Kreisbahn mit 3 Mittelpunkten

[Tim Walter]

Hallo

ersteinmal die mir bekannten
(zur besseren Erläuterung was ich suche):

1. ein Kreis wird beschrieben durch:
   1a) einen Mittelpunkt und eine gleichen Abstand davon
   1b) koordinaten erhält man durch
   x=Radius*sin(alpha)
   y=Radius*cos(alpha)

2. eine Elipse
   2a) zwei Mittelpunkte mit der gleichen Summe der Abstände zu den Punkten
   2b) koordinaten erhält man durch
   x=Radius_1*sin(alpha)
   y=Radius_2*cos(alpha)

und die grosse Frage:
3) ein Dings (eine Rundes geschehen mit drei Mittelpunkten)
gibt es dafür einen Namen?
3a) drei Mittelpunkte mit der gleicher Summe der Abstände zu den Punkten
3b) koordinaten erhält man durch?
gibt es hierfür eine mathematische Beschreibung der Umlaufkoordinaten, die man leicht programmieren kann?

Danke im Voraus
 Tim

[Cruz]

Hallo Tim,

1. ein Kreis wird beschrieben durch:
   1a) einen Mittelpunkt und eine gleichen Abstand davon
   1b) koordinaten erhält man durch
   x=Radius*sin(alpha)
   y=Radius*cos(alpha)

Naja...eigentlich ist es:
x = r * cos(alpha)
y = r * sin(alpha)

2. eine Elipse
   2a) zwei Mittelpunkte mit der gleichen Summe der Abstände zu den Punkten
   2b) koordinaten erhält man durch
   x=Radius_1*sin(alpha)
   y=Radius_2*cos(alpha)

Man müsste hier noch präziserweise sagen, dass der Abstand fest ist, weil es ja zu den zwei Brennpunkten F1 und F2 für jeden beliebigen Abstand > |F1F2| eine Ellipse gibt. Deine Berechnung der x und y Koordinaten kann ich nicht nachvollziehen und ist meiner Meinung nach nicht richtig. Die x-Koordinate zum Beispiel hängt von beiden Parametern a und b ab. Und was soll eigentlich Radius 1 sein? Hier steht alles über eine Ellipse (u.a. auch was a und b sind):

http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

und die grosse Frage:
3) ein Dings (eine Rundes geschehen mit drei Mittelpunkten)

Das ist eine interessante Frage, ich grübele gerade drüber nach. Mein Bauchgefühl sagt aber shcon mal dass es kein Rundes geschehen sein wird, sondern eher etwas flächenartiges. Mehr dazu wenn ich es genau weiss.

Gruß
Cruz

[Tim Walter]

Hallo Cruz

und die grosse Frage:
3) ein Dings (eine Rundes geschehen mit drei Mittelpunkten)

Das ist eine interessante Frage, ich grübele gerade drüber nach.
Mein Bauchgefühl sagt aber shcon mal dass es kein Rundes
geschehen sein wird, sondern eher etwas flächenartiges.

Man kann das ja ganz einfach erzeugen! du machst 3 heftzwecken auf ein brett. Zwei dichter zusammen und eine weiter weg. Dann machst du eine Schnurrschlaufe legst sie um die drei Heftzwecken. (bisschen locker = der Radius) steckst einen Stift in die Schlaufe, spannst das Seil, setzt den stift auf und drehst rum.
Wie man als kind eine ellipse gebaut hat, nur halt nicht mit 2 sondern 3 punkten.

Wenn ich wenigstens einen namen dazu hätte, dann würde ich ja googeln wie ein bekloppter, aber wenn man den namen nicht kennt, bekommt man nur 6,9 mio seiten mit planeten-bahnen. arg

Mehr dazu wenn ich es genau weiss.

das wäre cool.

cu Tim

[Ole]

Hi

Wie man als kind eine ellipse gebaut hat, nur halt nicht mit 2 sondern 3 punkten.

Wenn ich dich richtig verstehe, erhält man dann im Prinzip sowas wie ein Dreieck mit runden Ecken?

so long
Ole (zur Zeit ohne die Möglichkeit einer Versuchsanordnung :( )
(8-)>

[Tim Walter]

Hi

Wie man als kind eine ellipse gebaut hat, nur halt nicht mit 2 sondern 3 punkten.

Wenn ich dich richtig verstehe, erhält man dann im Prinzip
sowas wie ein Dreieck mit runden Ecken?

und bauchigen kanten.
ja richtig.

Ole (zur Zeit ohne die Möglichkeit einer Versuchsanordnung :( )

das schreit nach einem Bureau-Bedarf update ;-)

cu Tim

[yetanotheruser]

Sieht aus wie ne Haselnuss.

[Tim Walter]

Sieht aus wie ne Haselnuss.

es soll aussehen wie die Bahnen, des Maschinendecks der USS-Enterprise TNG ;-)

auch wenn ich jetzt keine antworten von den star trek hassern bekomme :-(

cu Tim

[Hans]

Hi !

Meinst Du vielleicht ein Kugeldreieck ?

http://de.wikipedia.org/wiki/Kugeldreieck

Gruß

Hans

[Tim Walter]

Hallo Hans

Meinst Du vielleicht ein Kugeldreieck ?

http://de.wikipedia.org/wiki/Kugeldreieck

nein definitiv nicht.
aber geometrisch auch ein sehr interressantes thema, wie ich gerade erlesen habe.

cu tim

[Cruz]

Man kann das ja ganz einfach erzeugen! du machst 3 heftzwecken auf ein brett. Zwei dichter zusammen und eine weiter weg. Dann machst du eine Schnurrschlaufe legst sie um die drei Heftzwecken. (bisschen locker = der Radius) steckst einen Stift in die Schlaufe, spannst das Seil, setzt den stift auf und drehst rum.

Ach sooo meinst du das. Du erhältst dann allerdings ein anderes Gebilde, als was du als erstes beschrieben hast:

und die grosse Frage:

3. ein Dings (eine Rundes geschehen mit drei Mittelpunkten)
   gibt es dafür einen Namen?
   3a) drei Mittelpunkte mit der gleicher Summe der Abstände zu den Punkten

Bei der Heftzweckengeschichte bleibt die Summe der Abstände zu den 3 Brennpunkten nämlich nicht immer gleich und das kann ich auch beweisen:

Wenn du wie du beschrieben hast eine Schlaufe um die 3 Zwecken legst, sie spannst und dabei den Stift rumdrehst, dann ergibt sich für jeden Punkt eine Situation, wo die Schlaufe ausschließlich durch den Stift und die beiden anderen Punkte aufgespannt wird. Der dritte Punkt ist dann quasi irgendwo im Dreieck aufgespannt durch Stift und die anderen Punkte drin und berührt den Rand nicht. In dieser Situation beschreibt der Stift eine Ellipsenbahn und bewahrt somit eine feste Abstandssumme zu den beiden aufspannenden Punkten. Damit die Summe der Abstände zu allen 3 Punkten gleich bleibt, müsste also sich der Stift in dieser Situation also gleichzeitig auf einer Kreisbahn um den 3. Punkt befinden, der ja den Rand momentan nicht berührt. Und das ist ein Widerspruch.

Die neue Situation finde ich allerdings wesentlich schwieriger mathematisch zu formulieren. Ich muss weiter nachdenken.

Cruz

Wie man als kind eine ellipse gebaut hat, nur halt nicht mit 2 sondern 3 punkten.

Wenn ich wenigstens einen namen dazu hätte, dann würde ich ja googeln wie ein bekloppter, aber wenn man den namen nicht kennt, bekommt man nur 6,9 mio seiten mit planeten-bahnen. arg

Mehr dazu wenn ich es genau weiss.
das wäre cool.

cu Tim

[Cruz]

Hallo Tim,

OK ich sehe "das Ding" jetzt vor mir. Als Ansatz zur Berechnung der Figur habe ich nur folgenden noch sehr theoretischen (also lebschen) Vorschlag. Male dir drei Punkte auf ein Blatt und Zeichne eine lange Gerade durch je zwei Punkte hindurch. Die Geraden teilen die Ebene in disjunkte Bereiche auf. Für jeden Bereich lässt sich eindeutig ein Punktepaar und ein "Radius" wie du das nennst identifizieren, die eine Ellipsenbahn durch diesen Bereich beschreiben. Man mass also für jeden Bereich eine eigene Ellipsenbahn mit individuellen Parametern bestimmen und zum Schluss alle Ellipsenstücke zusammenfügen.

Übrigens, nur am Rand eines solchen Bereiches, also da wo der Stift genau auf einer Gerade durch zwei von den drei Punkten liegt, nur da berühren alle 3 Punkte den Rand. An allen anderen Stellen ist es ganz klar eine Ellipsenbahn.

Gruß,
Cruz

[Skeeve]

Moin!

Das ist eine interessante Frage, ich grübele gerade drüber nach. Mein Bauchgefühl sagt aber shcon mal dass es kein Rundes geschehen sein wird, sondern eher etwas flächenartiges. Mehr dazu wenn ich es genau weiss.

So könnte sowas aussehen:

Volle Größe
-- Skeeve

[Tim Walter]

hallo Skeeve

Moin!

Das ist eine interessante Frage, ich grübele gerade drüber nach. Mein Bauchgefühl sagt aber shcon mal dass es kein Rundes geschehen sein wird, sondern eher etwas flächenartiges. Mehr dazu wenn ich es genau weiss.
So könnte sowas aussehen:

Volle Größe

ja das sieht schon ganz gut aus.
nach der Idee mit der Suche nach 3 Brennpunkten bin ich mittlerweile auch schon auf diese Formel gestossen.

Aber ... ich möchte es nicht zugeben... aber meine vektorrechnung ist ein wenig eingerostet... wie trenne ich das denn jetzt am klügsten um ne formel für die X und Y Koordinate zu bekommen?

cu Tim

[Cruz]

ja das sieht schon ganz gut aus.
nach der Idee mit der Suche nach 3 Brennpunkten bin ich mittlerweile auch schon auf diese Formel gestossen.

Also welche Figur suchst du denn jetzt? Die, wo die Summe der Abstände zu den 3 Brennpunkten stets gleich eine Konstante ist? Oder die, wo wu den Stift in einer aufgespannten Schlaufe mit fester Länge um die 3 Punkte herum führst?

[Tim Walter]

ja das sieht schon ganz gut aus.
nach der Idee mit der Suche nach 3 Brennpunkten bin ich mittlerweile auch schon auf diese Formel gestossen.

Also welche Figur suchst du denn jetzt? Die, wo die Summe der Abstände zu den 3 Brennpunkten stets gleich eine Konstante ist? Oder die, wo wu den Stift in einer aufgespannten Schlaufe mit fester Länge um die 3 Punkte herum führst?

Das mit der Schnurr war nur so ein gedanke,
weil ich dass von der ellipse so wusste.
aber du scheinst recht zu haben.

So genau ist mir das leider auch nicht klar.

aussehen soll es so:
http://www.seewetterbericht.de/ding.gif
ist nicht so optimal gemalt sorry. aber die form trifft es... abgesehen von den kleinen dellen.

cu tim

[Ole]

hi

aussehen soll es so:
http://www.seewetterbericht.de/ding.gif

und wo sind die erwähnten punkte?

so long
Ole
(8-)>

[Tim Walter]

Hallo

aussehen soll es so:
http://www.seewetterbericht.de/ding.gif

und wo sind die erwähnten punkte?

die habe ich noch nicht....
bin ja erstmal auf der Suche nach einer groben beschreibenden Formel, um dann die punkte und radien via try and error zu finden.

cu Tim

[Cruz]

Das mit der Schnurr war nur so ein gedanke,

Na gut dann also zurück zur ersten Aufgabenstellung. Die Gleichung, die die Punktmenge beschreibt ist in diesem Thread ja schon aufgetaucht:

Wir suchen die Punkte (Koordinaten) (x,y) für die bei fest vorgegebenen 3 Punkten p1, p2 und p3 und einer Konstante z gilt:

z = sqrt( (p1x - x)^2 + (p1y - y)^2 ) + sqrt( (p2x - x)^2 + (p2y - y)^2 ) + sqrt( (p3x - x)^2 + (p3y - y)^2 )

p1x heisst dann z.B. die x Koordinate von p1.

Mann kann diese Gleichung umformen und nach x auflösen, sodass man dann x in Abhängigkeit von y bekommt. Ich kann das jedenfalls nicht per Hand, das soll bitte jemand anders machen, oder vielelicht kann jemand maple dazu überreden. Wenn du diese Gleichung hast, dann kannst du sie ja irgendinem Plotter füttern.

Gruß,
Cruz

[Tim Walter]

Hallo Cruz

z = sqrt( (p1x - x)^2 + (p1y - y)^2 ) + sqrt( (p2x - x)^2 + (p2y - y)^2 ) + sqrt( (p3x - x)^2 + (p3y - y)^2 )

p1x heisst dann z.B. die x Koordinate von p1.

ja ist klar.
auf diese weise kann man ja auch einen kreis beschreiben.

Mann kann diese Gleichung umformen und nach x auflösen, sodass man dann x in Abhängigkeit von y bekommt. Ich kann das jedenfalls nicht per Hand, das soll bitte jemand anders machen, oder vielelicht kann jemand maple dazu überreden.

Mir erschliesst sich gerade, dass dies zwar den ... wer hatte nochmal hinkelstein gesagt ... beschreibt, allerdings nicht auf dem wege, wie ich mir das vorgestellt hatte.

Ich erhoffe mir eigendlich eine Radius/Winkel-Funktion,
um die Bahn zu beschreiten, da ich eigendlich nur koordinaten in festen winkeln benötige (0°,10°,20°, ....) und das für verschiedene Radien (in verschiedenen Ebenen).

um bei der obrigen formel den radius zu ändern müsste ich mir ja immer die prunkte neu suchen. das würde mein vorhaben stark erschweren.

cu Tim

[Sven Rautenberg]

Moin!

Das geht optisch aber noch schöner. :)

Wir suchen die Punkte (Koordinaten) (x,y) für die bei fest vorgegebenen 3 Punkten p1, p2 und p3 und einer Konstante z gilt:

Die Punkte sollten p, q und r genannt werden, die Konstante Z.

Und mit etwas [latex]LaTeX[/latex] kommt man zu:

[latex]
Z = \sqrt{(p_x - x)^2 + (p_y - y)^2} + \sqrt{ (q_x - x)^2 + (q_y - y)^2 } + \sqrt{ (r_x - x)^2 + (r_y - y)^2 }
[/latex]

Mann kann diese Gleichung umformen und nach x auflösen, sodass man dann x in Abhängigkeit von y bekommt.

Daran zweifle ich allerdings ein wenig. x steht als Summand eines Quadrates unter den Wurzeln, ebenso wie y - das kriegt man da nur schwer rausgefummelt, zumindest gibts keinen offensichtlichen Weg dafür. Und ich erwarte auch nicht, dass das Resultat übersichtlich kurz ist. :)

Insbesondere dürfte deine Aussage, dass man x in Abhängigkeit von y bekommt, falsch sein. Man bekommt mindestens ZWEI y für jedes X, manchmal auch genau ein y, und manchmal gar keins, weil der zu erwartende Graph zumindest für manche Werte von Z, p, q und r annähernd Kreisform hat. Eine einfache y=f(x)-Darstellung dürfte dabei nur sehr schwierig rauskommen. Hingegen scheint der Ansatz, eine Darstellung r=f(α), also Radius in Abhängigkeit vom Winkel, mit Parametern für den Drehmittelpunkt, zu finden, irgendwie erfolgversprechender - zumindest aber hinterher leichter handhabbar.

Sowas entwickelt man aber vermutlich auch lieber komplett neu, anstatt deine Formel dahin umzuformen. :)

- Sven Rautenberg

[Cruz]

Hallo Sven,

Das geht optisch aber noch schöner. :)

Ja, nach etwa 5 Jahren hier im Forum sollte ich mir vielleicht wirklich mal die Hilfe durchlesen. :)

Mann kann diese Gleichung umformen und nach x auflösen, sodass man dann x in Abhängigkeit von y bekommt.

Daran zweifle ich allerdings ein wenig. x steht als Summand eines Quadrates unter den Wurzeln, ebenso wie y - das kriegt man da nur schwer rausgefummelt,

Ich habe auch nie behauptet, dass das leicht ist. Im Gegenteil, ich habe von vorn herein gesagt, dass ich dazu nicht in der Lage bin. Aber es kann ja sein dass einige Forumteilnehmer hier solche Formeln zum Frühstück essen.

Insbesondere dürfte deine Aussage, dass man x in Abhängigkeit von y bekommt, falsch sein. Man bekommt mindestens ZWEI y für jedes X, manchmal auch genau ein y, und manchmal gar keins,

Ja das ist richtig, es gibt mehrere Lösungen, aber deswegen ist die Aussage nicht falsch. Wenn man x in Abh. von y darstellt, also eine Funktion der Form x = f(y) lösen will, dann ist es ja nicht verboten, dass man mehrere x-e zu _einem_ y bekommt. Und so war es ja auch gedacht.

Hingegen scheint der Ansatz, eine Darstellung r=f(α), also Radius in Abhängigkeit vom Winkel, mit Parametern für den Drehmittelpunkt, zu finden, irgendwie erfolgversprechender - zumindest aber hinterher leichter handhabbar.

Ja das ist wohl war, es fühlt sich besser an. Aber man muss dann noch  beweisen, dass stets ein Punkt im Inneren des Hinkelsteins existiert, sodass jeder Strahl ausgehend von diesem Punkt den Rand des Hinkelsteins genau einmal schneidet. Sonst ist die Winkel - Abstandsfunktion auch nicht eindeutig.

Wie auch immer, ich persönlich würde hier schnellstens die mathematische Ebene verlassen und einfach eine doppelte Schleife über alle x und y Koordinaten drehen und für jedes (x,y) Paar prüfen, ob sie die obige Glg. (Umformung nicht nötig) erfüllt. Falls ja -> Pixel schwarz, sonst weiss.

Gruß,
Cruz

[Sven Rautenberg]

Moin!

Wie auch immer, ich persönlich würde hier schnellstens die mathematische Ebene verlassen und einfach eine doppelte Schleife über alle x und y Koordinaten drehen und für jedes (x,y) Paar prüfen, ob sie die obige Glg. (Umformung nicht nötig) erfüllt. Falls ja -> Pixel schwarz, sonst weiss.

Dann aber lieber eine Ungleichung draus machen, ansonsten mußt du den Graphen koordinatenmäßig exakt treffen, um einen Pixel zu setzen.

Danach einfach noch eine Rekursion hinzufügen und die Iterationstiefe farblich kennzeichnen, und schon hat man fraktale Hinkelmännchen. :)

- Sven Rautenberg

[Skeeve]

Moin!

Aber ... ich möchte es nicht zugeben... aber meine vektorrechnung ist ein wenig eingerostet... wie trenne ich das denn jetzt am klügsten um ne formel für die X und Y Koordinate zu bekommen?

Für y in Abhängigkeit von x braucht es aber keine Vektorrechnung. Da reichen Dir quadratische Gleichungen.

Wenn Du beide berechnen willst, in Abhängigkeit von ... ja von was? Dann  mußt Du erstmal das "was" definieren. Ein Winkel? Von welchem Punkt ausgehend?

-- Skeeve

[Tim Walter]

Hallo Skeeve

Wenn Du beide berechnen willst, in Abhängigkeit von ... ja von was? Dann  mußt Du erstmal das "was" definieren. Ein Winkel? Von welchem Punkt ausgehend?

ne allgemeine formel für beide koordinaten wäre schön.
winkel wollte ich einmal rumlaufen.

cu tim

[Skeeve]

Moin!

ne allgemeine formel für beide koordinaten wäre schön.
winkel wollte ich einmal rumlaufen.

Den Winkel zu welchem Punkt? Bedenke aber: die 3 liegen nicht notwendigerwiese im Inneren des Hinkelsteins (So sieht Deine Skizze aus, wie Obelix Hinkelstein).

Wahrscheinlich fährst Du besser, Du berechnest für jede X Koordinate die 2 Y Koordinaten.

Winkel hätte zudem noch das Problem, daß Du nicht weißt, wie groß die Winkelabstände sein müssen, damit Du eine durchgängige Linie bekommst.

Nun gut... Das ist auch bei y=f(x) der Fall, daß Du da nicht-notwendigerweise eine durchgezogene Linie erhältst.

-- Skeeve

[seth_not@home]

gudn tach!

1. ein Kreis wird beschrieben durch:
   1a) einen Mittelpunkt und eine gleichen Abstand davon

das ist moeglich, aber nicht die einzige moeglichkeit, einen kreis zu beschreiben.

2. eine Elipse
   2a) zwei Mittelpunkte mit der gleichen Summe der Abstände zu den Punkten

nee. gewoehnliche ellipsen haben auch nur einen mittelpunkt. was du vermutlich meinst, sind die brennpunkte.

und die grosse Frage:
3) ein Dings (eine Rundes geschehen mit drei Mittelpunkten)
gibt es dafür einen Namen?

wenn du die anzahl der brennpunkte meinst, dann kannst du mal nach "drei brennpunkte" oder "ellipsen mit drei brennpunkten" suchen.

prost
seth

[Hans]

Hi Tim,

bringt Dir vielleicht folgendes etwas:

1.) male eine liegende Ellipse
2.) male eine zweite liegende Ellipse, die kleinere Radien als die erste hat, dafür mit ihrem Mittelpunkt sehr weit nach rechts verschoben ist, sich aber immer noch innerhalb der Ersten befindet und die erste Ellipse insgesamt viermal schneidet.
3.) male mit einem Filzstift die erste Ellipse nach. Beginne an der linken Stelle. Fahre solange die erste Ellipse nach, bis sie die zweite ein zweites Mal schneidet.
4.) jetzt fahre die zweite Ellipse solange nach, bis sie die erste Ellipse das dritte mal geschnitten hat.
5.) jetzt fahre die erste Ellipse ungeachtet des vierten Schnitts bis zum Startpunkt nach. Heraus kommt eine Art auf der Seite liegendes Ei. (Den "Rumpf" bildet die erste Ellipse, den "Kopf" die zweite Ellipse). Stellst Du Dir so etwas vor?

Gruß

Hans

[Tim Walter]

Hallo
und danke an alle.

ich hab da einen für mich halbwegs akzeptabeln lösungsansatz gefunden:

ich habe mir aus dem "Hinkelstein" (Ei, Dings, ...) den Mittelpunkt gesucht.

Habe eine Messreihe
Winkel (in 10° von 0°-180°) zu Abstand aufgenommen!
eine Newtoninterpolation gestartet. heraus kam:

Radius = 44.4 - 0.5*Winkel + 1.84*Winkel^3 - 8.75*Winkel^4

werde den Radius im Verhältnis an meine Wunschradien anpassen und
das mit einem sin() / cos() Kreisumlauf machen.

nochmals danke für alle Anregungen gedanken und Versuche.

cu Tim

[Tim Walter]

Hallo

nochmal ...
sorry aber ich hab mich um ein paar zehnerstellen verhauen....
mit der richtigen anpassung lautet die formel:

float n=winkel;

float radiusfaktor_winkel=
1.8486623673808533

• 0.02217265194684*n

• 0.000099113320851516*n*n
• 0.00000080644580139977*n*n*n

• 0.000000003755756515218*n*n*n*n;

der radiusfaktor_winkel ist bei der schmalsten stell 1!

im winkel von 0..180°

die andere Seite ist ja äquivalent, nur halt spiegelverkehrt.

cu Tim