Mathematik zum Wochenanfang

[Gunnar Bittersmann]

Die Quadratur des Kreises? Ach was, die Aufgabe sollte machbar sein.

Wie groß ist die Fläche des Quadrats?

🖖 Live long and prosper

[Joachim]

Guten Tag,

r = 2,5 a = 4

Unverbindliches Ergebnis. Freundliche Grüße Joachim

[Rolf B]

Hallo Joachim,

ich habe deinen Beitrag gelöscht, weil Antworten auf solche Zeitvertreibaufgaben als Nachricht an den Autor erbeten sind. Dazu musst Du Dich registrieren, ja. Sieh die Löschung bitte als "vorübergehend in einem Umschlag verschlossen" an.

Gunnar hat es diesmal nicht dazu geschrieben, es ist aber hier so Brauch, den anderen nicht durch öffentliches Posten einer Lösung den Spaß zu verderben. Wenn das Forum eine "Versteckter Text" Funktion hätte, dann würden wir die nutzen - hat es aber nicht.

Nachdem Gunnar aufgelöst hat, werde ich deine zwar richtige, aber leider nicht begründete Lösung wiederherstellen. Es wäre schön, wenn Du Dich registrierst und Gunnar dann eine Lösung mit Lösungsweg schickst.

Auf die Zahl kann man auch mit Geogebra durch Versuch und Irrtum kommen 😉

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

ich habe deinen Beitrag gelöscht

Hatte ich auch kurz überlegt. Aber ich will sowieso gleich auflösen – wenn die Smashing Conference vorbei ist.

🖖 Live long and prosper

[Joachim]

Lieber Rolf, ohne Registrierung, amüsanter Hinweis zur Lösungsmöglichkeit. Joachim

[Rolf B]

Hallo Joachim,

schrieb ich doch: du musst dich dafür registrieren.

Wenn Dich die Idee einer Registrierung lediglich amüsiert, dann kannst Du an Spielereien wie dieser leider nur passiv teilnehmen. Registrieren kostet nichts und verpflichtet zu nichts (außer alle 3 Jahre was zu posten, weil ansonsten die DSGVO verlangt, dass wir den Account löschen).

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Wie groß ist die Fläche des Quadrats?

Sei a die Seitenlänge des Quadrats und r der Radius des Kreises.

Wie man leicht sieht, ist der Durchmesser 2r = a + 1.

Was nicht alle gesehen haben (manche haben mit Wurzeln rumgemacht): Pythagoras im in der Skizze eingezeichneten Dreieck:

$$\begin{align} \left(r-1\right)^2 + \left(\tfrac{1}{2}a\right)^2 &= r^2\\
r^2-2r+1 + \tfrac{1}{4}a^2 &= r^2\\
\tfrac{1}{4}a^2 &= 2r-1 = a\\
\end{align}$$

Die Triviallösung 0 interessiert uns nicht, wir teilen durch ¼a und bekommen a = 4. Die gesuchte Fläche ist also 16.

So wurde’s auch in dem Video gemacht, wo ich die Aufgabe herhabe.

Es geht aber noch einfacher: über den Höhensatz – so wie’s @ottogal gemacht hat (der will uns ein x für ein a vormachen):

passende Hilfslinien helfen:

Das blaue Dreieck ist rechtwinklig (Thales). Damit lässt sich der Höhensatz anwenden:

$$x \cdot 1 = (\frac{x}{2})²$$

Das ergibt $$x = 4$$, also die Quadratfläche $$x² = 16$$.

🖖 Live long and prosper

[ottogal]

Mancher wird sagen: Wer hat schon den Höhensatz in seiner tool box!
Aber vielleicht ja die Ähnlichkeit von Dreiecken.

Die blauen Teildreiecke sind ähnlich, da sie in den Winkeln übereinstimmen. Daher sind die Verhältnisse entsprechender Seiten gleich:

$$x:\frac{x}{2}=\frac{x}{2}:1$$

und man erhält ebenfalls $$x=4$$.

Wie @Gunnar Bittersmann bemerkte, beweist man genau auf diesem Weg den Höhensatz.