Zur Ermittlung des Grenzwertes vergleicht man Folgenglieder und da die in unserem Falle nur fast Null werden, darf man eben für Ausdrücke wie 0 * unendlich 3 rausbekommen
Nein, Folgen definieren doch kein Produkt auf Grenzwerten!
Nehmen wir an, dass wir zwei Folgen (a_n) und (b_n) haben, und (a_n) konvergiert gegen a und (b_n) konvergiert gegen b. Jetzt schauen wir uns an:
- Die Folge (a_n * b_n)
- die Zahl a * b
Die Zahl a * b koennen wir einfach ausrechnen, sie hat erstmal ueberhaupt nichts mit den Folgen zu tun. Und es ist nicht gottgegeben und auch nicht per Definition so, dass die Folge (a_n * b_n) gegen die Zahl a * b konvergiert. Im Gegenteil, ich kann - ganz unabhaengig von der Konvergenzfrage die Folge (a_n * b_n) und die Zahl a * b hinschreiben, und dann *feststellen* - das tun diese Grenzwertsaetze - dass es stimmt, dass die Folge (a_n * b_n)
1. konvergiert und
2. als Grenzwert die Zahl a * b hat.
Wenn nun eine der Folgen gegen ∞ konvergiert (d.h., die Folge *nicht* konvergiert und fuer deren "konvergenzaehnliches" Verhalten ich ein neues, abstraktes Symbol ∞ einfuehre), dann kann ich das Produkt der beiden Grenzwerte nicht mehr bilden, weil es nicht definiert ist. Daher ist die Frage, ob die Grenzwertsaetze in diesem Fall auch gelten, obsolet.
Wenn ich das Produkt a * ∞ fuer jede Zahl a irgendwie festlegen wuerde in der Hoffnung, dass die Grenzwertsaetze dann auch fuer solche Folgen gelten, dann wuerde das schiefgehen. Das ist nicht schoen, aber es ist nun mal so.
Das urspruengliche Paradoxon laesst sich auch relativ leicht in Worte fassen, wenn man denn will:
Don P. hat diese Folge von Zickzackwegen, die seiner Wahrnehmung nach "gegen den diagonalen Weg konvergieren". Um der Aussage irgendeinen Sinn zu geben, muss man sich ueberlegen, was man mit der Konvergenz von Wegen, bzw. dem "Abstand" zweier Wege ueberhaupt meint. Das, was Don P. hier intuitiv als Abstand wahrnimmt, ist der Hausdorff-Abstand der Wege. Und die Folge der Zickzackwege konvergiert tatsaechlich in der Hausdorff-Metrik gegen den Diagonalweg.
Jetzt koennte man intuitiv vermuten, dass bei einer konvergenten Folge von Wegen auch die Folge ihrer Laengen (das ist nun eine Folge von rellen Zahlen) konvergiert, und zwar gegen die Laenge des Limes-Weges. Es gibt aber formal a priori ueberhaupt keinen Grund, warum das so sein sollte - wenn man der Meinung ist, dass das stimmt, dann muss man erstmal ein Argument dafuer finden.
Und Don P. hat mit seinem Gegenbeispiel bewiesen, dass man keinen Grund dafuer finden wird, weil es schlicht und einfach falsch ist. Die Folge der Laengen der Wege ist die konstante Folge (2*a). Die Folge konvergiert auch: gegen die Zahl 2*a. Die Laenge des Limes-Weges (der Diagonalen) aber ist eine andere: a * Wurzel 2 [1].
[1] Gunnar, wo bist Du?? ;-)
Viele Gruesse,
der Bademeister