Gunnar Bittersmann: Mathematik zur Wochenmitte

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Mathematik zur Wochenmitte

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    Mathematik zur Wochenmitte - Lösungsvorschlag

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            Mathematik zum Wochendende - Beweis der 3-4-5 Frage

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Wie groß ist die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks mit Basis der Länge 6 und Inkreisradius 1?

LLAP 🖖

--
„Man kann sich halt nicht sicher sein“, sagt der Mann auf der Straße, „dass in einer Gruppe Flüchtlinge nicht auch Arschlöcher sind.“
„Stimmt wohl“, sagt das Känguru, „aber immerhin kann man sich sicher sein, dass in einer Gruppe Rassisten nur Arschlöcher sind.“

—Marc-Uwe Kling
  1. Hallo,

    Wie groß ist die Fläche des gleichschenkliges Dreiecks mit Basis der Länge 6 und Inkreisradius 1?

    die Berechnung ist trivial, das Ergebnis aber nicht wirklich "schön" (ca. 7.24).

    Ciao,
     Martin

    --
    Computer müssen weiblich sein: Eigensinnig, schwer zu durchschauen, immer für Überraschungen gut - aber man möchte sie nicht missen.
    1. @@Der Martin

      die Berechnung ist trivial, das Ergebnis aber nicht wirklich "schön" (ca. 7.24).

      Das Ergebnis ist nicht nur nicht schön, es ist auch nicht richtig.

      Ach ja, und „Schönheit“ sollte sich auch auf den Lösungsweg beziehen.

      LLAP 🖖

      --
      „Man kann sich halt nicht sicher sein“, sagt der Mann auf der Straße, „dass in einer Gruppe Flüchtlinge nicht auch Arschlöcher sind.“
      „Stimmt wohl“, sagt das Känguru, „aber immerhin kann man sich sicher sein, dass in einer Gruppe Rassisten nur Arschlöcher sind.“

      —Marc-Uwe Kling
      1. Hallo,

        die Berechnung ist trivial, das Ergebnis aber nicht wirklich "schön" (ca. 7.24).

        Das Ergebnis ist nicht nur nicht schön, es ist auch nicht richtig.

        nicht richtig?

        Das Dreieck hat die Höhe h = 1+√2 und die Grundlinie b=6, folglich die Fläche

        A = ½ b*h = 3+3√2

        Wo liegt mein Denkfehler?

        Ach ja, und „Schönheit“ sollte sich auch auf den Lösungsweg beziehen.

        Einverstanden. Der war mir hier zu einfach, um als "schön" zu gelten.

        Ciao,
         Martin

        --
        Computer müssen weiblich sein: Eigensinnig, schwer zu durchschauen, immer für Überraschungen gut - aber man möchte sie nicht missen.
        1. Hallo Martin,

          die Höhe ist kleiner als $1+\sqrt 2$.

          Rolf

          --
          sumpsi - posui - clusi
        2. @@Der Martin

          Wo liegt mein Denkfehler?

          Hier:

          Das Dreieck hat die Höhe h = 1+√2

          Eine schöne Lösung der Aufgabe kommt ohne Wurzeln aus.

          LLAP 🖖

          --
          „Man kann sich halt nicht sicher sein“, sagt der Mann auf der Straße, „dass in einer Gruppe Flüchtlinge nicht auch Arschlöcher sind.“
          „Stimmt wohl“, sagt das Känguru, „aber immerhin kann man sich sicher sein, dass in einer Gruppe Rassisten nur Arschlöcher sind.“

          —Marc-Uwe Kling
          1. Hallo Gunnar,

            für meine derzeitige Lösung brauch ich den Tangens. Das ist auch nicht schön.

            weitersuch

            Rolf

            --
            sumpsi - posui - clusi
            1. @@Rolf B

              für meine derzeitige Lösung brauch ich den Tangens.

              Ich auch.

              Das ist auch nicht schön.

              Die Schönheit liegt im Auge des Betrachters.

              LLAP 🖖

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              „Man kann sich halt nicht sicher sein“, sagt der Mann auf der Straße, „dass in einer Gruppe Flüchtlinge nicht auch Arschlöcher sind.“
              „Stimmt wohl“, sagt das Känguru, „aber immerhin kann man sich sicher sein, dass in einer Gruppe Rassisten nur Arschlöcher sind.“

              —Marc-Uwe Kling
              1. Hallo Gunnar,

                okay, Achtklässlerkompatible Lösung ohne Tangens liegt in deinem Postfach. Ich brauche nur Ähnlichkeiten und eine Prise Algebra.

                Wie hängt man im CF5 Bilder an Privatpost an?

                Rolf

                --
                sumpsi - posui - clusi
                1. Hallo Rolf B,

                  Wie hängt man im CF5 Bilder an Privatpost an?

                  indem man sie in einem Beitrag erstellt und dann das Markdown kopiert.

                  Bis demnächst
                  Matthias

                  --
                  Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
                  ¯\_(ツ)_/¯
                  1. @@Matthias Apsel

                    Wie hängt man im CF5 Bilder an Privatpost an?

                    indem man sie in einem Beitrag erstellt und dann das Markdown kopiert.

                    Meh. Nein, sondern indem man™ Bug 81 fixt.

                    LLAP 🖖

                    --
                    „Man kann sich halt nicht sicher sein“, sagt der Mann auf der Straße, „dass in einer Gruppe Flüchtlinge nicht auch Arschlöcher sind.“
                    „Stimmt wohl“, sagt das Känguru, „aber immerhin kann man sich sicher sein, dass in einer Gruppe Rassisten nur Arschlöcher sind.“

                    —Marc-Uwe Kling
                  2. Hallo Matthias,

                    d.h. ich paste hier im Posting ein Bild

                    Das Forum macht daraus eine anonyme Datei irgendwelcher Art. Den Link darauf übertrage ich in Privatpost und lösche dann das Markdown hier im Posting wieder.

                    Wer stellt dann sicher, dass nicht irgendein Garbage Collector mein angehängtes Bild schreddert - es gibt dann ja keine zugelassene Referenz mehr darauf? Laut Github will CK diesen Bug nicht fixen, er sagt ja, dass das neue Verhalten Absicht ist. Offenbar soll ich Gunnar keine Katzenfotos mehr per PN schicken.

                    Rolf

                    --
                    sumpsi - posui - clusi
                    1. Hallo Rolf B,

                      Clever.

                      Bis demnächst
                      Matthias

                      --
                      Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
                      ¯\_(ツ)_/¯
  2. Hallo Gunnar,

    da Du deine Tangens-Lösung getwittert hast, und mein Bild eh schon der Katze eine Dreiecksrasur verpasst hat, kann ich sie auch aus dem Sack lassen.

    G und H sind die Berührpunkte des Inkreises mit den Seiten AC und CB. Sei h noch die Höhe FC des Dreiecks ABC (im Bild nicht bezeichnet).

    Die Strecken AG und BH haben die Länge 3, weil AC/AB sowie BF/BC Tangenten aus dem gleichen Punkt sind. Die rechtwinkligen Drachen AFMG und BFMH (MH ist nicht gezeichnet) haben demnach jeweils die Fläche 3r = 3. Es bleibt die Frage nach dem verbleibenden kleinen Drachen MHCG. Bei diesem hat ein Seitenpaar die Länge r=1, die andere Seite x ist zu bestimmen.

    Weil MG auf AC senkrecht steht und CF auf AB, sind die bei M und A gezeichneten Winkel gleich. Die rechtwinkligen Dreicke AFC und CGM sind damit ähnlich. Damit verhält sich

    $\displaystyle \frac{h}{3} = \frac{x}{1}$

    woraus folgt:

    $h=3x$ (1)

    Matthias Apsel schlug mir Pythagoras vor: $x²+1² = (h-1)²$, ich wollte aber auf Quadrate verzichten und wendete darum ein weiteres Verhältnis aus der Ähnlichkeit der Dreiecke an:

    $\displaystyle \frac{MC}{MG} = \frac{AC}{AF}$

    mit eingesetzten Werten

    $\displaystyle \frac{h-1}{1}=\frac{3+x}{3}$ (2)

    Einsetzen von (1) führt zu

    $\begin{aligned} & & 3x-1 &= 1+\frac{x}{3}
    \Longleftrightarrow & & \frac{8}{3}x &= 2
    \Longleftrightarrow & & x &= \frac{3}{4} \end{aligned}$

    Daraus berechnet sich die Fläche des kleinen Drachen zu 0,75.

    Was aber eigentlich viel zu umständlich war. Wenn ich nämlich die Umkehrung von (1), also $x=\frac{h}{3}$, in (2) einsetze, bekomme ich $\frac{h-1}{1}=\frac{3+\frac{h}{3}}{3} \Longleftrightarrow h-1=1+\frac{h}{9} \Longleftrightarrow \frac{8}{9}h=2 \Longleftrightarrow h=\frac{9}{4}$, und daraus kann ich mit $A=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot h = 3\cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{4} = 6{,}75$ die Fläche direkt berechnen, ohne große und kleine Drachen töten zu müssen.

    Look Ma, no tangent!

    Rolf

    --
    sumpsi - posui - clusi
    1. @@Rolf B

      da Du deine Tangens-Lösung getwittert hast

      Aber wer folgt mir schon?

      Hier ist sie:

      tan φ = 1/3; tan 2φ = h/3 = 2 tan φ/(1 - tan² φ) = 2/3 / (8/9) = 3/4; h = 9/4; A = 1/2 × 6 × 9/4 = 27/4

      LLAP 🖖

      --
      „Man kann sich halt nicht sicher sein“, sagt der Mann auf der Straße, „dass in einer Gruppe Flüchtlinge nicht auch Arschlöcher sind.“
      „Stimmt wohl“, sagt das Känguru, „aber immerhin kann man sich sicher sein, dass in einer Gruppe Rassisten nur Arschlöcher sind.“

      —Marc-Uwe Kling
    2. Hallo Rolf B,

      Weil MG auf AC senkrecht steht und CF auf AB, sind die bei M und A gezeichneten Winkel gleich. Die rechtwinkligen Dreicke AFC und CGM sind damit ähnlich.

      Ich würde sagen, das reicht nicht als Begründung. Aber zusätzlich der Fakt, dass die beiden Dreiecke bei C denselben Winkel haben.

      Bis demnächst
      Matthias

      --
      Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
      ¯\_(ツ)_/¯
  3. Wie groß ist die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks mit Basis der Länge 6 und Inkreisradius 1?

    Dann Poste ich auch meine Lösung, verwendet zwar auch den Tagens dieser wird aber nicht berechnet sonder nur Umgeformt.

    Gesucht Fläche A: $$ A = H * \frac{B}2 $$ $$ B = 6 $$ $$ A = H * 3 $$ Winkelhalbierende führt auf den Winkel: $$ \alpha = 2 * arctan ( \frac{b}c ) = 2 * arctan ( \frac{1}3 ) $$ Das führt zur Höhe des Dreiecks: $$ H = \frac{B}2 * tan( 2 * arctan ( \frac{b}c ) ) $$ $$ H = 3 * tan( 2 * arctan ( \frac{b}c ) ) $$ Zu lösen: $$ tan( 2 * arctan ( \frac{b}c ) ) = \frac{d}e $$ Substitution: $$ \frac{d}e = m $$ $$ \frac{b}c = n $$ $$ a * arctan ( n ) = arctan( m ) $$ $$ 0 = arctan ( m ) - 2 * arctan( n ) $$ $$ 0 = arctan ( m ) - arctan( n ) - arctan( n )$$ $$ arctan( n ) = arctan ( m ) - arctan( n ) $$ $$ arctan( n ) = arctan ( m ) - arctan( n ) $$ $$ arctan( n ) = arctan ( \frac{m-n}{1+mn} ) $$ $$ n = \frac{m-n}{1+mn} $$ $$ 0 = mn^2+2n-m $$ Resubstitution: $$ 0 = \frac{d}e*\frac{b^2}{c^2}+2\frac{b}c-\frac{d}e $$ Einsetzen: $$ b = 1 $$ $$ c = 3 $$ $$ 0 = \frac{d}e*\frac{1^2}{3^2}+2\frac{1}3-\frac{d}e $$ $$ \frac{d}e-\frac{d}{9e} = \frac{2}3 $$ $$ \frac{8d}{9e} = \frac{2}3 $$ $$ \frac{d}e = \frac{3}4 $$ Und damit: $$ A = 3 * \frac{3}4 * 3 = 6,75 $$

    Gruß
    Jo

    1. Hallo Jo,

      ich fand es jetzt etwas schwierig nachzuvollziehen, was b,c,d,e sind. b ist der Radius des Einheitskreises, d die Höhe des ABC-Dreiecks und c und e sind jeweils die halbe Grundlinie?

      Rolf

      --
      sumpsi - posui - clusi
      1. Hallo Jo,

        ich fand es jetzt etwas schwierig nachzuvollziehen, was b,c,d,e sind. b ist der Radius des Einheitskreises, d die Höhe des ABC-Dreiecks und c und e sind jeweils die halbe Grundlinie?

        d und e sind nur variablen, da ich von einer gebrochenen Lösung ausging, habe ich eben einen Bruch anstelle eines einfachen x gewählt. b und c sind erstmal auch nur variablen für die Gegen- und Ankathete (Radius und halbe Basis) so ist mein Ansatz etwas allgemeiner.

        Gruß
        Jo

  4. @@Gunnar Bittersmann

    Quelle: https://twitter.com/panlepan/status/1155780397692858368

    LLAP 🖖

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    „Man kann sich halt nicht sicher sein“, sagt der Mann auf der Straße, „dass in einer Gruppe Flüchtlinge nicht auch Arschlöcher sind.“
    „Stimmt wohl“, sagt das Känguru, „aber immerhin kann man sich sicher sein, dass in einer Gruppe Rassisten nur Arschlöcher sind.“

    —Marc-Uwe Kling
    1. @@Gunnar Bittersmann

      Quelle: https://twitter.com/panlepan/status/1155780397692858368

      Interessant fand ich Mike Lawlers Bemerkung: “I like the sneaky 3-4-5 triangle hiding in this one!”

      Klar, wenn man tan α = tan 2φ = ¾ z.B. mit der Doppelwinkelformel berechnet, ist klar, dass die rechtwinkligen Dreiecke dieses Seitenverhältnis haben; aber sieht man das auch anders?

      LLAP 🖖

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      „Man kann sich halt nicht sicher sein“, sagt der Mann auf der Straße, „dass in einer Gruppe Flüchtlinge nicht auch Arschlöcher sind.“
      „Stimmt wohl“, sagt das Känguru, „aber immerhin kann man sich sicher sein, dass in einer Gruppe Rassisten nur Arschlöcher sind.“

      —Marc-Uwe Kling
      1. Interessant fand ich Mike Lawlers Bemerkung: “I like the sneaky 3-4-5 triangle hiding in this one!”

        Klar, ... aber sieht man das auch anders?

        Vielleicht so?

        3 : 4 : 5

        1. @@ottogal

          Interessant fand ich Mike Lawlers Bemerkung: “I like the sneaky 3-4-5 triangle hiding in this one!”

          Klar, ... aber sieht man das auch anders?

          Vielleicht so?

          3 : 4 : 5

          Ich seh’s nicht. Wenn man △ADC so streckt, dass der Kreis Inkreis von △AC′D′ ist, also AD′ = 4, warum ist dann C′D′ = 3?

          LLAP 🖖

          --
          „Man kann sich halt nicht sicher sein“, sagt der Mann auf der Straße, „dass in einer Gruppe Flüchtlinge nicht auch Arschlöcher sind.“
          „Stimmt wohl“, sagt das Känguru, „aber immerhin kann man sich sicher sein, dass in einer Gruppe Rassisten nur Arschlöcher sind.“

          —Marc-Uwe Kling
          1. Hallo Gunnar,

            danke, ich dachte schon ich wäre der einzige Blinde.

            Wenn man die Streckung durchführt, dann sieht man zwar das 3-4-5 Dreieck, aber die Frage, warum der Inkreis des 3-4-5 Dreiecks der Einheitskreis ist, beantwortet sich dadurch auch für mich nicht.

            Vielleicht ist die Lieferung dieses Beweises die Matheaufgabe zum Wochenende? 😉

            Rolf

            --
            sumpsi - posui - clusi
            1. Hallo Rolf B,

              Wenn man die Streckung durchführt, dann sieht man zwar das 3-4-5 Dreieck, aber die Frage, warum der Inkreis des 3-4-5 Dreiecks der Einheitskreis ist, beantwortet sich dadurch auch für mich nicht.

              Für den Inkreisradius gilt $\rho = \frac{2A}{u} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4}{3 + 4 + 5} = 1$. Die Herleitung ist relativ einfach über Teildreiecke mit der Höhe als Inkreisradius möglich.

              Bis demnächst
              Matthias

              --
              Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
              ¯\_(ツ)_/¯
              1. Hallo,

                Für den Inkreisradius gilt $\rho = \frac{2A}{u} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{3 + 4 + 5} = 1$. Die Herleitung ist relativ einfach über Teildreiecke mit der Höhe als Inkreisradius möglich.

                wenn ich deinen Bruch berechne, erhalte ich 2. Sollte ich lieber Wolphram Alpha bemühen?

                Gruß
                Kalk

                1. Hallo Tabellenkalk,

                  Für den Inkreisradius gilt $\rho = \frac{2A}{u} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{3 + 4 + 5} = 1$. Die Herleitung ist relativ einfach über Teildreiecke mit der Höhe als Inkreisradius möglich.

                  wenn ich deinen Bruch berechne, erhalte ich 2. Sollte ich lieber Wolphram Alpha bemühen?

                  😀

                  Bis demnächst
                  Matthias

                  --
                  Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
                  ¯\_(ツ)_/¯
              2. @@Matthias Apsel

                Für den Inkreisradius gilt $\rho = \frac{2A}{u}$.

                Gut zu wissen.

                Bei tan 2φ wusste ich wenigstens, wo ich nachschlagen konnte.

                LLAP 🖖

                --
                „Man kann sich halt nicht sicher sein“, sagt der Mann auf der Straße, „dass in einer Gruppe Flüchtlinge nicht auch Arschlöcher sind.“
                „Stimmt wohl“, sagt das Känguru, „aber immerhin kann man sich sicher sein, dass in einer Gruppe Rassisten nur Arschlöcher sind.“

                —Marc-Uwe Kling
                1. Hallo Gunnar Bittersmann,

                  Gut zu wissen.

                  Mit dieser und der Heron-Formel habe ich die Aufgabe zuerst gelöst.

                  Bis demnächst
                  Matthias

                  --
                  Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
                  ¯\_(ツ)_/¯
                  1. Hallo Matthias Apsel,

                    Mit dieser und der Heron-Formel habe ich die Aufgabe zuerst gelöst.

                    Lösung der Aufgabe mit Inkreisformel und Heron-Formel

                    Bis demnächst
                    Matthias

                    --
                    Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
                    ¯\_(ツ)_/¯
        2. Erläuterung:

          3 : 4 : 5

          Denkt euch den Kreis zunächst weg. Alle farbigen Dreiecke (auch das blaue, teilweise vom roten verdeckte) sind 3:4:5-Dreiecke - die großen haben die Seitenlängen 3, 4 und 5, die andern sind ähnlich zu einem solchen (infolge übereinstimmender Innenwinkel).
          Das grüne Dreieck und die beiden blauen sind sogar kongruent, da sie zudem die Hypotenuse 5 gemeinsam haben.

          Zu zeigen bleibt noch, dass der Kreis die kurze Kathete des grünen Dreiecks im gemeinsamen Eckpunkt seiner Katheten berührt. Das folgt aber daraus, dass die Hypotenuse des blauen Dreiecks die Länge 5 und die lange Kathete des grünen Dreiecks die Länge 4 hat; deren Differenz ist also der Kreisradius.

  5. Hallo Gunnar Bittersmann,

    (1) Wie man leicht sieht, ist die Höhe des Dreiecks 2 + y.

    (2) x + y = 1

    (3) $\frac {2+y}{3} = \frac{x}{1}$

    Aus (2) und (3) folgt y = 1/4.

    Nur leider kann ich (1) nicht beweisen. 😡

    Bis demnächst
    Matthias

    --
    Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
    ¯\_(ツ)_/¯
    1. Hallo Matthias,

      (1) Wie man leicht sieht, ist die Höhe des Dreiecks 2 + y.

      Nur leider kann ich (1) nicht beweisen. 😡

      Das dunkle Dreieck ist ebenfalls ein 3:4:5-Dreieck. Da die lange Kathete der Kreisradius 1 ist, sind seine Seiten 3/4, 4/4 und 5/4.
      Also ist x = 3/4, damit y = 1 - x = 1/4.
      Andererseits ist die Hypotenuse 5/4, also um 1/4 größer als der Kreisradius.

      Viele Grüße
      ottogal

      1. Hallo ottogal,

        Nur leider kann ich (1) nicht beweisen. 😡

        Das dunkle Dreieck ist ebenfalls ein 3:4:5-Dreieck.

        Ja. Das war mir bewusst. Ich muss also zuerst zeigen, dass es sich um 3:4:5-Dreiecke handelt. Ich ha[b|tt]e die Hoffnung, das vermeiden zu können.

        Bis demnächst
        Matthias

        --
        Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
        ¯\_(ツ)_/¯
        1. Ich ha[b|tt]e die Hoffnung, das vermeiden zu können.

          Weshalb wolltest du das denn vermeiden? (Rätsel zum Samstag Morgen...)

          1. Hallo ottogal,

            Weshalb wolltest du das denn vermeiden? (Rätsel zum Samstag Morgen...)

            Ich wollte einen weiteren Lösungsweg. Es gibt ja schon so einige.

            Bis demnächst
            Matthias

            --
            Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
            ¯\_(ツ)_/¯