Relax strikes back

[Sven Rautenberg]

Moin!

Das habe ich so nicht behauptet. Ich sagte, dass es für die Antwort auf die Frage, ob es günstiger ist, zu wechseln, wenn man gefragt wird, uninteressant ist, was alles passieren kann, wenn man nicht gefragt wird.

sven, hand ans herz. das sind doch jetzt spitzfindigkeiten.

Das ist genau mein Punkt, um den es geht.

Die ursprüngliche Aufgabenstellung, wie sie auch hundertfach an anderen Orten im Internet zu finden ist, geht eben von einem definierten Verlauf des Spieles aus, den man nicht mehr ändern oder umdiskutieren kann: Der Kandidat hat bereits ein Tor gewählt, der Moderator hat bereits ein anderes Tor mit einer Niete geöffnet und er hat bereits die Frage gestellt, ob man wechseln will.

Alle anderen Fälle sind in dieser Fragestellung nicht zu beantworten. Punkt. Aus.

Und die korrekte Antwort lautet: Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist 2/3 beim Wechsel. Sie ist deshalb abweichend vom typischen Erwartungswert 1/2 (freie Wahl zwischen zwei Toren), weil es hier um bedingte Wahrscheinlichkeiten geht.

Mit der ersten Wahl wurde mit 2/3-Wahrscheinlichkeit eine Niete gewählt. Der Moderator ist also, da er sich zum Toröffnen entschieden hat, in 2/3 der Fälle gezwungen gewesen, das einzige andere Nietentor zu öffnen, damit es zu der betrachteten Fragestellung überhaupt kommen kann. Also ist in genau 2/3 aller Fälle der Gewinn hinter dem anderen, zuerst nicht gewählten, ungeöffneten Tor.

ich will es mal anders formulieren. wir sind ja nun beide auf den nenner, dass wenn ich moderator bin und du kandidat, dann bist du mir ausgeliefert.

Und du mir!

Denn es gibt in diesen Szenario zwei Unbekannte:
1. Wie handelst du als Moderator? Bietest du das Wechseln immer an? Oder nie? Entsprechend ändert sich das Spielergebnis. ABER:
2. Wie handele ich als Spieler? Wechsle ich immer, wenn du es anbietest? Oder nehme ich bei einer Millionen Spielen die bisherigen Erfahrungen über deine Anbietetaktik und meine Gewinne mit in meine Überlegungen hinein, und verhalte mich deshalb entsprechend.

Ich bin dir zwar in der Hinsicht ausgeliefert, dass ich nicht deine Absichten und Motive erkennen kann, sondern nur deine Handlungen sehe, aber genauso ist es ja mit mir. Du weißt auch nicht, ob ich immer wechsle, sobald ich gemerkt habe, dass du mich nur dann fragst, wenn ich gewinnen würde.

Mit anderen Worten: Entweder verlierst du im Schnitt exakt 1/3 Autos, weil es immer nur zu einer einzigen Torwahl kommt und du nie fragst, oder du versuchst, deine Verluste zu verringern, indem du nochmal nachhakst, wenn es für dich günstiger ist.

Dann mußt du mir aber natürlich Anreize bieten, mein vorherbestimmtes Ergebnis von 1/3 Gewinn zu verbessern. Also muß auch ich sehen, dass es günstiger ist. Du mußt also einige Autos verlieren.

wenn wir aber die rollen tauschen und ich kandidat bin und du moderator und wir nach meinen regel spielen (vorher waren es deine), sprich du bietest es mir immer an und darfst auch nicht mein gewähltes tor öffnen, dann kann ich garantieren, dass ich immer_ohne_wenn_und_aber auf eine 2:3 komme. ich bin dir nicht asgeliefert und brauche auch keinen einzellfall, sondern ich werde dich so kontrolliren, dass ich immer 2:3 gewinne.

Ja, das stimmt natürlich. Habe ich nie anders behauptet. Und das ist ja auch genau die Antwort auf die gestellte Frage: Wenn der Moderator das Tor aufmacht und fragt, dann sollte man wechseln.

Auf die große Zahl gerechtet kann der Moderator in 2/3 der Erstwahl-Fälle einen Gewinn durch Weglassen der Frage verhindern, und nur in 1/3 der Fälle geht er das Risiko ein, dass der Kandidat aus irgendeinem Grunde _nicht_ wechselt, obwohl ihm bekannt ist, das Wechseln bei einem fairen Spiel besser wäre.

ganz genau. wenn der moderator weiss, dass der kandidat immer wechselt, dann wird drr kandidat nicht ein spiel gewinnen. du siehst, in dem falle liegt die kontrolle bei dem moderator ob er nett ist oder nicht.

Aber der Moderator weiß eben genauso wenig über den Kandidaten, wie dieser über den Moderator. Wenn bekannt ist, dass der Moderator nur fragt, um den Gewinn nicht rausgeben zu müssen, dann ist die Frage ein absolut sicheres Zeichen für "Sie haben gewonnen, wollen sie lieber verlieren?". Und wer wird da schon wechseln wollen?

ganz genau, alle macht sind in den händen des moderators. und da ist keine 2:3 chance mehr zu sehen, obwohl ab und zu angeboten wird zu wechseln.

Richtig. Das bezieht sich aber auf das Gesamtspielergebnis, nicht auf den Einzelfall "Moderator _hat_ gefragt, und ist auch nicht bekannt dafür, fies zu sein".

Dabei riskiert er aber natürlich, dass die Kandidaten das irgendwann spitz kriegen, indem sie die Ergebnisse aufzeichnen und mit den Wahrscheinlichkeiten vergleichen. Dass der Moderator beispielsweise die Frage nach dem Wechseln immer dann stellt, wenn der Kandidat ein Gewinntor gewählt hat. In der Folge werden die Kandidaten nie mehr wechseln wollen. Damit kriegen sie immerhin 1/3 Gewinnchance aus ihrer ersten Wahl.

yo, aber wir wollen ja mehr und zwar 2:3.

Sind aber im realen Spiel nicht realisierbar. Hatte ich auch nie behauptet. Die Gewinnquote hängt entscheidend von der Bereitschaft des Moderators ab, dem Kandidaten bei geöffnetem Tor eine zweite Chance zu geben.

Wenn er das immer macht -> 2/3 Chance zu gewinnen.

Wenn er das nie macht -> 1/3 Chance zu gewinnen.

Wenn er das manchmal macht -> zwischen 0 und 1 Gewinnchance (in gaußscher Normalverteilung mit Maximum bei 1/2 - würde ich jedenfalls schätzen). Also Gewinnchance 1/2.

Aber die Gewinnwahrscheinlichkeit für das Problem: "Moderator hat ein Tor geöffnet und fragt, ob ich wechseln will" ist immer noch 2/3 für Wechseln, 1/3 für Nichtwechseln.

nö, ich denke mal dir ist es selbst schon bewußt, dass du bei deinen regeln und als kandidat, niemals bei auch nur einer frage eine chance von 2:3 bei mir bekommen wirst. nicht bei einer einziger, nicht mal wenn wir es 1 million mal versuchen.

Wie willst du das beweisen? Technisch gesehen. Wenn wir hier drei Millionen Postings ins Forum setzen, gibts mit Sicherheit Ärger.

- Sven Rautenberg