Numerische Volumenberechnung

[Gunnar Bittersmann]

Hello out there!

Du schaust dir ein Dreieck an mit den Eckpunkten P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂), P₃(x₃, y₃, z₃); o.B.d.A. sei z₁ ≤ z₂ ≤ z₃.

Weiterhin seien N₁(x₁, y₁, z₀), N₂(x₂, y₂, z₀), N₃(x₃, y₃, z₀) die Projektionen von P₁, P₂, P₃ auf die Ebene parallel zur xy-Ebene in der Höhe z₀, bis zu der du die Baugrube ausheben möchtest.

H₂(x₂, y₂, z₁), H₃(x₃, y₃, z₁) seien die Projektionen von P₂, P₃ auf die Ebene parallel zur xy-Ebene in der Höhe z₁ des am tiefsten gelegenen Punktes P₁.

(Das malst du die am besten erstmal so auf.)

Du möchtest das Volumen des Körpers mit den Eckpunkten N₁, N₂, N₃, P₁, P₂, P₃. Diesen teilst du in der Höhe z₁. Darunter ist das Prisma mit den Eckpunkten N₁, N₂, N₃, P₁, H₂, H₃; dessen Volumen sollte klar sein. Darüber ist der Rest mit den Eckpunkten P₁, H₂, H₃, P₂, P₃; eine Pyramide mit der Grundfläche H₂H₃P₃P₂ (was ein Trapez ist) und der Höhe, die der Höhe des Dreiecks H₂H₃P₁ entspricht. Deren Volumen addierst du zu der des Prismas.

Das Ganze machst du nun für alle Dreiecke, die zu deiner Baugrube gehören. (Wenn welche nur partiell dazugehören, musst du die noch teilen.)

See ya up the road,
Gunnar

PS:
Ich hoffe, ich hab das richtig verstanden, dass du in die Tiefe, also in z-Richtung buddeln willst.