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Gunnar Bittersmann
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Gunnar Bittersmann
JürgenB
Gunnar Bittersmann
Der Martin
Hallo Leute,
Es geht um den kürzesten Weg von A nach B, wenn es keine Verbindung in Luftlinie gibt, sondern nur rechtwinklige Wege, etwa so:
C─────────B
│ │
│ │
│ │
A─────────D
Dann ist es von der Weglänge her gleichgültig, ob ich den Weg über C oder über D nehme, logisch.
Dasselbe gilt, wenn es mehr als zwei Wege gibt:
C----┬────B
| │ │
├────E │
│ │
A─────────D
Der Weg über E ist wieder gleich lang wie der über C oder D.
Mit noch mehr möglichen Wegen:
C------┬──B
| ┌─G │
| ┌──E │
├─F │
A─────────D
Der Weg über F, E und G ist wieder gleich lang wie der über C oder D, usw.
Auf diese Weise kann man beliebig oft rechtwinklig abbiegen, und muss trotzdem immer die gleiche Strecke zurücklegen, ist klar.
Frage: Wie kann es sein, dass man trotz optisch beliebig genauer Annäherung an die Luftlinie A-B immer die gleiche Weglänge hat? Spätestens seit Pythagoras ist doch bekannt, dass die Diagonale kürzer ist. Wieso ist keine treppenförmige Annäherung vom Betrag her möglich? Wenn man seeehr oft abbiegen würde, befände man sich doch quasi auf der Luftlinie...
Rein logisch ist es mir klar, aber anschaulich scheint es einen Widerspruch zu geben...
Gruß, Don P
Frage: Wie kann es sein, dass man trotz optisch beliebig genauer Annäherung an die Luftlinie A-B immer die gleiche Weglänge hat?
Weil deine rechtwinklige Streckensammlung (egal wie genau) immer nur eine Asymptote zur Luftlinie bleiben wird.
aber anschaulich scheint es einen Widerspruch zu geben...
Sehe ich nicht so.
Hallo,
weil du, egal wie gering, immer vom direkten Weg abweichst.
vg ichbinich
Hi,
C----┬────B
| │ │
├────E │
│ │
A─────────D
Der Weg über E ist wieder gleich lang wie der über C oder D.
Na ja, du hast ja auch nur die linke obere Ecke genommen und „umgeklappt“.
Die Streckenlängen bleiben natürlich die gleichen.
Frage: Wie kann es sein, dass man trotz optisch beliebig genauer Annäherung an die Luftlinie A-B immer die gleiche Weglänge hat?
Du legst immer noch die gleichen Wege zurück, wie ganz am Anfang - die beiden Strecken A-C und C-B hast du lediglich in viele kleinere Strecken unterteilt, die in der Summe immer noch die gleiche Weglänge ergeben. Dass du dich dabei ständig im 90 Grad hin und her drehst, ändert an der Länge der Teilstrecken und damit auch deren Summe nichts.
Spätestens seit Pythagoras ist doch bekannt, dass die Diagonale kürzer ist. Wieso ist keine treppenförmige Annäherung vom Betrag her möglich?
Weil du dich damit der Diagonale nicht wirklich annäherst. Du bewegst dich immer noch in genau die gleichen zwei Richtungen wie vorher, gerade nach oben, seitwärts nach rechts - nur in kleineren Schritten als vorher und in anderer Reihenfolge.
Wenn man seeehr oft abbiegen würde, befände man sich doch quasi auf der Luftlinie...
Nein, auch bei „unendlich“ kleinen Teilstrecken wird dein „Gewinn“ an Wegstrecke immer wieder davon aufgefressen, dass du dich zwei mal um 90 Grad drehst und an den anderen beiden Seiten des kleinen Teildreiecks entlangläufst, und nicht an der Diagonale.
MfG ChrisB
Rein logisch ist es mir klar, aber anschaulich scheint es einen Widerspruch zu geben...
Warum? Vermutlich weil Du anschaulich entweder erwartest, daß die Länge der Strecke davon abhängig ist wie weit sie von der Luftlinie entfernt ist, oder, daß die Luftlinie kürzer ist, weil sie so dicht an der Luftlinie liegt, dem ist aber nicht so. Entscheidend ist die Richtung jedes Wegabschnittes (auch jedes differentiell kleinen Wegabschnittes) bezogen auf Start- und Endpunkt, je besser die Richtung übereinstimmt, um so kürzer ist der Weg.
Hallo,
Entscheidend ist die Richtung jedes Wegabschnittes (auch jedes differentiell kleinen Wegabschnittes) bezogen auf Start- und Endpunkt, je besser die Richtung übereinstimmt, um so kürzer ist der Weg.
Verstehe: Jede Richtung ist insofern einzigartig, als man den Weg nicht einfach durch abwechselnd zwei andere Richtungen ersetzen kann, ohne dass der zurückgelegte Weg länger wird, klar. Der Weg bleibt sogar für je zwei andere Richtungen gleich lang, selbst wenn die zurückgelegten Einzelwege unendlich klein werden bzw. die Zahl der Richtungswechsel unendlich groß...
Jürgen B.:
ein schönes Beispiel dafür, dass Null (Abweichung) mal Unendlich (oft abweichen) weder Null noch Unendlich ist.
Scheint so... Wenn man die Längen der zurückgelegten Einzelwege gegen Null laufen lässt und damit die Zahl der Richtungswechsel gegen Unendlich, dann ergibt sich also die konstante Wegstrecke, die länger ist als die Diagonale: Null*2*Unendlich = Weg, und zwar für jede Entfernung zwischen A und B, d.h. Null*Unendlich ist jede beliebige Zahl! Also doch ein Paradoxon... Oder ist jetzt nur das Brett dicker geworden?
Gruß, Don P
Oder ist jetzt nur das Brett dicker geworden?
Nur weil etwas SEHR nahe bei Null liegt, ist es noch lange nicht Null. Schon wieder eine Asymptote :p
@@Don P:
nuqneH
Der Weg bleibt sogar für je zwei andere Richtungen gleich lang, selbst wenn die zurückgelegten Einzelwege unendlich klein werden bzw. die Zahl der Richtungswechsel unendlich groß...
Auch wenn du infinitesimal kleine Schritte gehst: Da du immer nur parallel zur x- und y-Achse läufst, ist dein Weg dx + dy. Aufsummiert ergibt das ∫(dx + dy) = ∫dx + ∫dy = x + y.
Qapla'
Scheint so... Wenn man die Längen der zurückgelegten Einzelwege gegen Null laufen lässt und damit die Zahl der Richtungswechsel gegen Unendlich, dann ergibt sich also die konstante Wegstrecke, die länger ist als die Diagonale: Null*2*Unendlich = Weg, und zwar für jede Entfernung zwischen A und B, d.h. Null*Unendlich ist jede beliebige Zahl! Also doch ein Paradoxon... Oder ist jetzt nur das Brett dicker geworden?
Wenn Du so weitermachst, kommst Du noch ins Hospital.
Hallo,
[...] d.h. Null*Unendlich ist jede beliebige Zahl! Also doch ein Paradoxon [...]
Wenn Du so weitermachst, kommst Du noch ins Hospital.
LOL stimmt – habe dort mal vorbeigeschaut, und siehe: 0 · ∞ (das Produkt meiner Grenzwertfunktionen) ist in der Mathematik ein sog. unbestimmter Ausdruck, d.h. keine bestimmte Zahl. Genau zu dem Schluss sind JürgenB und ich ja gekommen :)
Nach meiner bestechenden Logik ist 0 · ∞ jede beliebige Zahl... Mit dieser Erkenntnis müsste sich doch mindestens der Warp-Antrieb entwickeln lassen ;))
Hatte schon immer den Verdacht, dass an der euklidischen Ebene etwas faul ist, von seinem Raum ganz zu schweigen...
Gruß, Don P
@@Don P:
nuqneH
Nach meiner bestechenden Logik ist 0 · ∞ jede beliebige Zahl...
Nicht bestechend, nicht beliebig.
Seien
[latex]a = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0[/latex]
[latex]b_1 = \lim_{n \to \infty} n = \infty[/latex]
[latex]b_2 = \lim_{n \to \infty} n^2 = \infty[/latex]
[latex]b_3 = \lim_{n \to \infty} n^3 = \infty[/latex]
Dann ist
[latex]a \cdot b_1 = 0[/latex]
[latex]a \cdot b_2 = 1[/latex]
[latex]a \cdot b_3 = \infty[/latex]
Qapla'
Hallo,
Nicht bestechend, nicht beliebig.
Hmmm... da hast du drei konkrete Werte ausgesucht und gezeigt, dass sie Ergebnisse von 0 mal Unendlich sein können. Deine Auswahl ist doch nach Belieben erfolgt, hättest auch für jedes andere Ergebnis Beispiele finden können. Also doch beliebig.
In meinem Beispiel (ein Quadrat) seien
Kantenlänge a,
Einzelweg pro Richtung s,
Anzahl Schritte S,
mit
[latex]S = \lim_{n \to \infty} n = \infty[/latex]
[latex]s = \lim_{n \to \infty} \frac{a}{n} = 0[/latex]
Dann ist doch der pro Richtung zurückgelegte Weg
[latex]s \cdot S = a[/latex]
bzw. der insgesamt zurückgelegte Weg 2*a für _alle_ a, d.h. für jede _beliebige_ Entfernung zwischen Start- und Zielpunkt.
Gruß, Don P
@@Don P:
nuqneH
bzw. der insgesamt zurückgelegte Weg 2*a
Ja, in diesem Fall ist 0 · ∞ eben 2a. Also nicht beliebig, sondern halt 2a.
Die Formulierung „0 · ∞ [ist] jede beliebige Zahl“ stimmt so nicht.
0 · ∞ ist unbestimmt. Um das Ergebnis zu bestimmen, muss man sich halt was einfallen lassen. Und dann kommt in manchen Fällen 0 raus, in manchen ein endlicher Wert > 0, in manchen ∞.
Qapla'
Hi Gunnar.
Die Formulierung „0 · ∞ [ist] jede beliebige Zahl“ stimmt so nicht.
Die Formulierung
Ja, in diesem Fall ist 0 · ∞ eben 2a.
stimmt genauso wenig. Wenn man eine Multiplikation auf einer Menge definieren würde, die 0 und ∞ enthält - und das müsste man erstmal tun, denn von selber wächst die sicher nicht - dann würde da irgendein - festes - anderes Element jener Menge rauskommen - aber sicher nix mit "in diesem Falle".
0 · ∞ ist unbestimmt. Um das Ergebnis zu bestimmen [...]
Was?? Sagt ma, bin ich hier der einzige, dem diese Diskussion irgendwie beknackt vorkommt?
;-)
Viele Grüße,
der Bademeister
Om nah hoo pez nyeetz, Bademeister!
stimmt genauso wenig. Wenn man eine Multiplikation auf einer Menge definieren würde, die 0 und ∞ enthält - und das müsste man erstmal tun, denn von selber wächst die sicher nicht -
wurde getan, Stichwort: Kompaktifizierung der reellen Achse
dann würde da irgendein - festes - anderes Element jener Menge rauskommen - aber sicher nix mit "in diesem Falle".
Das Problem ist, dass die Null nur so tut als wäre sie eine.
0 · ∞ ist unbestimmt. Um das Ergebnis zu bestimmen [...]
Die Grenzwertsätze gelten und in den Fällen, in denen sie nicht gelten (hier: divergent ohne Häufungspunkt) gibt es manchmal andere Lösungswege (hier: L'Hôspital)
Was?? Sagt ma, bin ich hier der einzige, dem diese Diskussion irgendwie beknackt vorkommt?
amüsante Lektüre: [[Rosza](http://www.amazon.de/Deutsch-Taschenb%C3%BCcher-Nr-37-Spiel-Unendlichen/dp/3871447536/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1272575819&sr=8-1)] Matthias
Hi apsel.
Wenn man eine Multiplikation auf einer Menge definieren würde, die 0 und ∞ enthält [...]
wurde getan, Stichwort: Kompaktifizierung der reellen Achse
Wo ist denn da jetzt ne Multiplikation?
Das Problem ist, dass die Null nur so tut als wäre sie eine.
Hä? Die (relle Zahl) Null, die ich kenne, ist die (reelle Zahl) Null. (Hätte nicht gedacht, dass ich diesen Satz mal von mir geben würde ;-))
Die Grenzwertsätze gelten [...]
Bei den Grenzwertsätzen, die ich gerade bei Wikipedia gefunden habe, wird aber nix mit ∞ multipliziert.
und in den Fällen, in denen sie nicht gelten (hier: divergent ohne Häufungspunkt) gibt es manchmal andere Lösungswege (hier: L'Hôspital)
Andere Lösungswege für was? Für andere Probleme, ja :-)
Diese de L'Hospital-Sache sagt, wie ich (unter gewissen Voraussetzungen) den Grenzwert des Produktes/Quotienten zweier reeller Funktionen ermittle. Das ist aber deshalb noch lange nicht des Produkt/der Quotient der Grenzwerte.
Viele Grüße,
der Bademeister
Om nah hoo pez nyeetz, Bademeister!
wurde getan, Stichwort: Kompaktifizierung der reellen Achse
Wo ist denn da jetzt ne Multiplikation?
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die Erweiterung wurde so gemacht, dass alle Rechengesetze der reellen Zahlen Gültigkeit haben.
Das Problem ist, dass die Null nur so tut als wäre sie eine.
Hä? Die (relle Zahl) Null, die ich kenne, ist die (reelle Zahl) Null. (Hätte nicht gedacht, dass ich diesen Satz mal von mir geben würde ;-))
»»
aber diese Null, die dort steht ist eben nicht die reelle Zahl Null, die du kennst.
Die Grenzwertsätze gelten [...]
Bei den Grenzwertsätzen, die ich gerade bei Wikipedia gefunden habe, wird aber nix mit ∞ multipliziert.
In unserem Beispiel gelten sie ja auch nicht, weil ein Grenzwert eine (reelle) Zahl sein muss und ∞ keine reelle Zahl ist.
und in den Fällen, in denen sie nicht gelten (hier: divergent ohne Häufungspunkt) gibt es manchmal andere Lösungswege (hier: L'Hôspital)
Andere Lösungswege für was? Für andere Probleme, ja :-) Diese de L'Hospital-Sache sagt, wie ich (unter gewissen Voraussetzungen) den Grenzwert des Produktes/Quotienten zweier reeller Funktionen ermittle. Das ist aber deshalb noch lange nicht des Produkt/der Quotient der Grenzwerte.
Falls die Grenzwerte existieren, schon.
Matthias
aber diese Null, die dort steht ist eben nicht die reelle Zahl Null, die du kennst.
Doch, natürlich ist sie das. Der Grenzwert einer konvergenten reellen Folge ist eine relle Zahl. Etwa der Grenzwert der Folgen (1/n) und (1/n^2) ist *derselbe*. Dieselbe relle Zahl 0.
Und wenn Du eine Multiplikation auf der Menge der reellen Zahlen mit ∞
(wie ist es eigentlich mit -∞?) definieren willst, dann bleibt Dir nichts anderes übrig, als (0 · ∞) *ein* Ergebnis zuzuweisen.
Viele Grüße
der Bademeister
@@Bademeister:
nuqneH
Und wenn Du eine Multiplikation auf der Menge der reellen Zahlen mit ∞
(wie ist es eigentlich mit -∞?) definieren willst, dann bleibt Dir nichts anderes übrig, als (0 · ∞) *ein* Ergebnis zuzuweisen.
Oder besser kein Ergebnis.
Qapla'
Oder besser kein Ergebnis.
Eben! Und dann gibt es eben keine Multiplikation auf ℝ ∪ {−∞, ∞}[1]. Ist ja nichts Schlimmes.
[1] Ist uebrigens sehr praktisch, dass Du immer die coolen Zeichen benutzt und ich dann copy&paste machen kann. Danke ;-) (Auch wenn das ℝ bei mir ausgesprochen scheisse aussieht - FF 3.5.3 unter Windows)
Viele Gruesse
der Bademeister
Om nah hoo pez nyeetz, Bademeister!
[1] Ist uebrigens sehr praktisch, dass Du immer die coolen Zeichen benutzt und ich dann copy&paste machen kann. Danke ;-) (Auch wenn das ℝ bei mir ausgesprochen scheisse aussieht - FF 3.5.3 unter Windows)
bei mir auch, egal ob IE oder FF. Bei einer gewissen Vergrößerung siehts dann aber gut aus.
Matthias
Om nah hoo pez nyeetz, Bademeister!
aber diese Null, die dort steht ist eben nicht die reelle Zahl Null, die du kennst.
Doch, natürlich ist sie das. Der Grenzwert einer konvergenten reellen Folge ist eine relle Zahl. Etwa der Grenzwert der Folgen (1/n) und (1/n^2) ist derselbe. Dieselbe relle Zahl 0.
Dies gilt erst dann, wenn der Grenzwert schon ermittelt ist, nicht wenn man wie in unserer Ausgangsproblemstellung den Grenzwert erst ermitteln möchte. Dann ist 1/n für ein sehr großes z.B. 10²²²² eben nicht Null sondern nur fast.
Matthias
Dies gilt erst dann, wenn der Grenzwert schon ermittelt ist [...]
Dies gilt immer. Der Grenzwert interessiert sich nicht dafuer, ob wir ihn kennen oder nicht.
nicht wenn man wie in unserer Ausgangsproblemstellung den Grenzwert erst ermitteln möchte.
Was ist denn die Folge (reeller Zahlen) in der Ausgangsproblemstellung, deren Grenzwert Du ermitteln willst? Schreib sie doch mal hin.
Die Folge der Laengen dieser Zickzackwege ist eine konstante Folge : die Folge (2a) (mit Don P's[1] Notation). Der Grenzwert dieser Folge ist - klar - 2a.
Dann ist 1/n für ein sehr großes z.B. 10²²²² eben _nicht_ Null sondern nur fast.
1/n für ein sehr großes z.B. 10²²²² ist ja auch nicht der Grenzwert.
[1] Ein mit Bedacht gewaehlter Deppenapostroph - der Leserlichkeit wegen. Manchmal koennen Deppen sich klarer ausdruecken als andere :-)
Viele Gruesse
der Bademeister
Om nah hoo pez nyeetz, Bademeister!
Es besteht offensichtlich eine Unstimmigkeit bei der Verwendung der Begriffe Folgenglied und Grenzwert.
Gegeben ist die Folge (1/n). Dann ist jedes Folgenglied > 0. Der Grenzwert ist Null.
Zur Ermittlung des Grenzwertes vergleicht man Folgenglieder und da die in unserem Falle nur fast Null werden, darf man eben für Ausdrücke wie 0 * unendlich 3 rausbekommen oder 2a oder -5 oder Null oder unendlich. Wobei erst das Ergebnis dieser Überlegungen der Grenzwert ist.
Matthias
Zur Ermittlung des Grenzwertes vergleicht man Folgenglieder und da die in unserem Falle nur fast Null werden, darf man eben für Ausdrücke wie 0 * unendlich 3 rausbekommen
Nein, Folgen definieren doch kein Produkt auf Grenzwerten!
Nehmen wir an, dass wir zwei Folgen (a_n) und (b_n) haben, und (a_n) konvergiert gegen a und (b_n) konvergiert gegen b. Jetzt schauen wir uns an:
Die Zahl a * b koennen wir einfach ausrechnen, sie hat erstmal ueberhaupt nichts mit den Folgen zu tun. Und es ist nicht gottgegeben und auch nicht per Definition so, dass die Folge (a_n * b_n) gegen die Zahl a * b konvergiert. Im Gegenteil, ich kann - ganz unabhaengig von der Konvergenzfrage die Folge (a_n * b_n) und die Zahl a * b hinschreiben, und dann *feststellen* - das tun diese Grenzwertsaetze - dass es stimmt, dass die Folge (a_n * b_n)
1. konvergiert und
2. als Grenzwert die Zahl a * b hat.
Wenn nun eine der Folgen gegen ∞ konvergiert (d.h., die Folge *nicht* konvergiert und fuer deren "konvergenzaehnliches" Verhalten ich ein neues, abstraktes Symbol ∞ einfuehre), dann kann ich das Produkt der beiden Grenzwerte nicht mehr bilden, weil es nicht definiert ist. Daher ist die Frage, ob die Grenzwertsaetze in diesem Fall auch gelten, obsolet.
Wenn ich das Produkt a * ∞ fuer jede Zahl a irgendwie festlegen wuerde in der Hoffnung, dass die Grenzwertsaetze dann auch fuer solche Folgen gelten, dann wuerde das schiefgehen. Das ist nicht schoen, aber es ist nun mal so.
Das urspruengliche Paradoxon laesst sich auch relativ leicht in Worte fassen, wenn man denn will:
Don P. hat diese Folge von Zickzackwegen, die seiner Wahrnehmung nach "gegen den diagonalen Weg konvergieren". Um der Aussage irgendeinen Sinn zu geben, muss man sich ueberlegen, was man mit der Konvergenz von Wegen, bzw. dem "Abstand" zweier Wege ueberhaupt meint. Das, was Don P. hier intuitiv als Abstand wahrnimmt, ist der Hausdorff-Abstand der Wege. Und die Folge der Zickzackwege konvergiert tatsaechlich in der Hausdorff-Metrik gegen den Diagonalweg.
Jetzt koennte man intuitiv vermuten, dass bei einer konvergenten Folge von Wegen auch die Folge ihrer Laengen (das ist nun eine Folge von rellen Zahlen) konvergiert, und zwar gegen die Laenge des Limes-Weges. Es gibt aber formal a priori ueberhaupt keinen Grund, warum das so sein sollte - wenn man der Meinung ist, dass das stimmt, dann muss man erstmal ein Argument dafuer finden.
Und Don P. hat mit seinem Gegenbeispiel bewiesen, dass man keinen Grund dafuer finden wird, weil es schlicht und einfach falsch ist. Die Folge der Laengen der Wege ist die konstante Folge (2*a). Die Folge konvergiert auch: gegen die Zahl 2*a. Die Laenge des Limes-Weges (der Diagonalen) aber ist eine andere: a * Wurzel 2 [1].
[1] Gunnar, wo bist Du?? ;-)
Viele Gruesse,
der Bademeister
@@Bademeister:
nuqneH
[1] Gunnar, wo bist Du?? ;-)
Da wo gestern.
Qapla'
Hallo,
Das, was Don P. hier intuitiv als Abstand wahrnimmt, ist der Hausdorff-Abstand der Wege. Und die Folge der Zickzackwege konvergiert tatsaechlich in der Hausdorff-Metrik gegen den Diagonalweg.
Ja, sieht so aus. Hatte noch nie von Hausdorff gehört, aber hier liegt anscheinend der Hund begraben: Der direkte Weg und ein angenäherter Weg bilden irgendwie einen Hausdorff-Raum, bzw. sie sind vermutlich homöomorph. Zum homöomorphismus heißt es bei Wikipedia: "Wenn zwei topologische Räume homöomorph sind, dann haben sie exakt dieselben topologischen Eigenschaften. [...] Dies gilt aber nicht für Eigenschaften, die über eine Metrik definiert sind;" Die Längeneigenschaft in meinem Beispiel ist aber wohl metrisch definiert.
Wenn man also die Länge des Weges im entlang der Achsen eines zweidimensinalen Koordinatensystems misst, so bleibt diese immer konstant, egal wie man den Weg durch Um-die-Ecke-Falten an die direkte Verbindung annähert. Diese direkte Verbinung ist und bleibt ja nur eindimensional, vermutlich eine topologische 1-Mannigfaltigkeit, oder eine 2-Mannigfaltigkeit zusammen mit den möglichen rechtwinklig angenäherten Wegen? Die Länge der Direktverbindung erhält man über den metrischen Tensor der Ebene. Am Ende des Artikels dort steht offenbar der Satz des Pythagoras.
Mit einer so einfachen Fragestellung wie meiner im Ausgangsposting landet man anscheinend schnell bei der höheren Mathematik, unweit der Relativitätstheorie, *seuftz*
Gruß, Don P
Om nah hoo pez nyeetz, Gunnar Bittersmann!
Die Formulierung „0 · ∞ [ist] jede beliebige Zahl“ stimmt so nicht.
0 · ∞ ist unbestimmt. Um das Ergebnis zu bestimmen, muss man sich halt was einfallen lassen. Und dann kommt in manchen Fällen 0 raus, in manchen ein endlicher Wert > 0, in manchen ∞.
Qapla'
0 · ∞ ist immer Null.
0 · ∞ ist nur dann ein unbestimmter Ausdruck, wenn es sich bei 0 um einen Grenzwert handelt. Man kann es so konstruieren, dass jeder gewünschte Wert rauskommt, nicht nur positive.
Matthias
@@apsel:
nuqneH
0 · ∞ ist _immer_ Null.
Nö, warum sollte?
0 · ∞ ist nur dann ein unbestimmter Ausdruck, wenn es sich bei 0 um einen Grenzwert handelt.
Diese Kontextsensitivität würde ich hier nicht reinbauen wollen.
Man kann es so konstruieren, dass _jeder_ gewünschte Wert rauskommt, nicht nur positive.
Ja, da hast du recht.
Qapla'
Om nah hoo pez nyeetz, Gunnar Bittersmann!
@@apsel:
nuqneH
0 · ∞ ist immer Null.
Nö, warum sollte?
weil es nur dann verschieden von Null sein kann, wenn
es sich bei 0 um einen Grenzwert handelt.
Matthias
@@apsel:
nuqneH
0 · ∞ ist _immer_ Null.
Nö, warum sollte?
weil es nur dann verschieden von Null sein kann, wenn
es sich bei 0 um einen Grenzwert handelt.
Warum sollte der Ausdruck 0 · ∞ in ℝ ∪ {−∞, ∞} denn überhaupt definiert sein?
0⁰ ist in ℝ auch nicht definiert – aus gutem Grund.
Qapla'
Nach meiner bestechenden Logik ist 0 · ∞ jede beliebige Zahl...
Da sich dem schon genügend anderer Leute angenommen habe, belege ich das mal mit einem PAL-Feld.
Mit dieser Erkenntnis müsste sich doch mindestens der Warp-Antrieb entwickeln lassen ;))
Womöglich den Unendlichen Unwahrscheinlichkeitsdrive.
Hatte schon immer den Verdacht, dass an der euklidischen Ebene etwas faul ist, von seinem Raum ganz zu schweigen...
Ursprünglich nur in italienischen Restaurants, nun überall, "...ohne das ganze gefährliche Herumgefummele mit Unwahrscheinlichkeit...".
Hallo,
Da sich dem schon genügend anderer Leute angenommen habe, belege ich das mal mit einem PAL-Feld.
Womöglich den Unendlichen Unwahrscheinlichkeitsdrive.
Ursprünglich nur in italienischen Restaurants, nun überall, "...ohne das ganze gefährliche Herumgefummele mit Unwahrscheinlichkeit...".
ich finde ja, durch die Übersetzung ins Deutsche geht hier vieles verloren. Den einzigartigen Adams'schen Humor kann man einfach nicht zufriedenstellend übersetzen.
Übrigens: PAL (Probleme Anderer Leute) löst man am besten mit GAL (Geld Anderer Leute).
So long, and thanks for all the fish,
Martin
Hallo Don,
ein schönes Beispiel dafür, dass Null (Abweichung) mal Unendlich (oft abweichen) weder Null noch Unendlich ist.
Gruß, Jürgen
@@JürgenB:
nuqneH
ein schönes Beispiel dafür, dass Null (Abweichung) mal Unendlich (oft abweichen) weder Null noch Unendlich ist.
Ist es nicht? Ich könnte dir sowohl für das eine (Null) als auch für das andere (Unendlich) unendlich viele Beispiele nennen. ;-b
Qapla'
Ich könnte dir sowohl für das eine (Null) als auch für das andere (Unendlich) unendlich viele Beispiele nennen. ;-b
Warum lässt du das nicht unendlich viele Affen für dich erledigen?
Om nah hoo pez nyeetz, suit!
Warum lässt du das nicht unendlich viele Affen für dich erledigen?
In der DDR war es ein Kater, der "Rotkäppchen und der Wolf" schreibt.
Matthias
Hallo,
Warum lässt du das nicht unendlich viele Affen für dich erledigen?
danke für den Hinweis, das kannte ich noch nicht. Jetzt kriegt auch eine Stelle im "Hitchhikers' Guide To The Galaxy" einen Zusammenhang zum Infinite Improbability Drive:
Arthur had jammed himself against the door to the cubicle, trying to hold it closed, but it was ill fitting. Tiny furry little hands were squeezing themselves through the cracks, their fingers were inkstained; tiny voices chattered insanely.
Arthur looked up.
"Ford", he said, "there's an infinite number of monkeys outside who want to talk to us about this script for Hamlet they've worked out."
So long,
Martin
Hallo,
wenn man sich das Viereck um 45° gedreht vorstellt, dann wird es einfacher:
/\
A /__\ B x
\ / -->
/
Die Diagonale sei in x-Richtung (und die Winkel jeweils 90° ;-) ). Dann legt man bei jedem Schritt auch einen Weg in Y-Richtung zurück. Und zwar abwechselnd nach "oben" und nach "unten". Nach jedem Schritt folgt eine Drehung um 90°. Bei kleineren Schritten ist die Abweichung auf der Y-Achse pro Schritt geringer, dafür ist der pro Schritt zurückgelegte Weg in X-Richtung dementsprechend kleiner und mehr Schritte sind erforderlich. Auch bei unendlich vielen Schritten änder sich das verhältnis von delta x zu delta y nicht, sodass die abweichung gleichbleibt. Man geht also mit jeden Schritt auch in eine "falsche" Richtung.
Ich finde eine solche Drehung immer sehr anschaulich, wenn ich die einzelnen Richtungs-Komponenten betrachten will.
Viele Grüße Novi
