Implikation

[Christian Seiler]

Hallo,

Habe gerade einige Verständnisschwierigkeiten mit der logischen Implikation. Könnte mir das jemand erklären. Insbesondere wie man von einer Aussage wie A->B auf die zugehörige Tabelle kommt.

Erst einmal gilt:

[latex]A \to B = \neg A \vee B[/latex]

Das heißt: Die Aussage "Aus A folgt B" ist äquivalent zu "Nicht A oder B". Warum ist das so?

Jetzt muss man zwei Ebenen unterscheiden: Die Ebene (1) ist schlichtweg die Tatsache, dass Du die Aussage "Aus A folgt B" machst, die Ebene (2) ist die Ebene, auf der Du bestimmst, ob die Aussage wahr ist oder nicht. Auf Ebene (2) kümmert Dich der Wahrheitsgehalt der Aussagen "A" und "B" alleine nichts - und das ist wohl auch der Denkfehler, dem die meisten aufsitzen.

Machen wir mal ein Beispiel:

Wenn ich zur Arbeit gehe, sehe ich meinen Kollegen.

Wenn man das nun die einzelnen Aussagen extrahiert, dann erhält man folgendes:

Aussage A: "Ich gehe zur Arbeit."
      Aussage B: "Ich sehe meinen Kollegen."

Wenn man jetzt eine Wahrheitstabelle für den Ausdruck "A -> B" aufstellen will, dann muss man sich erst einmal klar machen, was ein Eintrag in der Wahrheitstabelle überhaupt heißt: Der Eintrag in der Tabelle ist "falsch", wenn die Gesamtaussage (!) für die jeweilige Kombination der Einzelaussagen einen Widerspruch liefert - ansonsten ist die Aussage "wahr". (Man kann das sicher auch irgendwie positiv definieren. Frag einen Informatiker oder Mathematiker.)

Betrachten wir nun die verschiedenen Kombinationen:

1)   A wahr, B wahr
     Das heißt: Ich sehe meinen Kollegen *und* ich gehe zur Arbeit.
     In dem Fall passt die Aussage A -> B zu dem Wahrheitsgehalt der
     Einzelaussagen (sollte offensichtlich sein).

2)   A wahr, B falsch
     Das heißt: Ich sehe meinen Kollegen nicht, gehe aber zur Arbeit.
     In dem Fall passt die Aussage A -> B *nicht* zu dem Wahrheitsgehalt der
     Einzelaussagen (denn wenn »A -> B« wahr wäre und »A« wahr ist, dann
     müsste auch »B« wahr sein, was es hier aber nicht ist)

3)   A falsch, B beliebig
     Das heißt: Ich gehe nicht zur Arbeit.
     In dem Fall passt die Aussage A -> B *immer* (egal, was B annimmt).
     Das ist jetzt der eigentliche Knackpunkt: Warum ist das so? Nunja,
     bleiben wir am Beispiel: Wenn ich nicht zur Arbeit gehe, kann es sein,
     dass ich meinen Kollegen sehe (z.B. abends in der Kneipe) oder eben
     auch nicht. Dies widerspricht der Aussage A -> B nicht - und damit ist
     die Aussage A -> B in diesem Fall wahr.
     Rein sprachlich gesehen würde man hier ja einfach sagen "oh, aber man
     kann das doch noch gar nicht entscheiden". Aber das ist insofern
     falsch, als dass das Sprachkonstrukt "noch gar nicht" impliziert, dass
     die Aussagen "A" und "B" sich ändern können - und das tritt in der
     Aussagelogik nicht auf! Wenn man eine sich ändernde Aussage hat, dann
     wird das in der Aussagelogik immer als zwei *verschiedene* Aussagen
     "kodiert" (eine Aussage vor der Änderung, eine danach). Aussagelogik
     ist vom Anspruch her *absolut* und stimmt daher nicht ganz mit der
     Intuition überein.

Also ergibt sich folglich folgende Wahrheitstabelle:

A  |  B  |  A -> B
-----+-----+----------
  f  |  f  |  w
  f  |  w  |  w
  w  |  f  |  f
  w  |  w  |  w

(Ich hoffe, das war jetzt verständlich.)

Viele Grüße,
Christian