Numerische Volumenberechnung

[Matthias Bode]

Hallo zusammen!
Ich stehe vor einem Problem: ich habe um die 1500 Meßpunkte mit x,y,z Koordinaten. Nun möchte ich ein Stück aus diesem virtuellen Gelände rausschneidenund mir davon das Volumen numerisch berechnen. Ich bräuchte also sowas wie die Trapezregel für mehrere Veränderliche.
Ich hoffe ihr habt nen Tipp, hab schon gegoogelt wie nen blöder.
MfG
Matthias

[ingobar]

Hallo zusammen!
Ich stehe vor einem Problem: ich habe um die 1500 Meßpunkte mit x,y,z Koordinaten. Nun möchte ich ein Stück aus diesem virtuellen Gelände rausschneidenund mir davon das Volumen numerisch berechnen. Ich bräuchte also sowas wie die Trapezregel für mehrere Veränderliche.
Ich hoffe ihr habt nen Tipp, hab schon gegoogelt wie nen blöder.
MfG
Matthias

Du möchtest aus dem Gelände (Ebene) ein Volumen rauschneiden 8) ? Doch wohl eher eine Fläche, oder? Das kannst du so machen:

1. Zerlege das Trapez in zwei Dreiecke und berechne die Inhalt über folgende Formel:

A = 0.5* |AB x BC|,

wobei ABC die Eckpunkte sind.

[Matthias Bode]

Also eigentlich will ich schon das Volumen haben.
Wenn ich X,Y,Z Koordinaten habe, dann bin ich ja im R³. Und im Grunde genommen möchte ich den Erdaushub berechnen. Also ein kleines Volumenstückchen rausschneiden.
Ich hab ein Gelände von 100 m² und möchte dort jetzt eine Baugrube von beispielsweise 5m² und 2 m Tiefe reinsetzen. Nun will ich wissen wieviel Erde ich da rausbuddeln muss.

Ich hoffe ich hab mein Problem halbwegs gut darstellen können.
Danke im Voraus
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

Hello out there!

Ich hab ein Gelände von 100 m² und möchte dort jetzt eine Baugrube von beispielsweise 5m² und 2 m Tiefe reinsetzen. Nun will ich wissen wieviel Erde ich da rausbuddeln muss.

Das Volumen ist das Produkt aus Grundfläche und Höhe, wenn sich die Querschnittsfläche in der Höhe nicht ändert.

Ich hoffe ich hab mein Problem halbwegs gut darstellen können.

IMHO nein.

See ya up the road,
Gunnar

[Matthias Bode]

Ja das ist mir auch klar :-)
aber das ganze ist ein 3D Geländemodell, sprich die Fläche ist nicht!! eben. Die 3D-Ansicht etc habe ich in Java programmiert.
Nun will ich dort eine "virtuelle" Baugrube reinsetzen beispielsweise einen regelmäßigen Quader. Nun will ich berechnen wieviel Erdaushub ich habe.
Hier mal kurz ein Bild:

Im Grunde genommen könnte ich ein Dreifachintegral aufstellen und dieses berechnen. Allerdings müsst ich dann für jedes Dreieck die Geradengleichungen der Kanten aufstellen.

Jemand nen Tipp?
mfg
matthias

[ingobar]

»»Allerdings müsst ich dann für jedes Dreieck die Geradengleichungen der Kanten aufstellen.

Jemand nen Tipp?

Punkt-Richtungs-Form sagt dir doch was, oder?

Wie wärs denn, wenn du folgendes machst:

An sich hast du doch einen Quader mit einer schiefen Deckfläche. Wenn du den jetzt senkrecht von einer Längskante zu einer anderen durchscheidest , bekommst du zwei "Dächer" mit einem schiefen Ende. Diese bestehen wieder aus zwei Pyramiden. Für all dies gibt es passende Formeln.

Du kannst natürlich auch das "fehlende" Stück berechnen, dieses in zwei schiefe Pyramiden zerlegen und dann das fehlende vom Quader abziehen.

Ich hoffe, ich konnte mich irgendwie verständlich ausdrücken.

[Matthias Bode]

Dankesehr für die Denkansätze!

[Gunnar Bittersmann]

Hello out there!

Du schaust dir ein Dreieck an mit den Eckpunkten P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂), P₃(x₃, y₃, z₃); o.B.d.A. sei z₁ ≤ z₂ ≤ z₃.

Weiterhin seien N₁(x₁, y₁, z₀), N₂(x₂, y₂, z₀), N₃(x₃, y₃, z₀) die Projektionen von P₁, P₂, P₃ auf die Ebene parallel zur xy-Ebene in der Höhe z₀, bis zu der du die Baugrube ausheben möchtest.

H₂(x₂, y₂, z₁), H₃(x₃, y₃, z₁) seien die Projektionen von P₂, P₃ auf die Ebene parallel zur xy-Ebene in der Höhe z₁ des am tiefsten gelegenen Punktes P₁.

(Das malst du die am besten erstmal so auf.)

Du möchtest das Volumen des Körpers mit den Eckpunkten N₁, N₂, N₃, P₁, P₂, P₃. Diesen teilst du in der Höhe z₁. Darunter ist das Prisma mit den Eckpunkten N₁, N₂, N₃, P₁, H₂, H₃; dessen Volumen sollte klar sein. Darüber ist der Rest mit den Eckpunkten P₁, H₂, H₃, P₂, P₃; eine Pyramide mit der Grundfläche H₂H₃P₃P₂ (was ein Trapez ist) und der Höhe, die der Höhe des Dreiecks H₂H₃P₁ entspricht. Deren Volumen addierst du zu der des Prismas.

Das Ganze machst du nun für alle Dreiecke, die zu deiner Baugrube gehören. (Wenn welche nur partiell dazugehören, musst du die noch teilen.)

See ya up the road,
Gunnar

PS:
Ich hoffe, ich hab das richtig verstanden, dass du in die Tiefe, also in z-Richtung buddeln willst.

[Blaubart]

Tach.

Wenn ich X,Y,Z Koordinaten habe, dann bin ich ja im R³. Und im Grunde genommen möchte ich den Erdaushub berechnen. Also ein kleines Volumenstückchen rausschneiden.

Mir ist nicht ganz klar, was deine Meßpunkte überhaupt damit zu tun haben. Offenbar legst du die Hülle deines Volumens ja durch den Schnitt fest ... Oder läuft dieser Schnitt immer durch die Meßpunkte und verbindet somit einige davon zu einer beliebig geformten Oberfläche?

In diesem Fall fällt mir auf Anhieb nur eine Näherungsmethode ein: Du teilst dein Volumen entlang einer beliebig günstig gewählten Geraden in Scheiben, deren Flächeninhalt du berechnest. Wenn du diese Scheiben dünn genug machst, kannst du ihre Randflächen näherungsweise als senkrecht zur Grundfläche stehend annehmen und das Volumen jeweils als Produkt aus Scheibendicke und -fläche berechnen. Das Gesamtvolumen ist dann die Summe dieser Volumina.

Wenn du's genauer brauchst, mußt du "richtig" integrieren ...