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Hallo,
Das, was Don P. hier intuitiv als Abstand wahrnimmt, ist der Hausdorff-Abstand der Wege. Und die Folge der Zickzackwege konvergiert tatsaechlich in der Hausdorff-Metrik gegen den Diagonalweg.
Ja, sieht so aus. Hatte noch nie von Hausdorff gehört, aber hier liegt anscheinend der Hund begraben: Der direkte Weg und ein angenäherter Weg bilden irgendwie einen Hausdorff-Raum, bzw. sie sind vermutlich homöomorph. Zum homöomorphismus heißt es bei Wikipedia: "Wenn zwei topologische Räume homöomorph sind, dann haben sie exakt dieselben topologischen Eigenschaften. [...] Dies gilt aber nicht für Eigenschaften, die über eine Metrik definiert sind;" Die Längeneigenschaft in meinem Beispiel ist aber wohl metrisch definiert.
Wenn man also die Länge des Weges im entlang der Achsen eines zweidimensinalen Koordinatensystems misst, so bleibt diese immer konstant, egal wie man den Weg durch Um-die-Ecke-Falten an die direkte Verbindung annähert. Diese direkte Verbinung ist und bleibt ja nur eindimensional, vermutlich eine topologische 1-Mannigfaltigkeit, oder eine 2-Mannigfaltigkeit zusammen mit den möglichen rechtwinklig angenäherten Wegen? Die Länge der Direktverbindung erhält man über den metrischen Tensor der Ebene. Am Ende des Artikels dort steht offenbar der Satz des Pythagoras.
Mit einer so einfachen Fragestellung wie meiner im Ausgangsposting landet man anscheinend schnell bei der höheren Mathematik, unweit der Relativitätstheorie, *seuftz*
Gruß, Don P
Gunnar Bittersmann
Der Martin
JürgenB