Mathematik zum Wochenanfang – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Wie groß ist die Fläche des Quadrats?

Sei a die Seitenlänge des Quadrats und r der Radius des Kreises.

Wie man leicht sieht, ist der Durchmesser 2r = a + 1.

Was nicht alle gesehen haben (manche haben mit Wurzeln rumgemacht): Pythagoras im in der Skizze eingezeichneten Dreieck:

$$\begin{align} \left(r-1\right)^2 + \left(\tfrac{1}{2}a\right)^2 &= r^2\\
r^2-2r+1 + \tfrac{1}{4}a^2 &= r^2\\
\tfrac{1}{4}a^2 &= 2r-1 = a\\
\end{align}$$

Die Triviallösung 0 interessiert uns nicht, wir teilen durch ¼a und bekommen a = 4. Die gesuchte Fläche ist also 16.

So wurde’s auch in dem Video gemacht, wo ich die Aufgabe herhabe.

Es geht aber noch einfacher: über den Höhensatz – so wie’s @ottogal gemacht hat (der will uns ein x für ein a vormachen):

passende Hilfslinien helfen:

Das blaue Dreieck ist rechtwinklig (Thales). Damit lässt sich der Höhensatz anwenden:

$$x \cdot 1 = (\frac{x}{2})²$$

Das ergibt $$x = 4$$, also die Quadratfläche $$x² = 16$$.

🖖 Live long and prosper