecke jeweils gleichlange Tangentenabschnitte bis zum Berührpunkt. Es gibt vier (im allgemeinen verschieden lange) Abschnitte, die jeweils zweimal vorkommen. Zwei Gegenseiten setzen sich jeweils aus diesen 4 (verschieden gefärbten) Abschnitten zusammen.
Somit bestätigt sich die Bedingung für das Schließen der Viererkette: b + d = a + c.

Diese Gleichheit der Summen der Gegenseiten ist die bekannte Kennzeichnung für ein Tangentenviereck.

Aufgabe (3) a) hat ergeben, dass (anders als bei den Dreiecken) der Anfangspunkt $$P_0$$ nicht unbedingt der Berührpunkt von AB mit dem Inkreis sein muss: Der Wert von x spielt keine Rolle.
In einem Tangentenviereck schließt sich die Viererkette also immer, egal bei welchem Startpunkt $$P_0$$ (auf irgend einer der Seiten!) man anfängt.

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Viele Grüße
ottogal

[ottogal]

Die Anregung zu dieser "Schlägerei" bekam ich durch den Vortrag "Der Inkreis" von Hans Walser:

https://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20231118/index.html

Der antiquarische Wert des Quelltextes dieser Website steht hier nicht zur Diskussion.
(Ein Beispiel für Content matters!)