Mathematik zum Wochenende - Lösung und Zusatzaufgabe

[beatovich]

hallo

Hallo Matthias Apsel,

@Gunnar Bittersmann schrieb mir: „Die Intuition sagt: Das ist die Art von Behauptungen, die man indirekt beweist.“ - Recht hat er. Ebenso wie @Rolf B hat er (aber beide etwas anders) die Behauptung durch einen indirekten Beweis bewiesen. Ich auch, aber anders als die beiden, nämlich unter Verwendung der 3. binomischen Formel (😝).

Annahme: $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ ist rational

Es gilt: $$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\cdot\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b$$

Da $$a-b$$ rational ist, müssen beide Faktoren rational sein.

Sicher? nehmen wir an, der eine Faktor sei phi und das andere 1/phi

wobei: phi = a^0.5 + b^0.5

und: 1/phi = a^0.5 - b^0.5