Camping_RIDER: Wiki-Artikel Rechnerarithmetik

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              Camping_RIDER
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              Matthias Apsel

Aloha ;)

Ich habe mein Erstlingswerk zur Rechnerarithmetik fertiggestellt - zumindest soweit wir nennenswerte Effekte zusammengetragen hatten.

Erwähnt und erklärt sind die Effekte, die zu Rundungsfehlern durch die Speicherung von Binärzahlen führen, sowie die numerische Auslöschung. Weitere hinreichend wichtigen Effekte kamen mir nicht mehr in den Kopf, bzw. habe ich auch nach einer Suche jetzt auf die Schnelle keinen wichtigen Effekt gefunden, der dringend erwähnt werden muss.

Wenn jemand noch was weiß, was unbedingt aufgenommen werden sollte - einfach melden, ich übernehme das dann nach Einarbeitungszeit noch in den Artikel.

Ansonsten bin ich natürlich an Feedback / Kritik / Änderungswünschen sehr interessiert.

Grüße,

RIDER

P.S.:

@Matthias Apsel: Dein ToDo ist abgearbeitet, hoffentlich zur Zufriedenheit... Hat mich ein bissl Gefrickl gekostet, aber ich habs dann doch geschaft, ohne Ahnung von meinen Beispiel-Admin-Rechten ein ausführbares Beispiel zu erstellen ;)

@Matthias Scharwies: Sollten sich hier keine riesigen Änderungswünsche mehr ergeben kann man den Artikel dann aus meinem Benutzernamensraum in das Programmiertechnik-Portal verschieben. Ich hab mich jetzt noch nicht so recht mit der Verlinkung im Portal befasst, vielleicht übernimmst du das besser - du bist tiefer in der Materie als ich.

--
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  1. Hallo Camping_RIDER,

    Ich habe mein Erstlingswerk zur Rechnerarithmetik fertiggestellt - zumindest soweit wir nennenswerte Effekte zusammengetragen hatten.

    Cool. Dankeschön.

    Ansonsten bin ich natürlich an Feedback / Kritik / Änderungswünschen sehr interessiert.

    Mich stört die Verwendung des Begriffs „Kommazahl“. Wir sollten „gebrochene Zahl“ schreiben. - Was meinst du?

    Bis demnächst
    Matthias

    --
    Signaturen sind bloed (Steel) und Markdown ist mächtig.
    1. Aloha ;)

      Mich stört die Verwendung des Begriffs „Kommazahl“. Wir sollten „gebrochene Zahl“ schreiben. - Was meinst du?

      Ich schwimme da auch immer etwas... Normalerweise würde man ja "Dezimalzahl" sagen, das passt aber aus offensichtlichen Gründen nur für das Dezimalsystem... Ich bin mit "Kommazahl" auch nicht so recht glücklich, weiß aber nicht, ob "gebrochene Zahl" das besser trifft. Da ist zwar schon irgendwie richtig, die Assoziation ist da aber eher zu einer Bruch-Darstellung als zu einer Komma-Darstellung... Also keine Ahnung ;)

      @Edit: Okay, ich denke wir machen das. Ich übernehms nachher im gesamten Artikel, überall wo "Kommazahl" steht.

      Grüße,

      RIDER

      --
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      1. Hallo

        Mich stört die Verwendung des Begriffs „Kommazahl“. Wir sollten „gebrochene Zahl“ schreiben. - Was meinst du?

        Ich schwimme da auch immer etwas... Normalerweise würde man ja "Dezimalzahl" sagen, das passt aber aus offensichtlichen Gründen nur für das Dezimalsystem... Ich bin mit "Kommazahl" auch nicht so recht glücklich, weiß aber nicht, ob "gebrochene Zahl" das besser trifft.

        Zumindest im technischen Bereich ist normalerweise™ von „Fließkommazahl“ die Rede.

        Tschö, Auge

        --
        Es schimmerte ein Licht am Ende des Tunnels und es stammte von einem Flammenwerfer.
        Terry Pratchett, „Gevatter Tod“
        1. Aloha ;)

          Mich stört die Verwendung des Begriffs „Kommazahl“. Wir sollten „gebrochene Zahl“ schreiben. - Was meinst du?

          Ich schwimme da auch immer etwas... Normalerweise würde man ja "Dezimalzahl" sagen, das passt aber aus offensichtlichen Gründen nur für das Dezimalsystem... Ich bin mit "Kommazahl" auch nicht so recht glücklich, weiß aber nicht, ob "gebrochene Zahl" das besser trifft.

          Zumindest im technischen Bereich ist normalerweise™ von „Fließkommazahl“ die Rede.

          Ja und nein. "Fließkommazahl" ist wieder was nochmal besondereres, weil das auf die Darstellung mit "fließendem Komma", also mit Mantisse und Exponent, zurückgeht... Daher aber auch meine Konstruktion mit "Kommazahl", weil das "Fließ" eben eigentlich keine Rolle spielt.

          Ich denke, dass ich Matthias' Formulierung "gebrochene Zahl" übernehme und der Bezeichnung und dem was gemeint ist einen Hinweiskasten widmen werde...

          Grüße,

          RIDER

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        2. Hi,

          Mich stört die Verwendung des Begriffs „Kommazahl“. Wir sollten „gebrochene Zahl“ schreiben. - Was meinst du?

          Ich schwimme da auch immer etwas... Normalerweise würde man ja "Dezimalzahl" sagen, das passt aber aus offensichtlichen Gründen nur für das Dezimalsystem... Ich bin mit "Kommazahl" auch nicht so recht glücklich, weiß aber nicht, ob "gebrochene Zahl" das besser trifft.

          Zumindest im technischen Bereich ist normalerweise™ von „Fließkommazahl“ die Rede.

          das stimmt, aber damit meint man meist eher das Prinzip der Zahlendarstellung und -speicherung bzw. dessen technische Realisierung, ungeachtet der Tatsache, ob es sich im Einzelfall um eine gebrochene Zahl wie 12.9242 oder eine ganze Zahl wie 12.0 (oder 12) handelt.

          Es kommt also drauf an, was man an der Stelle konkret vermitteln möchte.

          So long,
           Martin

    2. Hi,

      Mich stört die Verwendung des Begriffs „Kommazahl“. Wir sollten „gebrochene Zahl“ schreiben. - Was meinst du?

      Gebrochen ist für mich eine rationale Zahl (läßt sich gebrochen, als Bruch, darstellen).

      Hier wäre m.E. 'reelle Zahl' das Richtige.

      cu,
      Andreas a/k/a MudGuard

      1. Hallo MudGuard,

        Gebrochen ist für mich eine rationale Zahl (läßt sich gebrochen, als Bruch, darstellen).

        Hier wäre m.E. 'reelle Zahl' das Richtige.

        Hm. Per Defition sind die rationalen Zahlen die gebrochenen und ihre Gegenzahlen. Insofern könnte man auch rationale Zahl schreiben, wobei das vielleicht bei der Leserschaft zu Verwirrung führen könnte. Ebenso wie reelle Zahl. Gebochene Zahl ist dabei wohl intuitiver.

        Zudem sind dann auch die irrationalen Zahlen dabei. Die sind allerdings ohnehin von vornherein ausgeschlossen.

        Bis demnächst
        Matthias

        --
        Signaturen sind bloed (Steel) und Markdown ist mächtig.
        1. Aloha ;)

          Gebrochen ist für mich eine rationale Zahl (läßt sich gebrochen, als Bruch, darstellen).

          Hier wäre m.E. 'reelle Zahl' das Richtige.

          [...]

          Zudem sind dann auch die irrationalen Zahlen dabei. Die sind allerdings ohnehin von vornherein ausgeschlossen.

          "Reelle Zahl" war für mich keine Option, da ich die irrationalen Zahlen (genau genommen die transzendenten Zahlen) ja schon im Einleitungstext explizit ausgeschlossen hatte (wie Matthias richtig sagt). "Rationale Zahl" wäre richtig - bedeutet aber das selbe wie gebrochene Zahl, wie MudGuard richtig sagt. Würde ich aber rationale Zahl schreiben, würde ich genauso wenig ohne den Hinweiskasten auskommen, weil ich dem Leser dann zuerst einmal wieder in Erinnerung rufen müsste, was genau eine rationale Zahl war.

          Summa summarum ist imho der Begriff "gebrochene Zahl" inklusive Hinweiskasten zur Intention der Bedeutung die beste Lösung.

          Ansonsten würde ich dann doch eher wieder zur "Kommazahl" zurückkehren, weil das das einzige ist, was genau das ausdrückt, was gemeint ist - auch wenn der Begriff sperrig ist. Der Begriff Kommazahl ist halt eher weniger gebräuchlich (auch wenn er tatsächlich benutzt wird, siehe der Einleitungssatz von Wikipedia: Nachkommastelle und viele andere Quellen, z.B. dict.cc und duden-Wörterbuch), aber prinzipiell schon konsequent (vergleiche Festkommazahl für Kommazahldarstellung mit festem Komma und Gleitkomma-/Fließkommazahl für Kommazahldarstellung mit "fließendem", dynamischem Komma.

          Grüße,

          RIDER

          --
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          1. @@Camping_RIDER

            "Rationale Zahl" wäre richtig - bedeutet aber das selbe wie gebrochene Zahl, wie MudGuard richtig sagt.

            Sagt er nicht. Und wenn, wäre es nicht richtig.

            Gebrochene Zahlen sind – je nach Ansicht – die positiven bzw. die nichtnegativen rationalen Zahlen. ℚ⁺ ⊂ ℚ bzw. ℚ* ⊂ ℚ

            LLAP 🖖

            --
            Ist diese Antwort anstößig? Dann könnte sie nützlich sein.
            1. Hallo,

              Gebrochene Zahlen sind – je nach Ansicht – die positiven bzw. die nichtnegativen rationalen Zahlen.

              wieso willst du negative Zahlen ausschließen?
              Ist -1/3 etwa keine gebrochene Zahl? Wenn nicht, was dann?

              Ciao,
               Martin

              1. @@Der Martin

                Gebrochene Zahlen sind – je nach Ansicht – die positiven bzw. die nichtnegativen rationalen Zahlen.

                wieso willst du negative Zahlen ausschließen?

                Weil’s die gängige Definition gebrochener Zahlen ist.

                Ist -1/3 etwa keine gebrochene Zahl? Wenn nicht, was dann?

                Nein. Eine rationale.

                LLAP 🖖

                --
                Ist diese Antwort anstößig? Dann könnte sie nützlich sein.
                1. Aloha ;)

                  Gebrochene Zahlen sind – je nach Ansicht – die positiven bzw. die nichtnegativen rationalen Zahlen.

                  wieso willst du negative Zahlen ausschließen?

                  Weil’s die gängige Definition gebrochener Zahlen ist.

                  Citation needed. Zumindest ist offenbar weder mir, noch @Matthias Apsel, noch @Der Martin diese Definition "gängig".

                  Ich liefere Quellen/Indizien für meine Sichtweise ("gebrochene Zahlen" = ℚ):

                  • Die deutsche Wikipedia leitet "gebrochene Zahl" auf "rationale Zahl" um
                  • Wikipedia: "Die rationalen Zahlen werden – insbesondere in der Schulmathematik – auch als Bruchzahlen bezeichnet" - und für mich sind "Bruchzahlen" dasselbe wie "gebrochene Zahlen"
                  • Wiktionary - Bruchzahl - Synonym "rationale Zahl"
                  • Duden: Bruch, Bedeutung 8 "Einheit aus Zahlen, die, mit einem Quer- oder Schrägstrich untereinandergeschrieben, ein bestimmtes Teilungsverhältnis ausdrücken; Bruchzahl [...] neulateinisch numerus fractus = gebrochene Zahl"; Insbesondere nicht spezifisch "Einheit aus natürlichen Zahlen, die..."
                  • Last but not least: Bronstein, 7. Auflage, Kapitel 1.1.1.1 "Alle ganzen und gebrochenen Zahlen, die positiven und negativen sowie die Null, werden rationale Zahlen genannt." -> In diesem Standardwerk wird lediglich zwischen ganzen und gebrochenen Zahlen unterschieden, "die positiven und negativen sowie die Null" ist in dieser Verwendung eindeutig eine weitere Bestimmung von "Alle ganzen und gebrochenen Zahlen" und keine Erweiterung davon - zwar ist demnach nicht gebrochene Zahl = rationale Zahl, aber im Sinne des Artikels dann zumindest gebrochene Zahl exakt das, was gemeint ist; und insbesondere ist dann nach Bronstein auch nicht "gebrochene Zahl = ℚ+"

                  Die einzige Quelle, die ich für deine "gängige Definition" gefunden habe, ist die Mathepedia, die ihrer Definition keinerlei anerkannte Quellen zugrunde legt - und in ihrer wissenschaftlichen Relevanz dem Bronstein sicher untergeordnet ist.

                  Grüße,

                  RIDER

                  --
                  Camping_RIDER a.k.a. Riders Flame a.k.a. Janosch Zoller Erreichbar manchmal im Self-TS (ts.selfhtml.org) oder sonst - wenn online - auf dem eigenen TeamSpeak-Server (fritz.campingrider.de) oder unter: # Facebook # Twitter # Steam # YouTube # Self-Wiki # ch:? rl:| br:> n4:? ie:% mo:| va:) js:) de:> zu:) fl:( ss:| ls:[
                  1. @@Camping_RIDER

                    Gebrochene Zahlen sind – je nach Ansicht – die positiven bzw. die nichtnegativen rationalen Zahlen.

                    wieso willst du negative Zahlen ausschließen?

                    Weil’s die gängige Definition gebrochener Zahlen ist.

                    Citation needed.

                    Schulunterricht der allgemeinbildenden polytechnischen Oberschule.

                    Zumindest ist offenbar weder mir, noch @Matthias Apsel, noch @Der Martin diese Definition "gängig".

                    Doch, dem Mattias ist diese Definition durchaus gängig. Deshalb schrieb er ja auch: „Per Defition sind die rationalen Zahlen die gebrochenen und ihre Gegenzahlen.“ (Hervorhebung von mir)

                    ℚ = ℚ* ∪ {−x: x ∈ ℚ*}

                    Wohl die einzige ernstzunehmende Quelle.

                    "Alle ganzen und gebrochenen Zahlen, die positiven und negativen sowie die Null, werden rationale Zahlen genannt."

                    Liest sich so, als meinten die mit „gebrochenen Zahlen“ nicht-ganze Zahlen (teilerfremde Brüche mit Nenner ungleich 1), sonst ergibt der Satz wenig Sinn. Und „die positiven und negativen“ kann man dann so verstehen, wie es Matthias sagte: dass man den Brüchen auch ein negatives Vorzeichen geben kann.

                    Vom Zahlenbereich der gebrochenen Zahlen zu sprechen ist wohl nicht so verbreitet – was sich auch darin zeigt, dass er entgegen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und ℂ kein eigenes Symbol hat.

                    Man kommt durch Zahlenbereichserweiterung zwecks uneingeschränkter Ausführbarkeit der Subtraktion von den natürlichen Zahlen zu den ganzen. Von denen dann zwecks uneingeschränkter Ausführbarkeit der Division zu den rationalen.

                    Oder andersrum: Man kommt durch Zahlenbereichserweiterung zwecks uneingeschränkter Ausführbarkeit der Division von den natürlichen Zahlen zu den gebrochenen. Von denen dann zwecks uneingeschränkter Ausführbarkeit der Subtraktion zu den rationalen.

                    LLAP 🖖

                    --
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                    1. Hallo Gunnar Bittersmann,

                      Doch, dem Mattias ist diese Definition durchaus gängig. Deshalb schrieb er ja auch: „Per Defition sind die rationalen Zahlen die gebrochenen und ihre Gegenzahlen.“ (Hervorhebung von mir)

                      So ist es.

                      Wohl die einzige ernstzunehmende Quelle.

                      "Alle ganzen und gebrochenen Zahlen, die positiven und negativen sowie die Null, werden rationale Zahlen genannt."

                      Liest sich so, als meinten die mit „gebrochenen Zahlen“ nicht-ganze Zahlen (teilerfremde Brüche mit Nenner ungleich 1), sonst ergibt der Satz wenig Sinn. Und „die positiven und negativen“ kann man dann so verstehen, wie es Matthias sagte: dass man den Brüchen auch ein negatives Vorzeichen geben kann.

                      +1

                      Vom Zahlenbereich der gebrochenen Zahlen zu sprechen ist wohl nicht so verbreitet – was sich auch darin zeigt, dass er entgegen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und ℂ kein eigenes Symbol hat.

                      Leider sehe ich auf meinem Android die Symbole nicht, aber es werden schon die richtigen sein.

                      Verbreitet ist Q+. Früher, zu meiner Schulzeit in der DDR stand Q für die gebrochenen Zahlen, R für die rationalen und P für die reellen.

                      Man kommt durch Zahlenbereichserweiterung zwecks uneingeschränkter Ausführbarkeit der Subtraktion von den natürlichen Zahlen zu den ganzen. Von denen dann zwecks uneingeschränkter Ausführbarkeit der Division zu den rationalen.

                      Oder andersrum: Man kommt durch Zahlenbereichserweiterung zwecks uneingeschränkter Ausführbarkeit der Division von den natürlichen Zahlen zu den gebrochenen. Von denen dann zwecks uneingeschränkter Ausführbarkeit der Subtraktion zu den rationalen.

                      +1

                      Bis demnächst
                      Matthias

                      --
                      Signaturen sind bloed (Steel) und Markdown ist mächtig.
                      1. @@Matthias Apsel

                        Vom Zahlenbereich der gebrochenen Zahlen zu sprechen ist wohl nicht so verbreitet – was sich auch darin zeigt, dass er entgegen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und ℂ kein eigenes Symbol hat.

                        Leider sehe ich auf meinem Android die Symbole nicht, aber es werden schon die richtigen sein.

                        In der im Forum verwendeten Calibri, die bei mir auch für .posting-content verwendet wird (ich will Postings ja vernünftig lesen können, also nicht in dicktengleicher Schrift), scheint es Glyphen für ℚ und ℂ, aber (zumidest auf OS X) keine für ℕ, ℤ und ℝ zu geben. Letztere sehen anders (kleiner, Serifen) aus; sie sind in Apple Symbols gesetzt.

                        Früher, zu meiner Schulzeit in der DDR stand Q für die gebrochenen Zahlen, R für die rationalen und P für die reellen.

                        Wobei das kein P war, sondern ein Ρ.[1] ;-)

                        LLAP 🖖

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                        1. Rho wie reell.[2] ↩︎

                        2. Schade, dass es dieses [rot13] im neuen Forum nicht mehr gibt. Oder gibt’s das noch? ↩︎

                        1. Hallo Gunnar Bittersmann,

                          Vom Zahlenbereich der gebrochenen Zahlen zu sprechen ist wohl nicht so verbreitet – was sich auch darin zeigt, dass er entgegen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und ℂ kein eigenes Symbol hat.

                          Leider sehe ich auf meinem Android die Symbole nicht, aber es werden schon die richtigen sein.

                          Stimmt sind die richtigen.

                          In der im Forum verwendeten Calibri, die bei mir auch für .posting-content verwendet wird

                          bei mir auch.

                          (ich will Postings ja vernünftig lesen können, also nicht in dicktengleicher Schrift), scheint es Glyphen für ℚ und ℂ, aber (zumidest auf OS X) keine für ℕ, ℤ und ℝ zu geben. Letztere sehen anders (kleiner, Serifen) aus; sie sind in Apple Symbols gesetzt.

                          Der Chrome auf Android zeigt mir bei Calibri nur Lücken, im Antwort-Textfeld Rechtecke.

                          Früher, zu meiner Schulzeit in der DDR stand Q für die gebrochenen Zahlen, R für die rationalen und P für die reellen.

                          Wobei das kein P war, sondern ein Ρ.[^1] ;-)

                          In der Tat. Wobei ich diese Erkenntnis erst nach meiner Schulzeit hatte. Mein Mathelehrer sprach von P.

                          [^1]: Rho wie reell.[^2]

                          [^2]: Schade, dass es dieses [rot13] im neuen Forum nicht mehr gibt. Oder gibt’s das noch?

                          Das verstehe ich nicht.

                          Bis demnächst
                          Matthias

                          --
                          Signaturen sind bloed (Steel) und Markdown ist mächtig.
                          1. @@Matthias Apsel

                            [^2]: Schade, dass es dieses [rot13] im neuen Forum nicht mehr gibt. Oder gibt’s das noch?

                            Das verstehe ich nicht.

                            Im alten Forum konnte man Text ROT13-verschlüsseln: [rot13]verschlüsselter Text[/rot13] wurde angezeigt als irefpuyüffrygre Grkg. Clickte man da drauf, erschien er unverschlüsselt.

                            So konnte man den Leser bspw. nach einer Frage kurz innehalten und nachdenken lassen, aber dennoch die Auflösung im selben Posting mitschicken. Nette Spielerei, u.U. aber durchaus anwendbar.

                            Nochmal die Frage an @Christian Kruse: Gibt’s ROT13 im CForum 4 noch?

                            LLAP 🖖

                            --
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                            1. Hallo Gunnar,

                              Nochmal die Frage an @Christian Kruse: Gibt’s ROT13 im CForum 4 noch?

                              Nein. (Offensichtlich)

                              LG,
                              CK

                            2. Hallo,

                              Im alten Forum konnte man Text ROT13-verschlüsseln: [rot13]verschlüsselter Text[/rot13] wurde angezeigt als irefpuyüffrygre Grkg. Clickte man da drauf, erschien er unverschlüsselt.

                              Ich kann mich nicht erinnern, sowas im alten Forum erlebt zu haben, gibts dafür im Archiv einen Nachweis, oder verwechselt du das vielleicht mit einem anderen Forum?

                              Gruß
                              Kalk

                              1. Hallo

                                Im alten Forum konnte man Text ROT13-verschlüsseln: [rot13]verschlüsselter Text[/rot13] wurde angezeigt als irefpuyüffrygre Grkg. Clickte man da drauf, erschien er unverschlüsselt.

                                Ich kann mich nicht erinnern, sowas im alten Forum erlebt zu haben, …

                                Doch doch, das gab's. Es wurde aber selten benutzt.

                                … gibts dafür im Archiv einen Nachweis, oder verwechselt du das vielleicht mit einem anderen Forum?

                                Hier, ein Beispiel aus dem März 2005 von MudGuard. Die BB-Codes funktionieren natürlich nicht mehr.

                                [edit]Nachtrag: Thread mit Erklärung[/edit]

                                Tschö, Auge

                                --
                                Es schimmerte ein Licht am Ende des Tunnels und es stammte von einem Flammenwerfer.
                                Terry Pratchett, „Gevatter Tod“
                              2. @@Tabellenkalk

                                Ich kann mich nicht erinnern, sowas im alten Forum erlebt zu haben

                                Ich schon.

                                LLAP 🖖

                                --
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                                1. Aloha ;)

                                  Ich kann mich nicht erinnern, sowas im alten Forum erlebt zu haben

                                  Ich schon.

                                  0 Suchergebnisse bei mir. Bug oder falsch verlinkt?

                                  Grüße,

                                  RIDER

                                  --
                                  Camping_RIDER a.k.a. Riders Flame a.k.a. Janosch Zoller Erreichbar manchmal im Self-TS (ts.selfhtml.org) oder sonst - wenn online - auf dem eigenen TeamSpeak-Server (fritz.campingrider.de) oder unter: # Facebook # Twitter # Steam # YouTube # Self-Wiki # ch:? rl:| br:> n4:? ie:% mo:| va:) js:) de:> zu:) fl:( ss:| ls:[
                                  1. @@Camping_RIDER

                                    Ich schon.

                                    0 Suchergebnisse bei mir. Bug oder falsch verlinkt?

                                    Neuer Versuch.

                                    URI: https://forum.selfhtml.org/search?utf8=%E2%9C%93&term=author%3Agunnar+[rot13]&sections[]=1&start_date[day]=1&start_date[month]=1&start_date[year]=1998&stop_date[day]=25&stop_date[month]=9&stop_date[year]=2015&order=document_created#results

                                    LLAP 🖖

                                    --
                                    Ist diese Antwort anstößig? Dann könnte sie nützlich sein.
                                    1. Hallo Gunnar,

                                      Neuer Versuch.

                                      Spielt dir da ein TextExpander oder so mit rein? Ich konnte das problemlos rein editieren. In deinem Link war das &sections durch ein § ersetzt worden (§). Und nein, das Forum hat das nicht getan ;)

                                      LG,
                                      CK

                                      1. @@Christian Kruse

                                        Spielt dir da ein TextExpander oder so mit rein? Ich konnte das problemlos rein editieren. In deinem Link war das &sections durch ein § ersetzt worden (§). Und nein, das Forum hat das nicht getan ;)

                                        Macht das der Browser schon? Noch ein Firefox-Bug heute Morgen? <ins>Neben diesem.</ins>

                                        LLAP 🖖

                                        --
                                        Ist diese Antwort anstößig? Dann könnte sie nützlich sein.
                                        1. Hallo Gunnar,

                                          Macht das der Browser schon? Noch ein Firefox-Bug heute Morgen?

                                          Hm. Test (mit Firefox, OS X)

                                          Edit: Nein, scheinbar nicht.

                                          LG,
                                          CK

                                    2. @@Gunnar Bittersmann

                                      0 Suchergebnisse bei mir. Bug oder falsch verlinkt?

                                      Bug.

                                      Neuer Versuch.

                                      URI: https://forum.selfhtml.org/search?utf8=%E2%9C%93&term=author%3Agunnar+[rot13]&sections[]=1&start_date[day]=1&start_date[month]=1&start_date[year]=1998&stop_date[day]=25&stop_date[month]=9&stop_date[year]=2015&order=document_created#results

                                      Die & werden wohl nicht richtig escapet, so dass aus &sect eben § wird.

                                      Und wer auch immer dachte, es sei ein kluge Idee, das HTML-Sonderzeichen & als Trennzeichen in URIs zu verwenden, gehört … was auch immer. Jedenfalls gehört es gesagt, dass das keine so kluge Idee war.

                                      LLAP 🖖

                                      --
                                      Ist diese Antwort anstößig? Dann könnte sie nützlich sein.
                                      1. Hallo Gunnar,

                                        0 Suchergebnisse bei mir. Bug oder falsch verlinkt?

                                        Bug.

                                        Ich denke nicht, dass das auf Forums-Seite kaputt ist, sorry.

                                        Und wer auch immer dachte, es sei ein kluge Idee, das HTML-Sonderzeichen & als Trennzeichen in URIs zu verwenden, gehört … was auch immer. Jedenfalls gehört es gesagt, dass das keine so kluge Idee war.

                                        ACK.

                                        LG,
                                        CK

                      2. Hallo Matthias Apsel,

                        Verbreitet ist Q+. Früher, zu meiner Schulzeit in der DDR stand Q für die gebrochenen Zahlen, R für die rationalen und P für die reellen.

                        Ich muss mich teilweise revidieren:

                        Die Zahlbereiche hießen N, G, R*, R und P. (Wissensspeicher Mathematik) Wobei sich das auch geändert hatte, in der Mathebibel der DDR (kleine Enzyklopädie) ist schon anders. Da hab ich gestern nachgeschaut, aber leider jetzt keine zur Hand. Und bevor ich was falsches schreibe …

                        Bis demnächst
                        Matthias

                        --
                        Signaturen sind bloed (Steel) und Markdown ist mächtig.
                        1. Hallo Matthias Apsel,

                          Die Zahlbereiche hießen N, G, R*, R und P. (Wissensspeicher Mathematik) Wobei sich das auch geändert hatte, in der Mathebibel der DDR (kleine Enzyklopädie) ist schon anders. Da hab ich gestern nachgeschaut, aber leider jetzt keine zur Hand. Und bevor ich was falsches schreibe …

                          In der letzten Lehrbuchauflage bzw. in den dazugehörenden Unterrichtshilfen von 1989 hießen die reellen Zahlen R. @Gunnar Bittersmann

                          Bis demnächst
                          Matthias

                          --
                          Signaturen sind bloed (Steel) und Markdown ist mächtig.
                          1. @@Matthias Apsel

                            In der letzten Lehrbuchauflage bzw. in den dazugehörenden Unterrichtshilfen von 1989 hießen die reellen Zahlen R.

                            R oder ℝ?

                            1989 hat die DDR wohl eine Wende vollzogen?

                            LLAP 🖖

                            --
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                            1. Hallo Gunnar Bittersmann,

                              R oder ℝ?

                              Einfach R, kursiv geschrieben. In meinem Mathebuch von 1983 heißt es ‚Die Menge der reellen Zahlen bezeichnen wir mit „P“.‘ keine Erläuterung, dass es ein Rho wäre.

                              Bis demnächst
                              Matthias

                              --
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                              1. Hallo Matthias Apsel,

                                Auch spannend:

                                Beachten Sie! Die relle Zahl $$0,\overline{3}$$ ist begrifflich etwas ganz anderes als die rationale bzw. gebrochene Zahl $$0,\overline{3}$$. Die relle Zahl $$0,\overline{3}$$ ist eine Folge von natürlichen Zahlen, nämlich diejenige, die die Lage des rationalen Punktes $$\frac{1}{3}$$ beschreibt. Die gebrochene Zahl $$0,\overline{3}$$ war eingeführt worden als eine Klasse von Brüchen, nämlich als diejenige Klasse, in der alle Brüche liegen, die man durch Erweitern von $$\frac{1}{3}$$ erhält. Bei der geometrischen Deutung (Veranschaulichung auf der Zahlengeraden erhält man in beiden Fällen den gleichen Punkt.‘

                                Vielen Schülern war das herzlich egal. //@Gunnar Bittersmann

                                Bis demnächst
                                Matthias

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                                1. @@Matthias Apsel

                                  Beachten Sie! Die relle Zahl $$0,\overline{3}$$ ist begrifflich etwas ganz anderes als die rationale bzw. gebrochene Zahl $$0,\overline{3}$$. […]
                                  Vielen Schülern war das herzlich egal.

                                  Ja, mir.

                                  Wie kann denn, wo doch ℚ ⊂ ℝ ist, ⅓ ∈ ℚ etwas ganz anderes sein als ⅓ ∈ ℝ?

                                  Ach so „begrifflich“.

                                  Nun, ich begreife ⅓ als eine Zahl. Diese Zahl hat die Eigenschaft, reell zu sein, und auch die, sogar rational zu sein. Wie „rational“ und „reell“ irgendwas mal eingeführt wurden, ist mir an der Stelle egal.

                                  LLAP 🖖

                                  --
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                    2. Aloha ;)

                      Zumindest ist offenbar weder mir, noch @Matthias Apsel, noch @Der Martin diese Definition "gängig".

                      Doch, dem Mattias ist diese Definition durchaus gängig. Deshalb schrieb er ja auch: „Per Defition sind die rationalen Zahlen die gebrochenen und ihre Gegenzahlen.“ (Hervorhebung von mir)

                      ℚ = ℚ* ∪ {−x: x ∈ ℚ*}

                      ACK, hatte diesen Halbsatz überlesen.

                      Wohl die einzige ernstzunehmende Quelle.

                      "Alle ganzen und gebrochenen Zahlen, die positiven und negativen sowie die Null, werden rationale Zahlen genannt."

                      Liest sich so, als meinten die mit „gebrochenen Zahlen“ nicht-ganze Zahlen (teilerfremde Brüche mit Nenner ungleich 1), sonst ergibt der Satz wenig Sinn. Und „die positiven und negativen“ kann man dann so verstehen, wie es Matthias sagte: dass man den Brüchen auch ein negatives Vorzeichen geben kann.

                      Mit deinem ersten Satz stimme ich überein. Der zweite ist wohl Interpretationssache - ich gebe dir aber insofern recht, dass deine Lesart genauso berechtigt ist wie meine.

                      Man kommt durch Zahlenbereichserweiterung zwecks uneingeschränkter Ausführbarkeit der Subtraktion von den natürlichen Zahlen zu den ganzen. Von denen dann zwecks uneingeschränkter Ausführbarkeit der Division zu den rationalen.

                      Diese Richtung wäre mein Ansatz - und auch der mathematisch sinnvolle, da Q damit eine isomorphe Körpererweiterung des Rings Z ist, genau wie Z eine isomorphe Erweiterung des Halbrings N ist, R eine isomorphe Erweiterung von Q ist und C eine isomorphe Erweiterung von R ist. Während...

                      Oder andersrum: Man kommt durch Zahlenbereichserweiterung zwecks uneingeschränkter Ausführbarkeit der Division von den natürlichen Zahlen zu den gebrochenen. Von denen dann zwecks uneingeschränkter Ausführbarkeit der Subtraktion zu den rationalen.

                      ...dieser Weg zwar genauso funktioniert, die ganzen Zahlen aber nicht berücksichtigt und "unterwegs" schwächere mathematische Strukturen aufweist ;)

                      Aber summa summarum: Im Sinne des Artikels ist in jedem Fall "gebrochene Zahl" die richtige Bezeichnung für das Gemeinte, unabhängig davon, ob damit jetzt Q oder Q+ gemeint ist - was sich wohl, mangels Popularität der Bezeichnung "gebrochene Zahl" in mathematisch relevanten Schriften, kaum verifizieren lässt. Diese Diskussion ist halt in dem Ziel, einen eindeutigen Konsens herzustellen, ebenso zum Scheitern verdammt wie die über N, N+ und N0 ;)

                      Grüße,

                      RIDER

                      --
                      Camping_RIDER a.k.a. Riders Flame a.k.a. Janosch Zoller Erreichbar manchmal im Self-TS (ts.selfhtml.org) oder sonst - wenn online - auf dem eigenen TeamSpeak-Server (fritz.campingrider.de) oder unter: # Facebook # Twitter # Steam # YouTube # Self-Wiki # ch:? rl:| br:> n4:? ie:% mo:| va:) js:) de:> zu:) fl:( ss:| ls:[
          2. Hi,

            Sorry, wegen später Rückmeldung, war im Urlaub ...

            Gebrochen ist für mich eine rationale Zahl (läßt sich gebrochen, als Bruch, darstellen).

            Hier wäre m.E. 'reelle Zahl' das Richtige.

            [...]

            Zudem sind dann auch die irrationalen Zahlen dabei. Die sind allerdings ohnehin von vornherein ausgeschlossen.

            Summa summarum ist imho der Begriff "gebrochene Zahl" inklusive Hinweiskasten zur Intention der Bedeutung die beste Lösung.

            Du schreibst im Artikel:

            In den Texten dieses Artikels kommt häufig die Bezeichnung gebrochene Zahl vor. Gemeint ist damit die Art von Zahlendarstellung, die wir normal - im Dezimalsystem - als Dezimalzahl oder Dezimalbruch bezeichnen, also eine Zahl mit Komma in der Darstellung.

            Hier setzt Du "gebrochene Zahl" mit "Zahl mit Komma in der Darstellung" gleich.

            Und genau das stimmt nicht. 3,14159265358979323846... oder 2,71828... oder ... enthalten in der (deutschen) Darstellung ein Komma, sind aber eben keine gebrochenen Zahlen.

            Abgesehen davon finde ich, daß es nicht wirklich sinnvoll ist, die Zahlen, die auf jeden Fall zu einer Rechenungenauigkeit führen, weil sie in egal welcher Speicherform niemals exakt angegeben werden können, von der Betrachtung der Rechenungenauigkeitsprobleme auszunehmen.

            cu,
            Andreas a/k/a MudGuard

            1. Hallo,

              Hier setzt Du "gebrochene Zahl" mit "Zahl mit Komma in der Darstellung" gleich.

              Und genau das stimmt nicht. 3,14159265358979323846... oder 2,71828... oder ... enthalten in der (deutschen) Darstellung ein Komma, sind aber eben keine gebrochenen Zahlen.

              doch, sind sie. Man sollte sich IMO nicht allzu streng an der mathematischen Definition festhalten, dass eine "gebrochene Zahl" durch einen Bruch darstellbar ist, sondern vielmehr daran denken, dass diese Zahlen zusätzlich zum ganzzahligen Anteil einen Bruchteil von 1 enthalten, egal ob dieser Bruchteil rational oder reell ist.

              Übrigens wurde in meiner Schulzeit der Begriff der gebrochenen Zahlen auch schon so aufgefasst - als nicht ganzzahlig.

              Abgesehen davon finde ich, daß es nicht wirklich sinnvoll ist, die Zahlen, die auf jeden Fall zu einer Rechenungenauigkeit führen, weil sie in egal welcher Speicherform niemals exakt angegeben werden können, von der Betrachtung der Rechenungenauigkeitsprobleme auszunehmen.

              Eben drum.

              So long,
               Martin

              1. @@Der Martin

                Übrigens wurde in meiner Schulzeit der Begriff der gebrochenen Zahlen auch schon so aufgefasst - als nicht ganzzahlig.

                Falsche Schule. 😈

                LLAP 🖖

                --
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                1. Hallo Gunnar Bittersmann,

                  Übrigens wurde in meiner Schulzeit der Begriff der gebrochenen Zahlen auch schon so aufgefasst - als nicht ganzzahlig.

                  Falsche Schule. 😈

                  Ich hab übrigens in dem Zusammenhang mal in alten (ca. 1920) Mathebüchern geschmökert, da ist von absoluten und relativen Zahlen die Rede.

                  Bis demnächst
                  Matthias

                  --
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                2. Aloha ;)

                  Übrigens wurde in meiner Schulzeit der Begriff der gebrochenen Zahlen auch schon so aufgefasst - als nicht ganzzahlig.

                  Falsche Schule. 😈

                  Naja. Die Definition gebrochener Zahlen wie von dir und @Matthias Apsel angeführt ist aber auch durchaus inkonsequent bzw. teils unsinnvoll (unabhängig davon, dass sie in eurer Schulzeit tatsächlich so aufgetaucht ist / nach wie vor auftaucht).

                  Wenn gebrochene Zahlen positiv und negativ sind, kann man durch Voranstellen von positiv bzw. negativ ganz einfach differenzieren und hat für alle Möglichkeiten der Differenzierung einfache Namen.

                  Wenn sie nur positiv sind kommt man ins Schwimmen, wenn man die negativen Zahlen mit Bruchanteil benennen will - dann muss man zu umständlichen Formulierungen wie "(additive) Gegenzahlen gebrochener Zahlen" greifen - denn negative gebrochene Zahlen sind dann gar nicht definiert. Dann muss man doch wieder zu "negative rationale Zahlen" greifen, hat dann aber wieder keinen einfach verständlichen Begriff und direkt wieder die negativen ganzen Zahlen drin.

                  Unabhängig von den tatsächlich gängigen Definitionen ist mMn die einzige Definition, die einen begrifflich tatsächlich weiterbringt

                  $$ { gebrochene\ Zahlen} = \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} $$

                  Denn nur dann erreicht man mit dieser Bezeichnung, dass es geschickt ist, eine solche Begrifflichkeit zu haben. Ansonsten ist man mit der Bezeichnung "rationale Zahl" (z.B. über "nicht-ganze rationale Zahl") eigentlich immer besser bedient.

                  Grüße,

                  RIDER

                  --
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                  1. Hallo Camping_RIDER,

                    Naja. Die Definition gebrochener Zahlen wie von dir und @Matthias Apsel angeführt ist aber auch durchaus inkonsequent bzw. teils unsinnvoll (unabhängig davon, dass sie in eurer Schulzeit tatsächlich so aufgetaucht ist / nach wie vor auftaucht).

                    Nein, sehr sinnvoll. Weil sie den von Gunnar schon beschriebenen Weg der Zahlbereichserweiterungen geht.

                    Unabhängig von den tatsächlich gängigen Definitionen ist mMn die einzige Definition, die einen begrifflich tatsächlich weiterbringt

                    $$ { gebrochene\ Zahlen} = \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} $$

                    Denn nur dann erreicht man mit dieser Bezeichnung, dass es geschickt ist, eine solche Begrifflichkeit zu haben. Ansonsten ist man mit der Bezeichnung "rationale Zahl" (z.B. über "nicht-ganze rationale Zahl") eigentlich immer besser bedient.

                    Die hat dann aber gar nichts mehr mit den Zahlbereichen zu tun.

                    siehe

                    Bis demnächst
                    Matthias

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                    1. Aloha ;)

                      Naja. Die Definition gebrochener Zahlen wie von dir und @Matthias Apsel angeführt ist aber auch durchaus inkonsequent bzw. teils unsinnvoll (unabhängig davon, dass sie in eurer Schulzeit tatsächlich so aufgetaucht ist / nach wie vor auftaucht). Nein, sehr sinnvoll. Weil sie den von Gunnar schon beschriebenen Weg der Zahlbereichserweiterungen geht.

                      Nein, nicht zwangsläufig. Genau genommen hat Gunnar zwei Wege genannt, wie man Zahlbereichserweiterung erhalten kann - einen, der von den natürlichen über die Ganzen zu den rationalen Zahlen geht und einen, der von den natürlichen über die gebrochenen zu den rationalen Zahlen geht (und die ganzen Zahlen dabei miterschlägt). Dass und warum ich den ersten mathematisch sinnvoller halte als den zweiten (da der erste über bedeutungsvollere mathematische Strukturen verfügt) habe ich schon erklärt, und die gebrochenen Zahlen sind in der genannten Definition nur für den zweiten - in meinen Augen weniger aussagekräftigen/relevanten - Weg nötig.

                      Grüße,

                      RIDER

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                  2. @@Camping_RIDER

                    Dann muss man doch wieder zu "negative rationale Zahlen" greifen

                    Genau der griffige Begriff. No pun intended.

                    hat dann aber wieder keinen einfach verständlichen Begriff

                    Nicht? Was ist daran unverständlich?

                    und direkt wieder die negativen ganzen Zahlen drin.

                    ??

                    $$ { gebrochene\ Zahlen} = \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} $$

                    Nee nee. Analog zu den irrationalen Zahlen ℝ ∖ ℚ würde man ℚ ∖ ℤ irintegre Zahlen nennen.

                    LLAP 🖖

                    --
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                    1. Aloha ;)

                      Nee nee. Analog zu den irrationalen Zahlen ℝ ∖ ℚ würde man ℚ ∖ ℤ irintegre Zahlen nennen.

                      Ja, mit irintegre Zahlen (oder einfach gleich nicht-ganze) wäre ich auch einverstanden. Nur ist das wieder nicht griffig ;)

                      Grüße,

                      RIDER

                      --
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                    2. Hi,

                      Nee nee. Analog zu den irrationalen Zahlen ℝ ∖ ℚ würde man ℚ ∖ ℤ irintegre Zahlen nennen.

                      Nein. Wenn, dann "inintegre". Die Verneinung ist das "in" (z.B. "kontinent" <--> "inkontinent" [1]).

                      Nur vor bestimmten Konsonanten wie z.B. r wird das n durch ebendiesen Konsonanten ersetzt.

                      cu,
                      Andreas a/k/a MudGuard


                      1. aber nicht "telligent" <--> "intelligent" ;-) ↩︎

                      1. @@MudGuard

                        Nee nee. Analog zu den irrationalen Zahlen ℝ ∖ ℚ würde man ℚ ∖ ℤ irintegre Zahlen nennen.

                        Nein. Wenn, dann "inintegre". Die Verneinung ist das "in" (z.B. "kontinent" <--> "inkontinent" [^1]).

                        Das wäre aber doppelte Verneinung. Dann könnte man sie auch tegre Zahlen nennen.

                        LLAP 🖖

                        --
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                        1. Hi,

                          Nein. Wenn, dann "inintegre". Die Verneinung ist das "in" (z.B. "kontinent" <--> "inkontinent" [^1]).

                          Das wäre aber doppelte Verneinung. Dann könnte man sie auch tegre Zahlen nennen.

                          Nein, denn nicht jedes Vorkommen der Silbe "in" ist eine Verneinung (das Gegenstück zu "international" ist z.B. "national", nicht "ternational"; "innovation" ist nicht das Gegenteil von "novation" usw.)

                          cu,
                          Andreas a/k/a MudGuard

                          1. Aloha ;)

                            Nein. Wenn, dann "inintegre". Die Verneinung ist das "in" (z.B. "kontinent" <--> "inkontinent" [^1]).

                            Das wäre aber doppelte Verneinung. Dann könnte man sie auch tegre Zahlen nennen.

                            Nein, denn nicht jedes Vorkommen der Silbe "in" ist eine Verneinung (das Gegenstück zu "international" ist z.B. "national", nicht "ternational"; "innovation" ist nicht das Gegenteil von "novation" usw.)

                            Im Fall von "integer" ist es aber eine Verneinung. Lat. "tangere" - berühren, "integer" - unberührt, unangetastet, ganz. Insofern sind nicht-ganze Zahlen etymologisch tatsächlich "tegre Zahlen".

                            Grüße,

                            RIDER

                            --
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            2. Aloha ;)

              Zusätzlich zu Martins Anmerkungen...

              Abgesehen davon finde ich, daß es nicht wirklich sinnvoll ist, die Zahlen, die auf jeden Fall zu einer Rechenungenauigkeit führen, weil sie in egal welcher Speicherform niemals exakt angegeben werden können, von der Betrachtung der Rechenungenauigkeitsprobleme auszunehmen.

              Das ist aber genau das, um was es im darauffolgenden Abschnitt (also im Rest des Kapitels, nach den Einleitungssätzen) geht - ich zitiere die Einleitungssätze (Hervorhebung geändert):

              Das Konzept nicht exakt darstellbarer Zahlen ist uns eigentlich schon aus der Schulmathematik wohlbekannt und kommt immer dann zum Tragen, wenn man über den Bereich der ganzen Zahlen hinausgeht. Man denke beispielsweise an irrationale Zahlen - es gibt keine Möglichkeit, √2 mit einer Dezimalzahl exakt darzustellen.

              Und während das Beispiel der irrationalen Zahlen nicht nur das Dezimalsystem betrifft, in dem wir Menschen gewöhnlich rechnen und denken, sondern Zahlensysteme jeder Basis, so gibt es auch rationale Zahlen, die in manchen Zahlensystemen mit endlich vielen Ziffern exakt darstellbar sind und in anderen nicht - wir sagen dann in letzterem Fall, dass solche Zahlen eine periodische Darstellung besitzen.

              Erst nach dieser Stelle, also schon nachdem ich ausdrücklich erwähnt habe, dass es auch die irrationalen (bzw. genauer die transzendenten) Zahlen gibt, die in keinem Zahlensystem darstellbar sind, benutze ich den Ausdruck "gebrochene Zahlen" - denn der gesamte Rest des Abschnitts dreht sich auch nur noch um Zahlen, die eben nicht irrational sind, und dass (bzw. wann) auch diese nicht exakt darstellbar sind.

              Ich nehme also die irrationalen Zahlen an dieser Stelle nicht aus (das wäre, wie du richtig sagst, nicht sinnvoll), sondern handle sie nur recht zügig ab und behandle im Rest des Abschnitts (nach dem von dir zitierten Hinweiskasten) dann nur noch die übrigen rationalen Zahlen - denn während das Konzept, dass eine irrationale Zahl nicht genau mit endlich vielen Ziffern darstellbar ist, jedem Leser mit mathematischer Schulbildung klar sein dürfte, ist es das Konzept, dass 0,1 binär eben nicht endlich darstellbar ist, welches tatsächlich erklärungsbedürftig ist und dementsprechend bevorzugt behandelt wird.

              Grüße,

              RIDER

              --
              Camping_RIDER a.k.a. Riders Flame a.k.a. Janosch Zoller Erreichbar manchmal im Self-TS (ts.selfhtml.org) oder sonst - wenn online - auf dem eigenen TeamSpeak-Server (fritz.campingrider.de) oder unter: # Facebook # Twitter # Steam # YouTube # Self-Wiki # ch:? rl:| br:> n4:? ie:% mo:| va:) js:) de:> zu:) fl:( ss:| ls:[
              1. Hallo Camping_RIDER,

                man könnte an dieser Stelle die Computer-Algebra-Systeme erwähnen, die können nämlich mit exakten Zahlen „rechnen“. Wie das unter der Haube umgesetzt ist, ist eine ganz andere Frage.

                Bis demnächst
                Matthias

                --
                Signaturen sind bloed (Steel) und Markdown ist mächtig.
                1. Aloha ;)

                  man könnte an dieser Stelle die Computer-Algebra-Systeme erwähnen, die können nämlich mit exakten Zahlen „rechnen“. Wie das unter der Haube umgesetzt ist, ist eine ganz andere Frage.

                  Done. Danke für die Anregung.

                  Grüße,

                  RIDER

                  --
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  2. Hallo,

    Ich habe mein Erstlingswerk zur Rechnerarithmetik fertiggestellt - zumindest soweit wir nennenswerte Effekte zusammengetragen hatten.

    gefällt mir schon sehr gut - sowohl die beschriebenen Effekte, als auch die Erklärungen.

    Erwähnt und erklärt sind die Effekte, die zu Rundungsfehlern durch die Speicherung von Binärzahlen führen, sowie die numerische Auslöschung. Weitere hinreichend wichtigen Effekte kamen mir nicht mehr in den Kopf, bzw. habe ich auch nach einer Suche jetzt auf die Schnelle keinen wichtigen Effekt gefunden, der dringend erwähnt werden muss.

    Ich wüsste da noch einen: Die Addition (oder Subtraktion) von zwei Zahlen deutlich verschiedener Größenordnungen, selbst wenn es sich nicht um gebrochene Zahlen handelt. So ist beispielsweise bei float (32bit):

    1E+07 + 1 == 1E+07

    Das kommt daher, dass die Anzahl der signifikanten Stellen bei 1E+07 nicht mehr ausreicht, um die Einer-Stelle überhaupt noch mit zu betrachten. Anders erklärt: Für die Addition werden zunächst beide Zahlen auf den gleichen (den größeren) Exponenten normalisiert, und dabei wird die 1 zu 0.

    Beim double-Format mit 64bit (52bit Mantisse) schlägt dieser Effekt erst bei etwa 1E+15 zu 1 zu, aber es gibt ihn natürlich ebenso.

    So long,
     Martin

    1. Aloha ;)

      Ich wüsste da noch einen: Die Addition (oder Subtraktion) von zwei Zahlen deutlich verschiedener Größenordnungen, selbst wenn es sich nicht um gebrochene Zahlen handelt. So ist beispielsweise bei float (32bit):

      1E+07 + 1 == 1E+07

      Das kommt daher, dass die Anzahl der signifikanten Stellen bei 1E+07 nicht mehr ausreicht, um die Einer-Stelle überhaupt noch mit zu betrachten. Anders erklärt: Für die Addition werden zunächst beide Zahlen auf den gleichen (den größeren) Exponenten normalisiert, und dabei wird die 1 zu 0.

      Beim double-Format mit 64bit (52bit Mantisse) schlägt dieser Effekt erst bei etwa 1E+15 zu 1 zu, aber es gibt ihn natürlich ebenso.

      Okay, danke - nehme ich dann nachher gleich auf!

      Grüße,

      RIDER

      --
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    2. Hallo,

      1E+07 + 1 == 1E+07

      noch "seltsamer" wird es bei ganzen Zahlen, da ist größte Zahl + 1 == kleinste Zahl.

      Gruß Jürgen

      1. Aloha ;)

        1E+07 + 1 == 1E+07

        noch "seltsamer" wird es bei ganzen Zahlen, da ist größte Zahl + 1 == kleinste Zahl.

        Ja, arithmetischer Überlauf... War mir nicht sicher, ob das erwähnungswürdig ist. Ich mach mir mal Gedanken. - Wenn, dann muss der arithmetische Unterlauf aber auch behandelt werden.

        Okay - ich machs :P

        Grüße,

        RIDER

        --
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        1. Hallo,

          Ja, arithmetischer Überlauf...

          der tritt natürlich nur bei "echeten" Integerzahlen auf. Also im Webumfeld bzw. bei Javascript nicht von Bedeutung. Er sollte aber trotzdem zumindestens erwähnt werden, da er zu nicht erwarteten Ergebnissen führen kann und eben keinen Overflow-Error wirft.

          Gruß Jürgen

          1. Hallo JürgenB,

            Ja, arithmetischer Überlauf...

            der tritt natürlich nur bei "echeten" Integerzahlen auf. Also im Webumfeld bzw. bei Javascript nicht von Bedeutung.

            Äh, doch:

            var max = Number.MAX_VALUE;
            var x = max + 10;
            
            var min = Number.MIN_VALUE;
            var y = min - 10;
            
            console.log(x, x == max, y, y == min);
            

            Und ja, das Verhalten ist… merkwürdig.

            LG,
            CK

            1. Hallo Christian Kruse,

              var max = Number.MAX_VALUE;
              var x = max + 10;
              
              var min = Number.MIN_VALUE;
              var y = min - 10;
              
              console.log(x, x == max, y, y == min);
              

              Und ja, das Verhalten ist… merkwürdig.

              Den Maximum-Fall hat der Martin schon erwähnt. Da gibt es keinen Überlauf.

              max ergibt bei mir 1.7e+308, da fallen die 1e+1 nicht auf.

              min ergibt bei mir 5e-324, also fast null und mitnichten die kleinste Zahl.

              Bis demnächst
              Matthias

              --
              Signaturen sind bloed (Steel) und Markdown ist mächtig.
            2. Hallo,

              Ja, arithmetischer Überlauf...

              der tritt natürlich nur bei "echeten" Integerzahlen auf. Also im Webumfeld bzw. bei Javascript nicht von Bedeutung.

              Äh, doch:

              var max = Number.MAX_VALUE;
              var x = max + 10;
              
              var min = Number.MIN_VALUE;
              var y = min - 10;
              
              console.log(x, x == max, y, y == min);
              

              Und ja, das Verhalten ist… merkwürdig.

              das ist aber die schon weiter oben beschriebene Folge der endlichen Genauigkeit.

              Ich meine die Eigenschft (oder Eigenart) von Integerzahlen (z.B. in C, Fortran oder auch LabView), dass es bei Bereichsüberschreitung keinen Overflowerror gibt und das Carry einfach ignoriert wird.

              Gruß Jürgen

              1. Hallo JürgenB,

                das ist aber die schon weiter oben beschriebene Folge der endlichen Genauigkeit.

                Ah. Dass das bereits beschrieben wurde habe ich übersehen, danke für den Pointer.

                LG,
                CK

  3. Hallo Camping_RIDER,

    Ich habe mein Erstlingswerk zur Rechnerarithmetik fertiggestellt - zumindest soweit wir nennenswerte Effekte zusammengetragen hatten.

    toller Artikel. Finde es immer wieder super, wie man ziemlich komplizierte Dinge schön einfach beschreiben kann.

    Eine Frage, die ich mir schon häufiger gestellt habe, habe ich zu Deinem letzten Hinweis mit der 3. binomischen Formel, evtl. weißt Du was dazu: Gilt das eigentlich für jede beliebige Zahl und für jede beliebige Basis? Oder gilt das "nur" für die meisten? Ich hab bisher eigentlich immer gehört, dies gelte für alle, kann mir das aber irgendwie nicht wirklich vorstellen, immerhin verwende ich statt einer dann drei Rechenoperationen und das Quadrat z.B. nahe 1 ist auch wieder nahe 1.

    Würde mich wie gesagt nur mal interessieren, für Deinen Artikel habe ich sonst keine Anmerkungen, ich finde den gut.

    Gruß, Dennis

    1. Aloha ;)

      Eine Frage, die ich mir schon häufiger gestellt habe, habe ich zu Deinem letzten Hinweis mit der 3. binomischen Formel, evtl. weißt Du was dazu: Gilt das eigentlich für jede beliebige Zahl und für jede beliebige Basis? Oder gilt das "nur" für die meisten? Ich hab bisher eigentlich immer gehört, dies gelte für alle, kann mir das aber irgendwie nicht wirklich vorstellen, immerhin verwende ich statt einer dann drei Rechenoperationen und das Quadrat z.B. nahe 1 ist auch wieder nahe 1.

      Hm, ich verstehe die Frage nicht ganz. Grundsätzlich gilt die binomische Formel für alle reellen Zahlen. Wo du Recht hast: Bei Zahlen nahe 1 ist der Effekt, der die numerische Auslöschung minimieren soll, leider nicht ganz so gegeben (wobei auch da eine Verbesserung eintritt, nur eben keine so krasse).

      Grüße,

      RIDER

      --
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      1. Hallo Camping_RIDER,

        Hm, ich verstehe die Frage nicht ganz.

        konntest Du auch nicht, habe ich schlecht gestellt. Ich glaube mittlerweile, ich habe wohl einfach verschiedene Effekte vermischt: Die binmoische Formel hilft grundsätzlich immer bei der beschriebenen Subtraktion, nur halt mal mehr und mal weniger, z.B. nahe 1. Da hierfür aber mehr Rechenoperationen nötig sind erhöht das zumindest theoretisch die Rundungsfehler, also eine andere Baustelle. Und auch, dass Zahlen durch Quadrierung einen Überlauf verursachen können ist ein anderer Effekt.

        Gruß, Dennis

  4. Aloha ;)

    Vielen Dank an Alle für die Anregungen!

    Ich habe jetzt noch einen Abschnitt namens "Datentyp-basierte Effekte" aufgenommen, darunter

    • Fließkomma-Addition von Zahlen ungleicher Größenordnung
    • Arithmetischer Unterlauf
    • Arithmetischer Überlauf

    Desweiteren habe ich einen Hinweis zur Formulierung "gebrochene Zahl" angebracht - und diese artikelweit umgesetzt.

    @Matthias Scharwies: Ich denke, dass jetzt nichts mehr gegen eine Übernahme in den Artikelnamensraum spricht.

    Grüße,

    RIDER

    --
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  5. Hallo Camping_RIDER, hallo zusammen,

    ist es eigentlich gewünscht, dass im Wiki am Anfang eines Artikels eine Autor-Box mit Informationen zum Autor gesetzt wird?

    Ich halte das auf jeden Fall für nicht so gut, da das irgendwie "Finger weg, das hat DER oder DIE geschrieben" suggeriert und nicht unbedingt zum Mitmachen animiert, was meiner Meinung nach aber im Wiki der Fall sein sollte.

    Ich denke ins Wiki sollten grundsätzlich relativ allgemeingültige Artikel, wo der Autor - wenn überhaupt - nur eine untergeordnete Rolle spielt. Ansonsten bräuchte es aus meiner Sicht doch wieder eine Kategorie wie "Artikel", zu der Autoren Beiträge beisteuern (die dann aber auch nicht editiert werden können sollten), auch wenn das der Auflösung des Namensraums Artikel widerspräche.

    Falls die Nennung des Autors dennoch gewünscht ist, möchte ich vorschlagen, die Box an das Ende des Artikels zu verlagern. Besser fände ich stattdessen noch eine Nennung der Hauptautoren im Stil von Github oder ähnlichem, aber ebenfalls am Ende des Artikels.

    Ansonsten bin ich der Meinung, dass "echte" Artikel im Blog besser aufgehoben wären als im Wiki.

    Gruß, Dennis

    Ps Camping_RIDER: Geht mir nicht um Deinen Artikel, ist mir nur beim Lesen dieses tollen Beitrags aufgefallen.

    1. Aloha ;)

      ist es eigentlich gewünscht, dass im Wiki am Anfang eines Artikels eine Autor-Box mit Informationen zum Autor gesetzt wird?

      Ich halte das auf jeden Fall für nicht so gut, da das irgendwie "Finger weg, das hat DER oder DIE geschrieben" suggeriert und nicht unbedingt zum Mitmachen animiert, was meiner Meinung nach aber im Wiki der Fall sein sollte.

      Tatsächlich habe ich da, mit derselben Fragestellung, lange mit mir gerungen, ob ich die Autorbox setzen soll. Meine Gründe dafür waren dann letztendlich:

      • Der Artikel ist (im Gegensatz zu anderen Bereichen des Wikis) von vornherein darauf ausgelegt, nach der Online-Stellung im Prinzip fertig zu sein (in dem Sinne, dass das recht allgemeine Themengebiet mit dem Artikel schon ziemlich ausgelutscht ist) - umfassende Bearbeitungen, die den "Hauptautor"-Aspekt negieren sind da nicht zu erwarten
      • Die Autorbox ermöglicht dem Leser, direkt einen Ansprechpartner für Rückfragen zu diesem sehr speziellen Thema zu haben - direkt mit Email-Kontaktmöglichkeit (Rückfrage im Forum wäre natürlich genauso geeignet, man kann so aber direkt den Autor "erwischen", der den Thread im Forum evtl. sonst übersieht)
      • Artikel, die unter Programmiertechnik oder Anwendung und Praxis fallen, sind anders als Artikel, die unter HTML, CSS und JavaScript liegen. Erstere haben einen roten Faden und sind im Tutorial-Stil gehalten; wollen innerhalb eines Artikels didaktische eine Botschaft übermitteln. Zweitere sind mehr im Enzyklopädie-Stil gehalten und zeigen auf, wie man einzelne Elemente benutzt, ohne einen langen roten Faden aufrechtzuerhalten. Im ersteren Fall ist es unter Umständen gut und wichtig, einen Hauptautor als Hauptansprechpartner zu haben, der den roten Faden zusammenhält.

      Ansonsten ist in einem Wiki (für mich) sowieso klar, dass grundsätzlich alles bearbeitet werden kann - natürlich auch ohne Rücksprache mit dem (Haupt-)Autor; gewichtige Änderungen sollten im Sinne der Wikiquette aber ja sowieso im Forum (oder auf der Diskussionsseite) diskutiert werden. Ich denke auch, dass es völlig legitim ist, die Autorbox zu entfernen, sobald ein Artikel so stark erweitert wurde, dass man nicht mehr von einem einzelnen Autor als Ansprechpartner reden kann.

      Falls die Nennung des Autors dennoch gewünscht ist, möchte ich vorschlagen, die Box an das Ende des Artikels zu verlagern. Besser fände ich stattdessen noch eine Nennung der Hauptautoren im Stil von Github oder ähnlichem, aber ebenfalls am Ende des Artikels.

      Da hast du meine volle Unterstützung, eine Nennung der Hauptautoren am Artikelende in einem anderen Format als dem sehr Einzel-Autor-lastigen "Autorbox" fände ich auch sinnvoller und damit wären alle Gründe, wegen denen ich mich für die Autorbox entschieden habe, auch genauso erfüllt. Wie gesagt, ganz glücklich war ich mit der Autorbox auch nicht, ich habe mich eher am Usus orientiert, der in ähnlichen Artikeln (siehe Sektion "Anwendung und Praxis") zu finden war, wenn die entsprechenden Artikel stark auf einen einzelnen Autor zentriert waren - und das "Ansprechpartner für Leser"-Argument war schließlich bei mir ausschlaggebend.

      Ansonsten bin ich der Meinung, dass "echte" Artikel im Blog besser aufgehoben wären als im Wiki.

      Das kommt auf den Artikel an. Der (das?) Blog hat als Zielgruppe Interessierte, die sich schon auskennen, und informiert dann z.B. über neue Entwicklungen. Ein solcher Artikel über aktuelle Entwicklungen und "Dinge in der Schwebe" wäre im Wiki auch falsch. Ein Artikel, der sich an Anfänger richtet und Erklärungen liefert, die dem Fortgeschrittenen schon klar sind, hat mMn nichts im Blog verloren - sondern gehört ins Wiki. Natürlich sind die Grenzen dabei fließend. Ich würde aber nicht sagen, dass Artikel nicht auch ins Wiki gehören können. Insbesondere ist unser Wiki ja nicht nur eine Enzyklopädie, sondern vor allem eine (erweiterte) Dokumentation, die auch Praxisaspekte umfassen soll.

      @edit: Vielleicht wäre es eine Lösung, die Autorbox-Vorlage umzuschreiben als "Informationen zum Hauptautor" und auf ihrer Beschreibungsseite auszusagen, dass sie grundsätzlich am Ende eines Wiki-Artikels stehen soll? - die bestehenden Artikel mit Autorbox kann man dann ja entsprechend so anpassen, dass die Autorbox ans Ende gepackt wird.

      Grüße,

      RIDER

      Ps Camping_RIDER: Geht mir nicht um Deinen Artikel, ist mir nur beim Lesen dieses tollen Beitrags aufgefallen.

      P.S.: Keine Sorge, habe/hätte ich auch nicht so verstanden ;) Es geht dabei ja mehr um die Daseinsberechtigung der Autorbox an sich (die ich, wie gesagt, potenziell auch kritisch finde) als um den Artikel im Speziellen...

      --
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      1. Hallo Camping_RIDER,

        • Der Artikel ist (im Gegensatz zu anderen Bereichen des Wikis) von vornherein darauf ausgelegt, nach der Online-Stellung im Prinzip fertig zu sein (in dem Sinne, dass das recht allgemeine Themengebiet mit dem Artikel schon ziemlich ausgelutscht ist) - umfassende Bearbeitungen, die den "Hauptautor"-Aspekt negieren sind da nicht zu erwarten
        • Die Autorbox ermöglicht dem Leser, direkt einen Ansprechpartner für Rückfragen zu diesem sehr speziellen Thema zu haben - direkt mit Email-Kontaktmöglichkeit (Rückfrage im Forum wäre natürlich genauso geeignet, man kann so aber direkt den Autor "erwischen", der den Thread im Forum evtl. sonst übersieht)
        • Artikel, die unter Programmiertechnik oder Anwendung und Praxis fallen, sind anders als Artikel, die unter HTML, CSS und JavaScript liegen. Erstere haben einen roten Faden und sind im Tutorial-Stil gehalten; wollen innerhalb eines Artikels didaktische eine Botschaft übermitteln. Zweitere sind mehr im Enzyklopädie-Stil gehalten und zeigen auf, wie man einzelne Elemente benutzt, ohne einen langen roten Faden aufrechtzuerhalten. Im ersteren Fall ist es unter Umständen gut und wichtig, einen Hauptautor als Hauptansprechpartner zu haben, der den roten Faden zusammenhält.

        Ich stimme zu.

        Da hast du meine volle Unterstützung, eine Nennung der Hauptautoren am Artikelende in einem anderen Format als dem sehr Einzel-Autor-lastigen "Autorbox" fände ich auch sinnvoller und damit wären alle Gründe, wegen denen ich mich für die Autorbox entschieden habe, auch genauso erfüllt. Wie gesagt, ganz glücklich war ich mit der Autorbox auch nicht, ich habe mich eher am Usus orientiert, der in ähnlichen Artikeln (siehe Sektion "Anwendung und Praxis") zu finden war, wenn die entsprechenden Artikel stark auf einen einzelnen Autor zentriert waren - und das "Ansprechpartner für Leser"-Argument war schließlich bei mir ausschlaggebend.

        Diese Artikel stammen auch praktisch nur von einem Autor. Eine Autorennennung in den "normalen" Wikiseiten halte ich nicht für gut. Unsere Lizenzvereinbarungen machen das auch nicht nötig.

        Ansonsten bin ich der Meinung, dass "echte" Artikel im Blog besser aufgehoben wären als im Wiki.

        Das kommt auf den Artikel an. Der (das?)

        Das. Und FACK.

        @edit: Vielleicht wäre es eine Lösung, die Autorbox-Vorlage umzuschreiben als "Informationen zum Hauptautor" und auf ihrer Beschreibungsseite auszusagen, dass sie grundsätzlich am Ende eines Wiki-Artikels stehen soll? - die bestehenden Artikel mit Autorbox kann man dann ja entsprechend so anpassen, dass die Autorbox ans Ende gepackt wird.

        Nö. Wie gesagt der Ursprung war in alten Artikeln, dort stand als erstes "Über den Autor" und das soll auch so bleiben. Ob neue Artikel eine Autorennennung haben sollen, entscheidet der Einzelautor. Das kann dann aber tatsächlich nur für wirklich weiterführende Artikel gelten.

        Bis demnächst
        Matthias

        --
        Signaturen sind bloed (Steel) und Markdown ist mächtig.
    2. Hallo Der-Dennis,

      ist es eigentlich gewünscht, dass im Wiki am Anfang eines Artikels eine Autor-Box mit Informationen zum Autor gesetzt wird?

      Die Autorbox ist ursprünglich für genau einen Fall entworfen worden, nämlich zur einfachen Vorstellung auf der eigenen Benutzerseite. Als dann Artikel aus dem alten Blog (aktuell.de.selfhtml.org) in das Wiki übernommen wurden, weil sie aufgrund des fachlichen Anspruchs eher in das Wiki als in das Blog gehörten, haben wir für genau diese Artikel die Autorbox verwendet. Immer dann, wenn der Autor einer Übernahme zugestimmt hat und wir den Artikel nicht verändert haben.

      Falls die Nennung des Autors dennoch gewünscht ist, möchte ich vorschlagen, die Box an das Ende des Artikels zu verlagern. Besser fände ich stattdessen noch eine Nennung der Hauptautoren im Stil von Github oder ähnlichem, aber ebenfalls am Ende des Artikels.

      Die Autorennennung für Seiten der Dokumentation ist nicht erwünscht.

      Bis demnächst
      Matthias

      --
      Signaturen sind bloed (Steel) und Markdown ist mächtig.
  6. @@Camping_RIDER

    Ganz unten:

    Gemäß der dritten binomischen Formel …

    Das Gerede von erster, zweiter und dritter binomischer Formel ist eine „Lüge-für-Kinder“.

    Den Unsinn muss man nicht weiterverbreiten, oder? (Auch wenn das der Lehrplan zukünftig von dir in der Schule verlangen sollte.)

    a² − b² = (a − b)(a + b) ist keine binomische Formel.

    LLAP 🖖

    --
    Ist diese Antwort anstößig? Dann könnte sie nützlich sein.
    1. Aloha ;)

      Das Gerede von erster, zweiter und dritter binomischer Formel ist eine „Lüge-für-Kinder“.

      Das ist, mit Verlaub und meiner Meinung nach, vollkommener Humbug.

      Es ist unstrittig, dass die "dritte binomische Formel" ein Spezialfall "der" binomischen Formel, a.k.a. "der binomische Lehrsatz" ist. Trotzdem ist im deutschen Sprachgebrauch und auch allgemein in der deutschen Mathematik auch für diese Spezialfälle (Spezialdarstellung, wenn du so willst) des Lehrsatzes ein Name gängig, nämlich der Name "dritte binomische Formel".

      Auch der Sinn hinter einer solchen Namensgebung für eine spezielle Darstellungsart bzw. einen Spezialfall einer Formel ist vollständig klar - wenn ein Spezialfall bzw. eine spezielle Darstellungsart signifikant oft in dieser Form auftritt, möchte man einen "Spitznamen" dafür haben, um deren Anwendung einfach nachvollziehbar zu machen. - Das ist im Übrigen auch der Grund, warum die binomischen Formeln nach wie vor unter diesem Namen in der Schule gelehrt werden. Man möchte, sowohl in der Schule als auch im von mir geschriebenenen Artikel, dass der Name direkt mit einer bestimmten Darstellungsart assoziiert wird, damit gar nicht erst die Frage nach deren Legitimität gestellt werden muss.

      Nur ein kleiner Vergleich: Jeder Satz aus der Elektrizitätslehre ist ein Spezialfall der Maxwell-Gleichungen. Trotzdem ist es wissenschaftlich anerkannt und sinnvoll, auch solchen Spezialfällen eigene Namen zu vergeben - man möchte in bestimmten Fällen, wo man oft eine Spezialfall-Formel bemühen muss, nicht bei jeder Erwähnung die Legitimität aus der Ur-Formel beziehen.

      Den Unsinn muss man nicht weiterverbreiten, oder? (Auch wenn das der Lehrplan zukünftig von dir in der Schule verlangen sollte.)

      a² − b² = (a − b)(a + b) ist keine binomische Formel.

      Doch, per Definition und im Verständnis der meisten deutschsprachigen Leser. Der englische Sprachgebrauch ist in diesem Fall vollkommen irrelevant. Das Argument, dass es diese Spezialbezeichnung im englischen Sprachgebrauch nicht gibt ist in keiner Weise stichhaltig dafür, dass es im deutschen keine solche Spezialbezeichnung geben kann - im Gegenteil, im deutschen Sprachgebrauch gibt es gar keine "die" binomische Formel, sondern nur "den" binomischen Lehrsatz. Schon allein die Bezeichnung "Formel" ist im deutschen ein Indiz dafür, dass es sich um eine Darstellungsart handelt; die Bezeichnung "Formel" bezieht sich grundsätzlich auf eine Darstellungsart eines bestimmten Lehrsatzes (vgl. Wikipedia: Formel, Duden: Formel (2. Bedeutung), Wikipedia: Satz und Duden: Satz sowie der eindeutige Bedeutungsunterschied zwischen Satz und Formel).

      Und zuletzt, wenn du diese Argumente nicht zählen lassen willst: In einem Artikel, der sich an deutschsprachige Laien richtet werde ich die Bezeichnung verwenden, die auch für Laien ein Begriff ist - und der binomische Lehrsatz ist, im Gegensatz zu den "binomischen Formeln", schon seit Jahrzehnten nicht mehr verlässlicher Schulstoff und demnach auch nicht per se für Laien verständlich. Insofern ist die Formulierung sehr viel Zielgruppen-angemessener und Zielgruppen-verständlicher als jede andere. Wir wollen doch "Verstehen" erzeugen und keine "Verwirrung", oder?

      Grüße,

      RIDER

      --
      Camping_RIDER a.k.a. Riders Flame a.k.a. Janosch Zoller Erreichbar manchmal im Self-TS (ts.selfhtml.org) oder sonst - wenn online - auf dem eigenen TeamSpeak-Server (fritz.campingrider.de) oder unter: # Facebook # Twitter # Steam # YouTube # Self-Wiki # ch:? rl:| br:> n4:? ie:% mo:| va:) js:) de:> zu:) fl:( ss:| ls:[
      1. @@Camping_RIDER

        Es ist unstrittig, dass die "dritte binomische Formel" ein Spezialfall "der" binomischen Formel, a.k.a. "der binomische Lehrsatz" ist.

        ?? Du möchtest ein k kaufen?

        Trotzdem ist im deutschen Sprachgebrauch und auch allgemein in der deutschen Mathematik auch für diese Spezialfälle (Spezialdarstellung, wenn du so willst) des Lehrsatzes ein Name gängig, nämlich der Name "dritte binomische Formel".

        Die „dritte binomische Formel“ ist eben keine Spezialdarstellung des binomischen Satzes.

        Wenn du das anders siehst, bin ich auf deine Herleitung gespannt.

        LLAP 🖖

        --
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        1. Aloha ;)

          Trotzdem ist im deutschen Sprachgebrauch und auch allgemein in der deutschen Mathematik auch für diese Spezialfälle (Spezialdarstellung, wenn du so willst) des Lehrsatzes ein Name gängig, nämlich der Name "dritte binomische Formel".

          Die „dritte binomische Formel“ ist eben keine Spezialdarstellung des binomischen Satzes.

          Wenn du das anders siehst, bin ich auf deine Herleitung gespannt.

          Das nehme ich zurück - das war eine Fehleinschätzung meinerseits; meine bisherigen Argumente beziehen sich tatsächlich nur auf die "erste binomische Formel" und die "zweite binomische Formel".

          Aber: Entgegen deiner Aussage ist die "dritte binomische Formel" tatsächlich eine "binomische Formel". Denn ein "Binom" ist "Summe oder Differenz aus zwei Gliedern" oder "Summe oder Differenz zweier Monome", und damit ist die "dritte binomische Formel" definitiv eine Formel, die ein Binom enthält/vereinfacht, und damit insbesondere eine "binomische Formel". Zusammen mit den anderen beiden Formeln, deren Namensgebung meiner ursprünglichen Argumentation folgt, haben wir drei Formeln, die mit Fug und Recht als "binomische Formeln" bezeichnet werden können. Von daher ist es schlichtweg falsch, zu sagen

          a² − b² = (a − b)(a + b) ist keine binomische Formel.

          Grüße,

          RIDER

          --
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          1. @@Camping_RIDER

            Man sollte also bei
            $$\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$
            nicht von „der binomischen Formel“ sprechen, damit der Begriff für $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$ frei wird?

            Aber wie nennt man dann $$\binom{n}{k}$$, wenn nicht „Binomialkoeffizient“?

            LLAP 🖖

            --
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            1. Aloha ;)

              Man sollte also bei
              $$\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$
              nicht von „der binomischen Formel“ sprechen, damit der Begriff für $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$ frei wird?

              Das habe ich so nie behauptet. Auch das ist "eine" binomische Formel, oder "die" binomische Formel, wenn man das "die Formel" sieht wie "der Lehrsatz" in "der binomische Lehrsatz". Alle die genannten Formeln sind binomische Formeln; deine These war, die "dritte binomische Formel" sei keine - und das ist so nicht richtig, insbesondere, da sich nicht jede beliebige binomische Formel aus "dem binomischen Lehrsatz" ableiten muss, um binomisch heißen zu können.

              Aber wie nennt man dann $$\binom{n}{k}$$, wenn nicht „Binomialkoeffizient“?

              Auch das ist mit meiner Argumentation nicht ausgeschlossen - der Binomialkoeffizient ist eine Entsprechung der Koeffizienten innerhalb einer binomischen Formel (nämlich der binomischen Formel, die im binomischen Lehrsatz vorkommt) und ist daher genauso berechtigt binomisch zu heißen wie eine Formel, die für ein Binom gültig ist - eben wie der binomische Lehrsatz, die ersten und zweiten binomischen Formeln und eben auch die dritte binomische Formel.

              Übrigens: Den binomischen Lehrsatz als binomische Formel zu bezeichnen halte ich nicht unbedingt für korrekt - und ob die Formel, die im binomischen Lehrsatz vorkommt, dann "die binomische Formel" heißen muss, nur weil der Lehrsatz "der binomische Lehrsatz ist", darüber kann man sich wohl streiten.

              Und wenn man das nun tatsächlich möchte, also die Formel aus dem binomischen Lehrsatz als "die binomische Formel" zu bezeichnen, dann ist damit nicht per se ausgeschlossen, dass es nicht auch weitere binomische Formeln geben kann.

              Grüße,

              RIDER

              --
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          2. @@Camping_RIDER

            Aber: Entgegen deiner Aussage ist die "dritte binomische Formel" tatsächlich eine "binomische Formel". Denn ein "Binom" ist "Summe oder Differenz aus zwei Gliedern" oder "Summe oder Differenz zweier Monome", und damit ist die "dritte binomische Formel" definitiv eine Formel, die ein Binom enthält/vereinfacht, und damit insbesondere eine "binomische Formel".

            $$a^n - b^n$$ ist auch ein Binom. Nach deiner Argumentation müsste man die allgemeine Formel
            $$a^n - b^n = \left( a - b \right) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1} b^k$$
            dann aber auch „binomische Formel“ nennen. Wäre das wirklich sinnvoll?

            LLAP 🖖

            --
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            1. Aloha ;)

              Aber: Entgegen deiner Aussage ist die "dritte binomische Formel" tatsächlich eine "binomische Formel". Denn ein "Binom" ist "Summe oder Differenz aus zwei Gliedern" oder "Summe oder Differenz zweier Monome", und damit ist die "dritte binomische Formel" definitiv eine Formel, die ein Binom enthält/vereinfacht, und damit insbesondere eine "binomische Formel".

              $$a^n - b^n$$ ist auch ein Binom. Nach deiner Argumentation müsste man die allgemeine Formel
              $$a^n - b^n = \left( a - b \right) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1} b^k$$
              dann aber auch „binomische Formel“ nennen. Wäre das wirklich sinnvoll?

              Ja, denn auch das ist eine binomische Formel, insbesondere im wörtlichen Sinne. Ob es sinnvoll ist, sie im allgemeinen Sprachgebrauch speziell zu benennen, z.B. als "dritte binomische Formel n-ten Grades", darüber entscheidet vor allem die Häufigkeit, in der man sich in dieser Form darauf beziehen möchte, und der dann daraus resultierende Übergang in den allgemeinen Sprachgebrauch.

              Grüße,

              RIDER

              --
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              1. @@Camping_RIDER

                $$a^n - b^n$$ ist auch ein Binom. Nach deiner Argumentation müsste man die allgemeine Formel
                $$a^n - b^n = \left( a - b \right) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1} b^k$$
                dann aber auch „binomische Formel“ nennen. Wäre das wirklich sinnvoll?

                Ja, denn auch das ist eine binomische Formel

                Och, schade. Ich hatte hoffnungsvoll dein Nein erwartet, dann hätte ich dich aber zerpflückt. ;-)

                Ob es sinnvoll ist, sie im allgemeinen Sprachgebrauch speziell zu benennen, z.B. als "dritte binomische Formel n-ten Grades"

                Hm, die binomische Formel $$\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$ wäre das die „erste binomische Formel n-ten Grades“?

                Und $$\left( a - b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left( -1 \right) ^k a^{n-k} b^k$$ wäre dann die „zweite binomische Formel n-ten Grades“?

                Wobei wir seit der Einführung der ganzen Zahlen wissen, dass die zweite nichts anderes ist als die erste, $$\left( a - b \right) ^n = \left( a + \left( -b \right) \right) ^n$$.

                Dann hätten wir mit den „drei binomischen Formeln“ eine Aufzählung, in der die ersten zwei Dinge dasselbe sind; das dritte jedoch, was gleichberechtigt daneben steht, etwas ganz anderes ist. Mohrrübe, Karotte, Einkommensteuer.

                Kann man machen, muss man aber nicht.

                LLAP 🖖

                --
                Ist diese Antwort anstößig? Dann könnte sie nützlich sein.
                1. Aloha ;)

                  $$a^n - b^n$$ ist auch ein Binom. Nach deiner Argumentation müsste man die allgemeine Formel
                  $$a^n - b^n = \left( a - b \right) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1} b^k$$
                  dann aber auch „binomische Formel“ nennen. Wäre das wirklich sinnvoll?

                  Ja, denn auch das ist eine binomische Formel

                  Och, schade. Ich hatte hoffnungsvoll dein Nein erwartet, dann hätte ich dich aber zerpflückt. ;-)

                  Ich bemühe mich, meine Theorien widerspruchslos auszubauen ;)

                  Hm, die binomische Formel $$\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$ wäre das die „erste binomische Formel n-ten Grades“?

                  Und $$\left( a - b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left( -1 \right) ^k a^{n-k} b^k$$ wäre dann die „zweite binomische Formel n-ten Grades“?

                  Könnte man so bezeichnen, wenn man das möchte ;) Ob das dann in den allgemeinen Sprachgebrauch übergeht ist die andere Frage :P

                  Dann hätten wir mit den „drei binomischen Formeln“ eine Aufzählung, in der die ersten zwei Dinge dasselbe sind; das dritte jedoch, was gleichberechtigt daneben steht, etwas ganz anderes ist. Mohrrübe, Karotte, Einkommensteuer.

                  Kann man machen, muss man aber nicht.

                  Immerhin muss man schließlich außer sterben gar nix ;)

                  Grüße,

                  RIDER

                  --
                  Camping_RIDER a.k.a. Riders Flame a.k.a. Janosch Zoller Erreichbar manchmal im Self-TS (ts.selfhtml.org) oder sonst - wenn online - auf dem eigenen TeamSpeak-Server (fritz.campingrider.de) oder unter: # Facebook # Twitter # Steam # YouTube # Self-Wiki # ch:? rl:| br:> n4:? ie:% mo:| va:) js:) de:> zu:) fl:( ss:| ls:[
          3. Hallo,

            a² − b² = (a − b)(a + b)

            Kann es sein, dass ihr beide ständig die 3. Formel verkehrt denkt? So wie zitiert, passt sie tatsächlich nicht zu den ersten beiden. Ihr müsst sie umdrehen:

            1. (a+b)(a+b)
            2. (a-b)(a-b)
            3. (a+b)(a-b)

            Gruß
            Kalk

            1. @@Tabellenkalk

              Kann es sein, dass ihr beide ständig die 3. Formel verkehrt denkt?

              Nicht, wenn man von den allgemeinen Formeln ausgeht:

              $$\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

              $$a^n - b^n = \left( a - b \right) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1} b^k$$

              Der einfachere Term steht links, der in eine Summe bzw. ein Produkt mit einer Summe zerlegte steht rechts.

              Für den Speziallfall n = 2 ergibt das eben

              $$\left( a + b \right) ^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

              $$a^2 - b^2 = \left( a - b \right) \left( a + b \right)$$

              LLAP 🖖

              --
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              1. Hallo,

                Nicht, wenn man von den allgemeinen Formeln ausgeht:

                Es geht aber doch um die Frage, ob es und wenn ja, wieviele Binomische Formeln gibt. Und das sind erstmal und prinzipiell eben 3. Und die dritte hat als Ergebnis eben a²-b². Das führt dann den Interessierten zur Frage, wie man das verallgemeinern kann. Aber das führt dann halt weg von den 3 Binomischen Formeln

                Gruß
                Kalk

              2. @@Gunnar Bittersmann

                $$\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

                Ich bin erstaunt, dass der Formelrenderer zwischen Formeln im Fließtext und einen eigenen Absatz bildenden unterscheidet (Position der Summationsgrenzen, Größe des Summenzeichens und des Binomialkoeffizienten).

                Nochmal zum Vergleich: $$\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

                LLAP 🖖

                --
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                1. Aloha ;)

                  $$\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

                  Ich bin erstaunt, dass der Formelrenderer zwischen Formeln im Fließtext und einen eigenen Absatz bildenden unterscheidet (Position der Summationsgrenzen, Größe des Summenzeichens und des Binomialkoeffizienten).

                  Nochmal zum Vergleich: $$\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

                  Das ist ganz gewöhnliches Latex-Verhalten; inline-Formeln vs. Block-Formeln. Was hingegen nicht normales Latex-Verhalten ist: beide werden hier im Forum mit $$ eingeleitet und beendet, Latex erwartet als Einleitung für eine inline-Formel eigentlich $...$ (was hier im Forum verständlicherweise nicht funktioniert) bzw. \(...\) und für eine Blockformel $$...$$ bzw. \[...\]. Dass die Erkennung der Formelumgebung im Forum nicht normal funktioniert liegt daran, dass die Erkennung der Formel offenbar nicht durch Latex geschieht, sondern nur das Rendern.

                  Grüße,

                  RIDER

                  --
                  Camping_RIDER a.k.a. Riders Flame a.k.a. Janosch Zoller Erreichbar manchmal im Self-TS (ts.selfhtml.org) oder sonst - wenn online - auf dem eigenen TeamSpeak-Server (fritz.campingrider.de) oder unter: # Facebook # Twitter # Steam # YouTube # Self-Wiki # ch:? rl:| br:> n4:? ie:% mo:| va:) js:) de:> zu:) fl:( ss:| ls:[
                  1. @@Camping_RIDER

                    Das ist ganz gewöhnliches Latex-Verhalten

                    Zum Unterschied zwischen Latex und LaTeX befragen Sie Ihren Partner oder Drogeristen.

                    LLAP 🖖

                    --
                    Ist diese Antwort anstößig? Dann könnte sie nützlich sein.
                    1. Aloha ;)

                      Das ist ganz gewöhnliches Latex-Verhalten

                      Zum Unterschied zwischen Latex und LaTeX befragen Sie Ihren Partner oder Drogeristen.

                      Wenn du mich fragst ist Latex ein dehnbarer Begriff.

                      Grüße,

                      RIDER

                      --
                      Camping_RIDER a.k.a. Riders Flame a.k.a. Janosch Zoller Erreichbar manchmal im Self-TS (ts.selfhtml.org) oder sonst - wenn online - auf dem eigenen TeamSpeak-Server (fritz.campingrider.de) oder unter: # Facebook # Twitter # Steam # YouTube # Self-Wiki # ch:? rl:| br:> n4:? ie:% mo:| va:) js:) de:> zu:) fl:( ss:| ls:[
                      1. Hi,

                        Das ist ganz gewöhnliches Latex-Verhalten

                        Zum Unterschied zwischen Latex und LaTeX befragen Sie Ihren Partner oder Drogeristen.

                        Wenn du mich fragst ist Latex ein dehnbarer Begriff.

                        Ist das Latex-Verbot der katholischen Kirche der Gummi-Paragraph?

                        cu,
                        Andreas a/k/a MudGuard

                        1. Aloha ;)

                          Das ist ganz gewöhnliches Latex-Verhalten

                          Zum Unterschied zwischen Latex und LaTeX befragen Sie Ihren Partner oder Drogeristen.

                          Wenn du mich fragst ist Latex ein dehnbarer Begriff.

                          Ist das Latex-Verbot der katholischen Kirche der Gummi-Paragraph?

                          Wäre das dann nicht eher eine päpstliche Gummi-Bulle?

                          Gummi-Bulle im Vatikan, wie? Sodom und Gomorrha!

                          Grüße,

                          RIDER

                          --
                          Camping_RIDER a.k.a. Riders Flame a.k.a. Janosch Zoller Erreichbar manchmal im Self-TS (ts.selfhtml.org) oder sonst - wenn online - auf dem eigenen TeamSpeak-Server (fritz.campingrider.de) oder unter: # Facebook # Twitter # Steam # YouTube # Self-Wiki # ch:? rl:| br:> n4:? ie:% mo:| va:) js:) de:> zu:) fl:( ss:| ls:[
            2. Aloha ;)

              Kann es sein, dass ihr beide ständig die 3. Formel verkehrt denkt? So wie zitiert, passt sie tatsächlich nicht zu den ersten beiden. Ihr müsst sie umdrehen:

              1. (a+b)(a+b)
              2. (a-b)(a-b)
              3. (a+b)(a-b)

              Korrekt - ist aber Definitionsfrage und war ja nie Gegenstand der Diskussion ;)

              Grüße,

              RIDER

              --
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            3. Hallo Tabellenkalk,

              Von Bedeutung auch bei komplexen Zahlen

              a² − b² = (a − b)(a + b)

              a² + b² = (a − ib)(a + ib)

              Manchmal spricht man auch von der 4. binomischen Formel.

              Bis demnächst
              Matthias

              --
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