+ Sonstiges - "überabzählbar unendlich" Was ist das?

[romy]

Hallöchen,

jetzt bin ich überfragt. Habe gerade versucht jemandem ohne Programmierkenntnisse die Datentypen von XML näherzubringen und bin dabei über die Wörter "abzählbar unendlich" und "überabzählbar unendlich" gestolpert.

Was kann ich mir denn darunter vorstellen?

Laut dem Glossar der XML-Spec. des W3C gibt es diese Begrifflichkeiten (zu finden unter Kardinalität) in Bezug auf den Wertebereich von Datentypen.

Sind überabzählbare unendliche Wertebereiche dann die imaginären zahlen? Aber warum sollte unendlich überhaupt abzählbar sein?

ciao
romy, *wunder*

[Sven Rautenberg]

Moin!

jetzt bin ich überfragt. Habe gerade versucht jemandem ohne Programmierkenntnisse die Datentypen von XML näherzubringen und bin dabei über die Wörter "abzählbar unendlich" und "überabzählbar unendlich" gestolpert.

Was kann ich mir denn darunter vorstellen?

"Unendlich" sollte klar sein: Man kann immer weitermachen, ohne an ein Ende zu gelangen.

"Abzählbar" sind Zahlen dann, wenn man ganz genau weiß, welches die nächste Zahl ist, und die auch eindeutig benennen kann. Die natürlichen Zahlen sind abzählbar unendlich: 1, 2, 3, 4,... man kennt ganz genau die nächste Zahl, hat aber kein Ende.

"Überabzählbar" sind Zahlen, wenn man zwischen zwei bekannten Zahlen unendlich viele Zwischenwerte finden kann. Dann kann man nicht mehr einfach den Nachfolger einer Zahl bestimmen.

Sind überabzählbare unendliche Wertebereiche dann die imaginären zahlen? Aber warum sollte unendlich überhaupt abzählbar sein?

Imaginäre Zahlen sind im Prinzip nur zweimal reelle Zahlen. Und da reelle Zahlen überabzählbar unendlich sind, sind die imaginären Zahlen das eben auch.

- Sven Rautenberg

[romy]

Moin Sven,

"Unendlich" sollte klar sein: Man kann immer weitermachen, ohne an ein Ende zu gelangen.
"Abzählbar" sind Zahlen dann, wenn man ganz genau weiß, welches die nächste Zahl ist, und die auch eindeutig benennen kann. Die natürlichen Zahlen sind abzählbar unendlich: 1, 2, 3, 4,... man kennt ganz genau die nächste Zahl, hat aber kein Ende.
"Überabzählbar" sind Zahlen, wenn man zwischen zwei bekannten Zahlen unendlich viele Zwischenwerte finden kann. Dann kann man nicht mehr einfach den Nachfolger einer Zahl bestimmen.
Imaginäre Zahlen sind im Prinzip nur zweimal reelle Zahlen. Und da reelle Zahlen überabzählbar unendlich sind, sind die imaginären Zahlen das eben auch.

Das habe ich verstanden.
Aber warum sind integer dann abzählbar unendlich, wenn sie doch im Wertebereich auf eine bestimmte Menge reduziert sind (irgendwas mit 32.000 war da doch, wenn ich mich recht entsinne)?
Und was auch komisch ist, dass die Spec. beschreibt, dass es in ihr keine überabzählbare unendliche Wertebereiche gäbe, aber float wäre doch so ein Fall?
Hab ich es doch nicht verstanden? :(

ciao
romy

[Christian Seiler]

Hallo romy,

Aber warum sind integer dann abzählbar unendlich, wenn sie doch im Wertebereich auf eine bestimmte Menge reduziert sind (irgendwas mit 32.000 war da doch, wenn ich mich recht entsinne)?

Ähm, also wenn das wirklich in der Spec steht (hab's nicht gelesen), dann widerspricht sie sich selbst - eine begrenzte, abzählbare Zahlenmenge ist nämlich nicht unendlich. Leuchtet ja auch irgendwie ein. ;-)

Und was auch komisch ist, dass die Spec. beschreibt, dass es in ihr keine überabzählbare unendliche Wertebereiche gäbe, aber float wäre doch so ein Fall?

Nein, mit float kannst Du nur rationale Zahlen (und auch nicht alle, sondern nur eine bestimmte endliche (!) Untermenge davon) darstellen - somit hast Du mit float auch keine unendliche Zahlenmenge - erst Recht keine überabzählbar unendliche.

Viele Grüße,
Christian

[Jens Holzkämper]

Tach,

Ähm, also wenn das wirklich in der Spec steht (hab's nicht gelesen), dann widerspricht sie sich selbst - eine begrenzte, abzählbare Zahlenmenge ist nämlich nicht unendlich. Leuchtet ja auch irgendwie ein. ;-)

Die Menge der rationalen Zahlen größer/gleich 0 und kleiner/gleich 1 ist eindeutig begrenzt und, da Teilmenge einer abzählbaren Menge, auch abzählbar, aber enthält trotzdem unendlich viele Elemente.

mfg
Woodfighter

[Christian Seiler]

Hallo Jens,

Ähm, also wenn das wirklich in der Spec steht (hab's nicht gelesen), dann widerspricht sie sich selbst - eine begrenzte, abzählbare Zahlenmenge ist nämlich nicht unendlich. Leuchtet ja auch irgendwie ein. ;-)

Die Menge der rationalen Zahlen größer/gleich 0 und kleiner/gleich 1 ist eindeutig begrenzt und, da Teilmenge einer abzählbaren Menge, auch abzählbar, aber enthält trotzdem unendlich viele Elemente.

*gnarf*. Ok, das »begrenzt« könnte man hier durchaus als »beschränkt« interpretieren, ich meinte aber »in der Anzahl begrenzt« - und Integer von -32000 bis 32000 gibt's halt nur begrenzt (<- so meinte ich das ;-)) viele.

Viele Grüße,
Christian

[romy]

Hi Christian,

Ähm, also wenn das wirklich in der Spec steht (hab's nicht gelesen), dann widerspricht sie sich selbst - eine begrenzte, abzählbare Zahlenmenge ist nämlich nicht unendlich. Leuchtet ja auch irgendwie ein. ;-)

Ich habe mich versehen, da ich dem Begriff "integer" gefolgt bin, wie er mir geläufig war. Es ist tatsächlich so in XML, dass decimal der Urdatentyp für nat. Zahlen ist und "integer" eine abgeleitete Form, die unendlich ist, "long" ist ein bisschen beschränkt und "int" ist weit beschränkt.
Bei den meisten Programmiersprachen ist m.E. integer beschränkt und long die erweiterte Form, aber naja, man lernt nie aus.
interessanter Teil der Spec.

Nein, mit float kannst Du nur rationale Zahlen (und auch nicht alle, sondern nur eine bestimmte endliche (!) Untermenge davon) darstellen - somit hast Du mit float auch keine unendliche Zahlenmenge - erst Recht keine überabzählbar unendliche.

So, jetzt hab ich peinlicherweise tatsächlich nochmal die Definitionen von rationalen Zahlen und reellen Zahlen lesen müssen, aber jetzt ist es klarer geworden. ;)

ciao
romy

[Christian Seiler]

Hallo romy,

Ähm, also wenn das wirklich in der Spec steht (hab's nicht gelesen), dann widerspricht sie sich selbst - eine begrenzte, abzählbare Zahlenmenge ist nämlich nicht unendlich. Leuchtet ja auch irgendwie ein. ;-)
Ich habe mich versehen, da ich dem Begriff "integer" gefolgt bin, wie er mir geläufig war. Es ist tatsächlich so in XML, dass decimal der Urdatentyp für nat. Zahlen ist und "integer" eine abgeleitete Form, die unendlich ist, "long" ist ein bisschen beschränkt und "int" ist weit beschränkt.

Na dann ist ja klar, warum da etwas von abzählbar unendlich stand. :-)

Bei den meisten Programmiersprachen ist m.E. integer beschränkt und long die erweiterte Form, aber naja, man lernt nie aus.

Naja, alle mir bekannten Programmiersprachen, die long definieren, definieren long auch als Beschränkt - aber z.B. Haskell definiert Integer als unbegrenzten Datentyp und Int als begrenzten (kennt dafür aber kein Long).

Viele Grüße,
Christian

[Thomas J.S.]

Hallo Romy,

Aber warum sind integer dann abzählbar unendlich, wenn sie doch im Wertebereich auf eine bestimmte Menge reduziert sind (irgendwas mit 32.000 war da doch, wenn ich mich recht entsinne)?

Es gibt da keine Begrenzungen:
"integer is ·derived· from decimal by fixing the value of ·fractionDigits· to be 0. This results in the standard mathematical concept of the integer numbers. The ·value space· of integer is the infinite set {...,-2,-1,0,1,2,...}."

Grüße
Thomas

[Jens Holzkämper]

Tach,

"Überabzählbar" sind Zahlen, wenn man zwischen zwei bekannten Zahlen unendlich viele Zwischenwerte finden kann. Dann kann man nicht mehr einfach den Nachfolger einer Zahl bestimmen.

das reicht noch nicht, die beschriebene Eigenschaft würde ich als dicht bezeichnen, und die betrifft auch die abzählbare Menge der rationalen Zahlen.

Um Überabzählbarkeit zu verstehen muß man eigentlich nur akzeptieren, dass es verschieden große Unendlichkeiten gibt. Abzählbar unendlich ist hier die Kleinste und überabzählbar unendlich eine etwas größere (je nach verwendetem Satz an Axiomen sogar die nächstgrößere). Das ist leider etwas schwer zu verstehen/akzeptieren, aber die Menge der reellen Zahlen ist wirklich echt größer als die Menge der natürlichen Zahlen, wohingegen es gelcih viele rationale wie natürlich Zahlen gibt. Wer sich damit etwas genauer auseinandersetzen will, sollte sich mal Cantors Diagonalargumente ansehen.

mfg
Woodfighter

[Jens Holzkämper]

Tach,

"Überabzählbar" sind Zahlen, wenn man zwischen zwei bekannten Zahlen unendlich viele Zwischenwerte finden kann. Dann kann man nicht mehr einfach den Nachfolger einer Zahl bestimmen.

das reicht noch nicht, die beschriebene Eigenschaft würde ich als dicht bezeichnen, und die betrifft auch die abzählbare Menge der rationalen Zahlen.

vergessen:

Beweis erfolgt per vollständiger Induktion sobald vorausgesetzt werden kann, dass zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen, liegt eine weitere von beiden verschiedene rationale Zahl gefunden werden kann.

mfg
Woodfighter

[Christian Seiler]

Hallo Jens,

"Überabzählbar" sind Zahlen, wenn man zwischen zwei bekannten Zahlen unendlich viele Zwischenwerte finden kann. Dann kann man nicht mehr einfach den Nachfolger einer Zahl bestimmen.

das reicht noch nicht, die beschriebene Eigenschaft würde ich als dicht bezeichnen, und die betrifft auch die abzählbare Menge der rationalen Zahlen.

»dicht« ist in meinen Augen ein etwas anderes besetzer Begriff, z.B. liegen die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen, da man für jede beliebige reelle Zahl eine Folge rationaler Zahlen konstruieren kann, die zwar unter Anwendung des Konvergenzbegriffes der rationalen Zahlen divergieren darf, unter Anwendung des Konvergenzbegriffes der reellen Zahlen jedoch konvergiert. Oder die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen im Intervall [a,b] der reellen Zahlen ([latex]C^1([a,b]_{\mathbb{R}})[/latex]) liegt dicht in der Menge der stetigen Funktionen ([latex]C^0([a,b]_{\mathbb{R}})[/latex]) im Intervall [a,b] (wobei ich bei diesem Beispiel natürlich die Frage stellt, welchen Konvergenzbegriff man hier für [latex]C^0([a,b]_{\mathbb{R}})[/latex] wählt - ich meine aber, dass das mit gleichmäßiger Konvergenz noch funktioniert, da ja jede auf einem geschlossenen Intervall stetige Funktion auf diesem auch gleichmäßig stetig ist - aber sicher, ob ich so argumentieren darf, bin ich mir nicht; schlimmstenfalls wählt man schlichtweg nur die punktweise Konvergenz, das klappt auf jeden Fall).

Um den ursprünglichen Sachverhalt in meinen Augen etwas einfacher zu formulieren: Es gibt in einem belibigen Intervall auf der Zahlengerade unendlich viele rationale Zahlen (z.B. auch zwischen 3 und 4). Wenn man allerdings z.B. mal das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises (neuerdings, d.h. seit etwas über 2000 Jahren, bezeichnet man das auch als Pi) berechnen will, dann kann man mathematisch beweisen, dass dieses Verhältnis keine rationale Zahl sein kann. Aber man kann wunderbar zeigen, dass dieses Verhältnis irgendwo zwischen 3 und 4 liegen muss - genaugenommen sogar zwischen 3.1 und 3.2 usw. usf. Und vor allem: Man kann sich eine Folge von rationalen Zahlen konstruieren, von der man zeigen kann, dass sie gerade gegen Pi gehen. Man kann also Pi mit rationalen Zahlen "eingrenzen" oder "annähern" - Pi ist aber keine rationale Zahl. Man kann sich das so vorstellen, dass es zwar unendlich viele rationale Zahlen gibt, diese aber noch "Lücken" aufweisen - und in diesen Lücken befinden sich gerade die irrationalen Zahlen - zusammen mit den rationalen Zahlen sind das die reellen Zahlen. Diese reellen Zahlen kann man im Gegensatz zu den rationalen Zahlen nicht abzählen - d.h. man kann sich Vorschriften überlegen, wie man *alle* rationalen Zahlen durchnummeriert mit 1, 2, 3, ..., dies geht aber *nicht* mit reellen Zahlen, man kann bei den reellen Zahlen beweisen, dass sobald man eine vermeintliche Vorschrift zum Durchzählen gefunden hat, man immer noch weitere reelle Zahlen findet, die nicht von dieser Vorschrift erfasst wurden.

Viele Grüße,
Christian

[Jens Holzkämper]

Tach,

»dicht« ist in meinen Augen ein etwas anderes besetzer Begriff

hast natürlich recht, in diesem Falle habe ich einen Fachbegriff falsch verwendet; nämlich so, wie mein Mathelehrer in der 7. Klasse ihn verwendete.

mfg
Woodfighter

[Gunnar Bittersmann]

Hello out there!

»dicht« ist in meinen Augen ein etwas anderes besetzer Begriff,

Ich kenne „dicht“ auch in der Bedeutung: Ein Zahlenbereich X ist dicht, wenn es für beliebige a, b ∈ X, a < b ein c ∈ X gibt, so dass gilt a < c < b.

Für den Bereich der rationalen Zahlen gilt das: das arithmetische Mittel zweier rationaler Zahlen ist rational und liegt zwischen den beiden.

See ya up the road,
Gunnar

[Christian Seiler]

Hallo Gunnar,

»dicht« ist in meinen Augen ein etwas anderes besetzer Begriff,

Ich kenne „dicht“ auch in der Bedeutung: Ein Zahlenbereich X ist dicht, wenn es für beliebige a, b ∈ X, a < b ein c ∈ X gibt, so dass gilt a < c < b.

Für den Bereich der rationalen Zahlen gilt das: das arithmetische Mittel zweier rationaler Zahlen ist rational und liegt zwischen den beiden.

Laut Wikipedia haben wir beide Recht: http://de.wikipedia.org/wiki/Dicht_(Mathematik) ;-) Dort kommt der Begriff dicht nämlich in genau den beiden Bedeutungen vor, wie wir sie hier abgehandelt haben.

Viele Grüße,
Christian

[Gunnar Bittersmann]

Hello out there!

aber die Menge der reellen Zahlen ist wirklich echt größer als die Menge der natürlichen Zahlen, wohingegen es gelcih viele rationale wie natürlich Zahlen gibt.

Den Begriff „gleich viele“ sollte man bei unendlichen Mengen wohl besser meiden (und „gelcih viele“ erst recht ;-)), besser sagt man, die Mengen sind „gleichmächtig“.

Es gibt rationale Zahlen, die nicht natürliche Zahlen sind, also ist die Menge der natürlichen Zahlen eine echte Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen; die Menge der rationalen Zahlen eine echte Obermenge der Menge der natürlichen Zahlen, also auch „wirklich echt größer“, obwohl beide Mengen gleichmächtig sind.

See ya up the road,
Gunnar

[Jens Holzkämper]

Tach,

Den Begriff „gleich viele“ sollte man bei unendlichen Mengen wohl besser meiden (und „gelcih viele“ erst recht ;-)), besser sagt man, die Mengen sind „gleichmächtig“.

aber wenn man gelcihmächtig™ ;-) sagt, dann fallen die Paradoxien des Unendlichen nicht mehr so schön auf. Recht hast du natürlich, durch die Abstraktion die der koplizierter klingenden Begriff mitbringt, scheint es einfacher zu sein zu akzeptieren, dass die Mengen die selbe Anzahl an Elementen haben.

mfg
Woodfighter

[Gunnar Bittersmann]

Hello out there!

"Überabzählbar" sind Zahlen, wenn man zwischen zwei bekannten Zahlen unendlich viele Zwischenwerte finden kann.

Nein. Wie schon gesagt wurde, die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar. Auch die Menge der algebraischen reellen Zahlen (das sind alle Wurzelausdrücke) ist abzählbar.

Eine Menge ist abzählbar, wenn sie endlich ist oder wenn es eine bijektive Abbildung zur Menge der natürlichen Zahlen gibt.

See ya up the road,
Gunnar

[Bio]

Sup!

Nein. Wie schon gesagt wurde, die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar. Auch die Menge der algebraischen reellen Zahlen (das sind alle Wurzelausdrücke) ist abzählbar.

Bei den rationalen Zahlen muss man natürlich sowohl den Zähler als auch den Nenner einschränken, um irgendwas abzählen zu können. Insofern ist die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen nicht unbedingt intuitiv, weil die Menge der rationalen Zahlen im Vergleich mit den natürlichen Zahlen sozusagen N² groß ist.

Eine Menge ist abzählbar, wenn sie endlich ist oder wenn es eine bijektive Abbildung zur Menge der natürlichen Zahlen gibt.

Tja... die Menge der rationalen Zahlen ist nicht endlich und wahrscheinlich auch nicht bijektiv auf die natürlichen Zahlen abbildbar - oder hast Du die Formel?

Gruesse,

Bio

[Gunnar Bittersmann]

Hello out there!

Insofern ist die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen nicht unbedingt intuitiv,

Intuitivität liegt im Auge des Betrachters. Und Nichtintuitivität kommt in der Mathematik auch öfter vor.

weil die Menge der rationalen Zahlen im Vergleich mit den natürlichen Zahlen sozusagen N² groß ist.

ℕ² und ℕ sind gleichmächtig.

Tja... die Menge der rationalen Zahlen ist nicht endlich und wahrscheinlich auch nicht bijektiv auf die natürlichen Zahlen abbildbar

Doch, das ist sie.

• oder hast Du die Formel?

Wie schon gesagt wurde: Cantors Diagonalisierung.

See ya up the road,
Gunnar

[MudGuard]

Hi,

Bei den rationalen Zahlen muss man natürlich sowohl den Zähler als auch den Nenner einschränken, um irgendwas abzählen zu können. Insofern ist die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen nicht unbedingt intuitiv,weil die Menge der rationalen Zahlen im Vergleich mit den natürlichen Zahlen sozusagen N² groß ist.

Nö, kleiner.

1/2 ist die gleiche Zahl wie 2/4, 3/6, 4/8 ...
2/3 ist die gleiche Zahl wie 4/6, 6/9, ...
...

Für jede der unendlich vielen rationalen Zahlen gibt es unendlich viele Zähler-Nenner-Darstellungsformen. Die Anzahl der rationalen Zahlen ist also nicht das Quadrat der Anzahl der natürlichen Zahlen.

cu,
Andreas

[Gunnar Bittersmann]

Hello out there!

Nö, kleiner.

Ähm, nö.

Die Anzahl der rationalen Zahlen ist also nicht das Quadrat der Anzahl der natürlichen Zahlen.

Wie ich in https://forum.selfhtml.org/?t=133030&m=861554 schon andeutete, ist die Verwendung des Begriffs „Anzahl“ bei unendlichen Mengen nicht sinnvoll.

Man sollte nur von „Mächtigkeit“ („Kardinalität“) sprechen; und die ist für ℕ², ℚ und ℕ gleich.

See ya up the road,
Gunnar

[Gunnar Bittersmann]

Hello out there!

Tja... die Menge der rationalen Zahlen ist nicht endlich und wahrscheinlich auch nicht bijektiv auf die natürlichen Zahlen abbildbar - oder hast Du die Formel?

Jetzt auch die. Der Einfachhalt halber nicht für ℚ ↔ ℕ, sondern für ℕ² ↔ ℕ. Wie [MudGuard] sagte, müsste bei ℚ noch auf die Teilerfremdheit von Zähler und Nenner geachtet werden.

Folgende Durchnumerierung der Paare (x₁, x₂):

x₁  0  1  2  3  4 ⋯
x₂
0     0  1  4  9 16
1     3  2  5 10 17
2     8  7  6 11 18
3    15 14 13 12 19
4    24 23 22 21 20
⋮                  ⋱

Die Nummer y ergibt sich aus:
[latex]f: \mathbb{N}^2 \longrightarrow \mathbb{N}[/latex]
[latex]y = f(x_1,x_2) = \begin{cases} x_1^2+x_2, & x_1 \ge x_2 \ \left( x_2+1\right) ^2-x_1-1, & x_1 < x_2 \end{cases}[/latex]

Andersherum ergibt sich (x₁, x₂) aus der Nummer:
[latex]f^{-1}: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}^2[/latex]
[latex]\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = f^{-1}(y) = \begin{cases} \begin{pmatrix} \lfloor \sqrt{y} \rfloor \ y- \lfloor \sqrt{y} \rfloor^2 \end{pmatrix}, & y - \lfloor \sqrt{y} \rfloor ^2 \le \lfloor \sqrt{y} \rfloor +1 \ \begin{pmatrix} \left( \lfloor \sqrt{y} \rfloor +1 \right)^2-y-1 \ \lfloor \sqrt{y} \rfloor \end{pmatrix}, & y - \lfloor \sqrt{y} \rfloor ^2 > \lfloor \sqrt{y} \rfloor +1\end{cases}[/latex]

See ya up the road,
Gunnar

PS: [latex]\lfloor a \rfloor[/latex] bedeutet floor(a)

PPS: Hoffe, ich hab mich nicht vertan.