Implikation

[Implikatio]

Moin!

Habe gerade einige Verständnisschwierigkeiten mit der logischen Implikation. Könnte mir das jemand erklären. Insbesondere wie man von einer Aussage wie A->B auf die zugehörige Tabelle kommt.

Thx,
Implikatio

[Hopsel]

Hi Implikatio!

Habe gerade einige Verständnisschwierigkeiten mit der logischen Implikation.

Lass mich raten: TU-Dresden, Informatik-Studium, 1. Semester, Logik bei Professor Hölldobler. ;-)

Könnte mir das jemand erklären. Insbesondere wie man von einer Aussage wie A->B auf die zugehörige Tabelle kommt.

Ich finde diesen Artikel recht gut.

Ich vermute, du stolperst darüber, dass die Aussage A->B immer dann wahr ist, wenn A falsch ist. Das ist in dem oberen Artikel wirklich gut erklärt.
Aber ich habe noch ein kleines besseres Beispiel:
A: Es regnet.
B: Ich werde nass.

Wenn es regnet, werde ich nass.             [wahr]
Wenn es regnet, werde ich nicht nass.       [falsch]
Wenn es nicht regnet, werde ich nass.       [wahr]
Wenn es nicht regnet, werde ich nicht nass. [wahr]

Warum sind die letzten beiden Aussagen wahr? Nun, da es nich regnet, kann beides stimmen. Ich kann nass werden, weil ich z. B. im Schwimmbad bin; oder ich kann trocken bleiben, weil ich gerade an meinem Rechner sitze und dir antworte.

Ich hoffe, das hilft. =)

MfG H☼psel

[Hopsel]

Hi Implikatio!

Nur um das nochmal klar zu machen: Ließ den verlinkten Artikel wirklich durch. Er ist jedenfalls leichter zu verstehen als der Artikel in der Wikipedia.

MfG H☼psel

[Sven Rautenberg]

Moin!

Ich vermute, du stolperst darüber, dass die Aussage A->B immer dann wahr ist, wenn A falsch ist. Das ist in dem oberen Artikel wirklich gut erklärt.

Naja...

Aber ich habe noch ein kleines besseres Beispiel:
A: Es regnet.
B: Ich werde nass.

Wenn es regnet, werde ich nass.             [wahr]
Wenn es regnet, werde ich nicht nass.       [falsch]
Wenn es nicht regnet, werde ich nass.       [wahr]
Wenn es nicht regnet, werde ich nicht nass. [wahr]

Warum sind die letzten beiden Aussagen wahr? Nun, da es nich regnet, kann beides stimmen. Ich kann nass werden, weil ich z. B. im Schwimmbad bin; oder ich kann trocken bleiben, weil ich gerade an meinem Rechner sitze und dir antworte.

Ich glaube, das Problem ist jeweils, dass die sprachliche Ausgestaltung von Beispielen immer daran leidet, dass Sprache unpräzise ist bzw. Interpretationsspielraum zuläßt.

Bei deinem Beispiel könnte man jedenfalls auf den Gedanken kommen, dass "ich werde nass" nicht zwingend folgt, wenn es regnet. Weil man sich auch in einem Gebäude, unter einem Dach oder Regenschirm befinden könnte, und dann eben gerade nicht nass wird.

Ich denke, man muss die Wahrheitstabelle der Implikation einfach so lernen und hinnehmen als Definition. Und sich eben merken: Wenn die erste Aussage nicht zutrifft, kann man den Wahrheitsgehalt der zweiten Aussage nicht nachprüfen - und für den Fall ist halt definiert, dass die Wahrheitstabelle "wahr" ergibt. Hätte man für diesen Fall "falsch" gewählt, wäre die Wahrheitstabelle identisch zur UND-Verknüpfung - und die hatte man ja schon.

- Sven Rautenberg

[Der Martin]

Hallo,

Wenn es regnet, werde ich nass.             [wahr]
Wenn es regnet, werde ich nicht nass.       [falsch]
Wenn es nicht regnet, werde ich nass.       [wahr]
Wenn es nicht regnet, werde ich nicht nass. [wahr]

Warum sind die letzten beiden Aussagen wahr? Nun, da es nich regnet, kann beides stimmen. Ich kann nass werden, weil ich z. B. im Schwimmbad bin; oder ich kann trocken bleiben, weil ich gerade an meinem Rechner sitze und dir antworte.
Ich hoffe, das hilft. =)

Schlechtes Beispiel, irgendwie. Mir leuchtet nicht ein, warum die zweite Aussage falsch sein soll. Deiner Arumentation folgend, sage ich: Wenn es regnet, bleibe ich zuhause, werde also nicht nass.

Überhaupt habe ich noch nicht verstanden, warum man die Implikation als logische Beziehung überhaupt definiert, denn A IMP B ist doch nichts anderes als (NICHT A) ODER B.

So long,
 Martin

[Hopsel]

Hi Der!

Schlechtes Beispiel, irgendwie. Mir leuchtet nicht ein, warum die zweite Aussage falsch sein soll.

Leuchtet mir ein, dass ihr das nicht versteht. Ich habe mich auf den Artikel bezogen, habe aber A und B nicht näher definiert.
A ("es regnet") sei eine hinreichende Bedingung, B ("ich werde nass") eine notwendige. Dann sollte das Beispiel klarer werden.

Deiner Arumentation folgend, sage ich: Wenn es regnet, bleibe ich zuhause, werde also nicht nass.

Das kannst mit den nun gegebenen Vorbedingungen nicht mehr sagen.

Ich habe das Beispiel nur gebracht, weil ich die Beispiel aus dem Artikel etwas dürftig fand.

Ein besseres Beispiel:
A: "Ich habe eine Messer im Rücken."
B: "Ich habe Rückenschmerzen."

A->B is wahr aber ¬A->B bzw. ¬A->¬B sind auch auch wahr, da ich Rückenschmerzen auch haben kann, ohne das mir ein Messer im Rücken steckt.

MfG H☼psel

[Hopsel]

Hi Hopsel!

A->B is wahr aber ¬A->B bzw. ¬A->¬B sind auch auch wahr, da ich Rückenschmerzen auch haben kann, ohne das mir ein Messer im Rücken steckt.

Das ist natürlich Quatsch.
Die Aussagen ¬A->B und ¬A->¬B ergeben wahr weil "Rückenschmerzen" nur eine notwendige, aber keine ausreichende Bedingung für "Messer im Rücken" ist.

MfG H☼psel

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin:

Überhaupt habe ich noch nicht verstanden, warum man die Implikation als logische Beziehung überhaupt definiert, denn A IMP B ist doch nichts anderes als (NICHT A) ODER B.

Formuliere mal

„Wenn a, b, c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks sind (a ≤ b < c), dann gilt a² + b² = c².“

als

„a, b, c sind nicht die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks (a ≤ b < c) oder es gilt a² + b² = c².“

Meinste, der Pythogoras wird dadurch verständlicher?

Live long and prosper,
Gunnar

[Der Martin]

Hallo Gunnar,

„Wenn a, b, c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks sind (a ≤ b < c), dann gilt a² + b² = c².“

soll das ein Beispiel für die Implikation sein?
Wohl nicht. Das sind zwei Aussagen, die zueinander äquivalent sind.

„a, b, c sind nicht die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks (a ≤ b < c) oder es gilt a² + b² = c².“
Meinste, der Pythogoras wird dadurch verständlicher?

Nee. Die Implikation aber auch nicht.

Schönen Abend noch,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin:

„Wenn a, b, c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks sind (a ≤ b < c), dann gilt a² + b² = c².“

soll das ein Beispiel für die Implikation sein?

„Wenn […] dann […]“ – scheint ein Beispiel für die Implikation zu sein.

Wohl nicht. Das sind zwei Aussagen, die zueinander äquivalent sind.

Wohl nicht.

Live long and prosper,
Gunnar

[Der Martin]

Hallo,

„Wenn a, b, c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks sind (a ≤ b < c), dann gilt a² + b² = c².“
Das sind zwei Aussagen, die zueinander äquivalent sind.
Wohl nicht.

ach?
A1: Ein Dreieck mit den Seiten a,b,c (c>a, c>b) ist rechtwinklig
A2: Die Seiten eines Dreiecks erfüllen die Bedingung a² + b² = c²

Für mich sind das zwei äquivalente Aussagen. Aus A1 folgt zwingend A2 und umgekehrt.

Ciao,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin:

A2: Die Seiten eines Dreiecks erfüllen die Bedingung a² + b² = c²

Das war nicht meine A2.

Für mich sind das zwei äquivalente Aussagen. Aus A1 folgt zwingend A2 und umgekehrt.

Das heißt, sowohl A1 → A2 als auch A2 → A1 sind wahr.

Und ganau das ist Äquivzlenz: A1 ↔ A2 = A1 → A2 ∧ A2 → A1.

Aber warum hast du überhaupt die Umkehrung ins Spiel gebracht?

Live long and prosper,
Gunnar

[Der Martin]

Hi,

A2: Die Seiten eines Dreiecks erfüllen die Bedingung a² + b² = c²
Das war nicht meine A2.

aber sicher doch:

„Wenn [A1] dann gilt a² + b² = c².“

Aber warum hast du überhaupt die Umkehrung ins Spiel gebracht?

Um dir zu zeigen, dass du mit zwei Aussagen keine Implikation, sondern eine Äquivalenz konstruiert hast.

Ciao,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin:

A2: Die Seiten eines Dreiecks erfüllen die Bedingung a² + b² = c²
Das war nicht meine A2.

aber sicher doch:

„Wenn [A1] dann gilt a² + b² = c².“

Du erkennst den Unterschied zwischen „die Seiten eines Dreiecks erfüllen die Bedingung a² + b² = c²“ und „es gilt a² + b² = c²“?

Mag spitzfindig sein, aber bei der Umkehrung ist es bedeutsam:

„Wenn die Seitenlängen eines Dreiecks die Bedingung a² + b² = c² erfüllen, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig“ ist wahr (Umkehrung des Pythagoras).

„Wenn a² + b² = c² gilt, dann ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c rechtwinklig“ gilt für gewisse Belegungen a, b, c; für andere nicht.

(-1)² + i² = 0²

Aber warum hast du überhaupt die Umkehrung ins Spiel gebracht?

Um dir zu zeigen, dass du mit zwei Aussagen keine Implikation, sondern eine Äquivalenz konstruiert hast.

Nö, ahb ich nicht. Mein Konstrukt war „wenn – dann“, nicht „genau dann, wenn“.

Live long and prosper,
Gunnar

[Der Martin]

Hallo,

Du erkennst den Unterschied zwischen „die Seiten eines Dreiecks erfüllen die Bedingung a² + b² = c²“ und „es gilt a² + b² = c²“?

nein, ehrlich gesagt nicht. Selbst wenn die Seitenlängen eines Dreiecks negativ wären (was man durch eine Spiegelung oder eine Umkehrung des Umlaufsinns veranschaulichen kann), gilt die Äquivalenz immer noch.

„Wenn a² + b² = c² gilt, dann ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c rechtwinklig“ gilt für gewisse Belegungen a, b, c; für andere nicht.
(-1)² + i² = 0²

Sorry - mit komplexen Zahlen habe ich zuletzt im zweiten oder dritten Semester meines Studiums zu tun gehabt (so um 1990/91), seither nie wieder. Ich neige deswegen dazu, ihre Existenz für den Alltag zu vernachlässigen und denke ausschließlich im Bereich der reellen Zahlen.

Mein Konstrukt war „wenn – dann“, nicht „genau dann, wenn“.

Mit der Einschränkung auf reelle Zahlen ist es aber "genau dann, wenn", auch bekannt unter der Floskel "dann und nur dann, wenn".

Ciao,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin:

Du erkennst den Unterschied zwischen „die Seiten eines Dreiecks erfüllen die Bedingung a² + b² = c²“ und „es gilt a² + b² = c²“?

nein, ehrlich gesagt nicht.

Bei zweitem ist nicht gesagt, dass sich a, b, c überhaupt als Seitenlängen interpretieren lassen. a, b, c müssen keine Zahlen sein.

Selbst wenn die Seitenlängen eines Dreiecks negativ wären

Dies tritt niemals ein.

Ich […] denke ausschließlich im Bereich der reellen Zahlen.

Ziemlich eindimensional.

Mein Konstrukt war „wenn – dann“, nicht „genau dann, wenn“.

Mit der Einschränkung auf reelle Zahlen […]

Positive reelle Zahlen meinst du.

[…] ist es aber "genau dann, wenn", auch bekannt unter der Floskel "dann und nur dann, wenn".

Na und? Dass es in beide Richtungen gilt, heißt nicht, dass man das zwingend erwähnen muss. Ich hatte mich auf die Hinrichtung beschränkt. Deshalb meine Frage:

Aber warum hast du überhaupt die Umkehrung ins Spiel gebracht?

Live long and prosper,
Gunnar

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann:

Ich hatte mich auf die Hinrichtung beschränkt.

Bindestrick, wem Bindestrick gebührt: „Hin-Richtung“.

Live long and prosper,
Gunnar

PS: Das 'k' war wirklich ein Typo; ich fand ihn zu passend, um ihn zu korrigieren. No pun intended.

[Christian Seiler]

Hallo Martin,

Du erkennst den Unterschied zwischen „die Seiten eines Dreiecks erfüllen die Bedingung a² + b² = c²“ und „es gilt a² + b² = c²“?

nein, ehrlich gesagt nicht. Selbst wenn die Seitenlängen eines Dreiecks negativ wären (was man durch eine Spiegelung oder eine Umkehrung des Umlaufsinns veranschaulichen kann), gilt die Äquivalenz immer noch.

Zum einen: Negative Seiten eines Dreiecks sind nicht möglich. Wenn ich ein Dreieck spiegele, ist die Seitenlänge immer noch positiv.

Zum anderen: Betrachte doch mal eine andere Aussage: a < c. Das ist erst einmal eine simple Ungleichung, die besagt, dass ein Objekt "a" kleiner ist als ein Objekt "c". Man könnte diesem Objekt "a" die Bedeutung einer Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks geben und "c" die Bedeutung der Hypotenuse. Man könnte "a" aber auch eine völlig andere Bedeutung geben. Vielleicht ist an Hand dieser Ungleichung klarer, warum "a < c" eben eine andere Aussage ist als "Sei a die Kathete und c die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, es gilt a < c".

Bei a² + b² = c² ist noch lange nicht gesagt, dass es sich bei "a", "b" und "c" überhaupt um positive reelle Zahlen handeln muss, es könnten zum Beispiel auch Matrizen sein. Stell Dir vor, Du hast folgendes:

[latex]\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \ 1 & 0\end{array}\right)^2 + \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \ 0 & -1\end{array}\right)^2 = \left(\begin{array}{cc}\sqrt{2} & 0 \ 0 & \sqrt{2}\end{array}\right)^2[/latex]

Hier wäre:

[latex]a = \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \ 1 & 0\end{array}\right)[/latex]
[latex]b = \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \ 0 & -1\end{array}\right)[/latex]
[latex]c = \left(\begin{array}{cc}\sqrt{2} & 0 \ 0 & \sqrt{2}\end{array}\right)[/latex]

Das wäre mathematisch genau so möglich. Die Aussage "a² + b² = c²" ist eben nur eine allgemeine algebraische Aussage in der Mathematik - und ob a, b und c eben Seitenlängen sind oder nicht, kann man aus der Gleichung alleine nicht auslesen.

Mag sein, dass viele Menschen bei a² + b² = c² sofort an Pythagoras denken (tue ich ja auch) - aber das heißt noch lange nicht, dass diese Gleichung nur für Dreiecke anwendbar ist.

„Wenn a² + b² = c² gilt, dann ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c rechtwinklig“ gilt für gewisse Belegungen a, b, c; für andere nicht.
(-1)² + i² = 0²

Sorry - mit komplexen Zahlen habe ich zuletzt im zweiten oder dritten Semester meines Studiums zu tun gehabt (so um 1990/91), seither nie wieder. Ich neige deswegen dazu, ihre Existenz für den Alltag zu vernachlässigen und denke ausschließlich im Bereich der reellen Zahlen.

Ich dachte Du wärst Elektrotechniker? Wie kommt man da bitteschön ohne komplexe Zahlen aus? Wenn Du irgendwelche Schaltungen berechnen willst, dann nehmen einem komplexe Zahlen doch alleine schon für die Impedanzberechnung extrem viel Arbeit ab. Und wenn Du andere Charakteristiken bestimmen willst, dann gibt's doch Laplace- oder Z-Transformation, die in der Elektrotechnik oft angewendet werden - da spielen komplexe Zahlen doch auch eine große Rolle...

Und unabhängig davon: Nur, weil Du nicht mit komplexen Zahlen rechnest, muss das ja noch gar nichts heißen. Wir sind hier schließlich in einem Thread, wo es um Aussagelogik und damit einem der formalsten Teile der Mathematik geht. Ich stelle mich da auf den Standpunkt, dass man da andere Maßstäbe ansetzen muss, als beim simplen Ausrechnen von Dingen.

Um Gunnars Beispiel nochmal etwas anders zu beleuchten (vielleicht ist Dir dann klarer, was er gemeint hat):

Deine Äquivalenzaussage ist:

Gegeben seien a, b, c.
  Wenn ein Dreieck mit Seiten a, b, c (c > a und c > b) rechtwinklig ist,
  dann erfüllen die Seiten des Dreiecks die Bedingung a² + b² = c².

Drehen wir diese um:

Gegeben seien a, b, c.
  Wenn die Seiten eines Dreiecks die Bedingung a² + b² = c² erfüllen,
  so ist das Dreieck mit eben diesen Seiten rechtwinklig und es gilt
  c > a und c > b.

Gunnars Implikation (etwas deutlicher formuliert):

Gegeben seien a, b, c.
  Wenn ein Dreieck mit Seiten a, b, c (c > a und c > b) rechtwinklig ist,
  dann gilt a² + b² = c².

Stellen wir Gunnars Implikation mal um:

Gegeben seien a, b, c.
  Wenn gilt a² + b² = c², dann sind dies Seiten eines Dreiecks, das
  rechtwinklig ist und die die zusätzlichen Bedingungen c > a und c > b
  erfüllen.

Letzteres ist offensichtlich falsch (siehe Gunnars Beispiel mit komplexen Zahlen und mein Beispiel mit Matrizen).

Viele Grüße,
Christian

[Der Martin]

Hallo Christian,

Zum einen: Negative Seiten eines Dreiecks sind nicht möglich.

das sagte Gunnar auch schon. Meine Mathelehrer hatten keine Hemmungen, auch eine Kugel mit negativem Radius vorzustellen (ergab sich mal so bei einer Übungsaufgabe).
Bei einer Strecke (und die Seiten eines Dreiecks sind ja wohl welche) gibt das Vorzeichen doch die Richtung, den Zählsinn an, auch wenn man in den meisten Fällen nur den Betrag betrachtet.

Wenn ich ein Dreieck spiegele, ist die Seitenlänge immer noch positiv.

Ich hätte gesagt: Der Umlaufsinn kehrt sich um, also auch die Vorzeichen aller Strecken.

Bei a² + b² = c² ist noch lange nicht gesagt, dass es sich bei "a", "b" und "c" überhaupt um positive reelle Zahlen handeln muss, es könnten zum Beispiel auch Matrizen sein.

Ja, zugegeben. Das halte ich aber für extrem spitzfindig. Denn das sind Interpretationen, die einen wohl in >99% der Fälle nicht interessieren.

Sorry - mit komplexen Zahlen habe ich zuletzt im zweiten oder dritten Semester meines Studiums zu tun gehabt (so um 1990/91), seither nie wieder. Ich neige deswegen dazu, ihre Existenz für den Alltag zu vernachlässigen und denke ausschließlich im Bereich der reellen Zahlen.
Ich dachte Du wärst Elektrotechniker? Wie kommt man da bitteschön ohne komplexe Zahlen aus?

Oh, hervorragend. Nebenbei bemerkt ist deine Annahme nicht ganz korrekt: Eigentlich bin ich auch Informatiker, sowohl was meine Ausbildung, als auch meine persönliche Neigung betrifft. Ich habe nur im Studium der Technischen Informatik auch ein wenig Grundlagen der Elektrotechnik und der Elektronik mitbekommen, und war als Jugendlicher schon aktiver Elektronik-Bastler. Mehr oder weniger zufällig bin ich in meinem jetzigen Job wieder zur Elektro- und Messtechnik gekommen.

Wenn Du irgendwelche Schaltungen berechnen willst, dann nehmen einem komplexe Zahlen doch alleine schon für die Impedanzberechnung extrem viel Arbeit ab. Und wenn Du andere Charakteristiken bestimmen willst, dann gibt's doch Laplace- oder Z-Transformation, die in der Elektrotechnik oft angewendet werden - da spielen komplexe Zahlen doch auch eine große Rolle...

All das habe ich seit den Klausuren im Studium zum Glück nie gebraucht, ich wüsste auch heute kaum noch, wie's geht. Höchstens der Fourier-Transformation kann ich noch einen gewissen Nutzwert beimessen.

Und unabhängig davon: Nur, weil Du nicht mit komplexen Zahlen rechnest, muss das ja noch gar nichts heißen. Wir sind hier schließlich in einem Thread, wo es um Aussagelogik und damit einem der formalsten Teile der Mathematik geht.

Siehste, *das* ist wohl mein Verständnisproblem. Ich halte normalerweise möglichst viel Abstand von der reinen Theorie und versuche immer, solche Aussagen in praktische Anwendungen zu projizieren.

Um Gunnars Beispiel nochmal etwas anders zu beleuchten (vielleicht ist Dir dann klarer, was er gemeint hat):
[...]
Letzteres ist offensichtlich falsch (siehe Gunnars Beispiel mit komplexen Zahlen und mein Beispiel mit Matrizen).

Ja, wir sind von unterschiedlichen Geltungsbereichen ausgegangen. Aber wie ich schon sagte, ist meiner Ansicht nach für praktische Anwendungen im Alltag fast immer nur der Bereich der reellen Zahlen interessant. Deswegen komme ich nicht auf die Idee, etwas anderes überhaupt zu berücksichtigen, es sei denn, man weist ausdrücklich auf einen Sonderfall hin.
Ebenso wie man hier im Forum davon ausgeht, ein vorgestelltes HTML/CSS/Javascript-Problem bestünde mit einer öffentlich zugänglichen Seite im Internet (anderes möge man bitte sofort angeben), gehe ich bei mathematischen Problemen von reellen Zahlen aus, wenn nichts anderes gesagt wird.

Und wenn Gunnar sich als Theoretiker und Analytiker hier freut wie ein Schneekönig, dass er einen Fall gefunden hat, in dem (m)eine Aussage nicht zutrifft, dann ist das schön für ihn; für mich aber hat es den Charakter von Erbsenzählerei, vor allem, wenn er dann noch darauf herumreitet.

Schönen Sonntag noch,
 Martin

[Christian Seiler]

Hallo Martin,

Zum einen: Negative Seiten eines Dreiecks sind nicht möglich.
das sagte Gunnar auch schon. Meine Mathelehrer hatten keine Hemmungen, auch eine Kugel mit negativem Radius vorzustellen (ergab sich mal so bei einer Übungsaufgabe).
Bei einer Strecke (und die Seiten eines Dreiecks sind ja wohl welche) gibt das Vorzeichen doch die Richtung, den Zählsinn an, auch wenn man in den meisten Fällen nur den Betrag betrachtet.

Wenn ich ein Dreieck spiegele, ist die Seitenlänge immer noch positiv.

Ich hätte gesagt: Der Umlaufsinn kehrt sich um, also auch die Vorzeichen aller Strecken.

Man kann natürlich in bestimmten Fällen so rechnen, aber das ist dann nicht die Seitenlänge (die ist immer positiv), sondern eine Hilfsgröße, die in der Hälfte aller Fälle mit der Seitenlänge übereinstimmt und in der anderen Hälfte eben deren Negatives ist.

(Umlaufsinn ist ja auch etwas, was für ein Dreieck per se nicht definiert ist. Es ist eine Hilfsgröße, die man einführen kann, um Operationen besser beschreiben zu können, sie ist aber in keinem Fall charakteristisch für ein Dreieck.)

Bei a² + b² = c² ist noch lange nicht gesagt, dass es sich bei "a", "b" und "c" überhaupt um positive reelle Zahlen handeln muss, es könnten zum Beispiel auch Matrizen sein.

Ja, zugegeben. Das halte ich aber für extrem spitzfindig. Denn das sind Interpretationen, die einen wohl in >99% der Fälle nicht interessieren.

Aber das ist doch in der Aussagelogik (und das ist es, warum es hier im Thread geht) irrelevant. Selbst wenn es nur einen einzigen Fall gäbe, bei dem die Aussage nicht stimmt, wäre die Aussage in ihrer Pauschalität auf Grund der Aussagelogik eben falsch. Und eine Einschränkung (auch wenn sie noch so klein ist) ist aussagelogisch eben eine andere Aussage, als die pauschale Variante.

Und unabhängig davon: Nur, weil Du nicht mit komplexen Zahlen rechnest, muss das ja noch gar nichts heißen. Wir sind hier schließlich in einem Thread, wo es um Aussagelogik und damit einem der formalsten Teile der Mathematik geht.

Siehste, *das* ist wohl mein Verständnisproblem. Ich halte normalerweise möglichst viel Abstand von der reinen Theorie und versuche immer, solche Aussagen in praktische Anwendungen zu projizieren.

Aber diese Einstellung ist in diesem Thread aber die völlig falsche, weil es hier eben *ausschließlich* um "reine Theorie" geht. ;-)

Aber wie ich schon sagte, ist meiner Ansicht nach für praktische Anwendungen im Alltag fast immer nur der Bereich der reellen Zahlen interessant.

Es kommt wohl sehr stark darauf an, wie Dein Alltag aussieht. ;-)

Und wenn Gunnar sich als Theoretiker und Analytiker hier freut wie ein Schneekönig, dass er einen Fall gefunden hat, in dem (m)eine Aussage nicht zutrifft, dann ist das schön für ihn; für mich aber hat es den Charakter von Erbsenzählerei, vor allem, wenn er dann noch darauf herumreitet.

Nein, eben nicht. Wie gesagt: Wir besprechen hier im Thread formale Aussagelogik. Und gerade hier im Thread ging es um die Subtilitäten der Implikation. Eben deswegen ist es besonders wichtig, dass eben nichts unter den Tisch gekehrt wird.

Wenn wir über etwas völlig anderes sprechen würden, hätte ja wohl auch niemand etwas gegen Deine Lesart, aber wenn wir hier über die formale Definition der Implikation in der Aussagelogik und die möglichen Probleme, dies zu verstehen, sprechen, dann ist "Erbsenzählerei" eben besonders wichtig, damit man nicht durch laxe Interpretation die Definition so verwäscht, das jemand, der den Thread liest, es hinterher immer noch nicht korrekt verstanden hat.

Ich bin selbst auch gerne mal etwas lax, wenn es um mathematischen Formalismus geht - aber nur, wenn ich eigentlich etwas machen will, was nicht direkt etwas mit dem Formalismus zu tun hat. Wenn ich dagegen mich mit formellen Dingen beschäftige, dann zähle ich ganz besonders Erbsen, damit ich auch ja nichts falsch mache.

Viele Grüße,
Christian

[Daniel Thoma]

Hallo Hopsel,

Wenn es regnet, werde ich nass.             [wahr]
Wenn es regnet, werde ich nicht nass.       [falsch]
Wenn es nicht regnet, werde ich nass.       [wahr]
Wenn es nicht regnet, werde ich nicht nass. [wahr]

Diese Beispiele sind so erstmal verwirrend, weil Du nicht wie Christian zwischen der Aussage (Formel) und der Situation (Modell/Belegung) unterscheidest.

Wenn es regnet, werde ich nass würde man also Formel so ausdrücken:
regnet => nass
Nun gibt es vier Situationen, für die man entscheiden kann, ob die Aussage stimmt:
Es regnet und ich werde nass: Aussage stimmt.
Es regnet und ich werde nicht nass: Aussage stimmt nicht.
Es regnet nicht und ich werde nicht nass: Aussage stimmt.
Es regnet nicht und ich werde nass: Aussage stimmt.
Warum man die implikation im letzten Fall so definiert, kann erstmal etwas unverständlich sein. Aber die Aussage sagt eben auch rein sprachlich betrachtet nichts über den Fall aus, wenn die Bedingung nicht eintritt. Es kann ja noch andere Gründe geben, nass zu werden.

Nun ist man nicht gewohnt, Aussagen nur für bestimmte Situationen als wahr oder falsch zu betrachten. Wenn man aussagt, "Wenn es regnet, werde ich nass", meint man eben, dass das eine korrekte Aussage ist, also immer gilt. (Ja, die Aussage ist natürlich zu einfach, es muss nicht nur regnen, sondern man muss auch ohne Regenschutz nach draußen gehen etc. aber darum geht es ja erstmal nicht).
Wenn man diese Aussage macht, meint man also, dass die Situationen, für die sie falsch ist, eben nicht auftreten können. Um das zu beurteilen, ist dann aber die Physik (im weitesten Sinne ;-) gefragt, die Logik liefert lediglich die Mittel, die Aussage zu formulieren.

Die Aussage "Wenn die Sonne Scheint, werde ich nass" unterscheidet sich logisch nicht von der Regen-Aussage.

In der Logik gibt es dann noch gültige Aussagen, das sind solche, die für jede Belegung wahr sind, z.B. (A & !A)

Wenn nun ein Physiker eine tolle Formel aufstellt, die die Realität beschreibt, z.B. ((!dusche & !regen) | nass) dann kann man daraus versuchen, andere Aussagen zu schließen:

((!dusche & !regen) | nass) => (regen => nass)
mit etwas logischer Umformung kann man das zu "wahr" reduzieren, kann also beweisen, dass die Gesamtaussage gültig ist. Die hier beschriebene "Realität" ist natürlich sehr einfach ;-)

Zur Frage von Martin, weshalb man überhaupt die Implikation definiert:
Ganz einfach, weil sie intuitiv ist. Warum definiert man denn die anderen Operatoren. Die Implikation und die Konstante "false" würden ja auch reichen. ;-)

Grüße

Daniel

[Der Martin]

Hallo,

Zur Frage von Martin, weshalb man überhaupt die Implikation definiert:
Ganz einfach, weil sie intuitiv ist.

das finde ich nicht - meine Intuition funktioniert anscheinend anders. ;-)
Intuitiv finde ich die Verknüpfungen UND und ODER, sowie die Negation. Alles andere lässt sich daraus ableiten (z.B. ein exklusives Oder), was aber nicht in jedem Fall sinnvoll sein muss.

Warum definiert man denn die anderen Operatoren. Die Implikation und die Konstante "false" würden ja auch reichen. ;-)

Ah ja? Das kann ich mir im Moment nicht vorstellen, habe aber nicht genug Interesse an der Theorie, als dass ich es verifizieren oder falsifizieren möchte.

Ciao,
 Martin

[Daniel Thoma]

Hallo Martin,

Ich schreibe die Implikation relativ oft, wenn ich irgend etwas formal definieren muss. Man kann sie auch als eine Art bedingte Aussage verwenden:
\forall x: (x mod 2 = 1) => ((x + 1) mod 2 = 0)
Vielleicht ist die Wertetabelle dazu nicht gleich intuitiv, aber man kann mathematische Aussagen, die man intuitiv mit "wenn x dann y" formulieren würde direkt so hinschreiben.

Ah ja? Das kann ich mir im Moment nicht vorstellen, habe aber nicht genug Interesse an der Theorie, als dass ich es verifizieren oder falsifizieren möchte.

Für eine vollständige, boolsche Logik reicht & und ! aus.
Also müssen wir diese Operatoren nur mit Hilfe von => und 0 (falsch) beschreiben:
!a == (!a | 0) == (a => 0)
(a & b) == !(!a | !b) == !(a => !b)  == ((a => (b => 0)) => 0)

Nicht wirklich praktisch, aber es geht. Wenn man ! und => nimmt, ist es aber halbwegs offensichtlich.

Grüße

Daniel

[Christian Seiler]

Hallo,

Habe gerade einige Verständnisschwierigkeiten mit der logischen Implikation. Könnte mir das jemand erklären. Insbesondere wie man von einer Aussage wie A->B auf die zugehörige Tabelle kommt.

Erst einmal gilt:

[latex]A \to B = \neg A \vee B[/latex]

Das heißt: Die Aussage "Aus A folgt B" ist äquivalent zu "Nicht A oder B". Warum ist das so?

Jetzt muss man zwei Ebenen unterscheiden: Die Ebene (1) ist schlichtweg die Tatsache, dass Du die Aussage "Aus A folgt B" machst, die Ebene (2) ist die Ebene, auf der Du bestimmst, ob die Aussage wahr ist oder nicht. Auf Ebene (2) kümmert Dich der Wahrheitsgehalt der Aussagen "A" und "B" alleine nichts - und das ist wohl auch der Denkfehler, dem die meisten aufsitzen.

Machen wir mal ein Beispiel:

Wenn ich zur Arbeit gehe, sehe ich meinen Kollegen.

Wenn man das nun die einzelnen Aussagen extrahiert, dann erhält man folgendes:

Aussage A: "Ich gehe zur Arbeit."
      Aussage B: "Ich sehe meinen Kollegen."

Wenn man jetzt eine Wahrheitstabelle für den Ausdruck "A -> B" aufstellen will, dann muss man sich erst einmal klar machen, was ein Eintrag in der Wahrheitstabelle überhaupt heißt: Der Eintrag in der Tabelle ist "falsch", wenn die Gesamtaussage (!) für die jeweilige Kombination der Einzelaussagen einen Widerspruch liefert - ansonsten ist die Aussage "wahr". (Man kann das sicher auch irgendwie positiv definieren. Frag einen Informatiker oder Mathematiker.)

Betrachten wir nun die verschiedenen Kombinationen:

1)   A wahr, B wahr
     Das heißt: Ich sehe meinen Kollegen *und* ich gehe zur Arbeit.
     In dem Fall passt die Aussage A -> B zu dem Wahrheitsgehalt der
     Einzelaussagen (sollte offensichtlich sein).

2)   A wahr, B falsch
     Das heißt: Ich sehe meinen Kollegen nicht, gehe aber zur Arbeit.
     In dem Fall passt die Aussage A -> B *nicht* zu dem Wahrheitsgehalt der
     Einzelaussagen (denn wenn »A -> B« wahr wäre und »A« wahr ist, dann
     müsste auch »B« wahr sein, was es hier aber nicht ist)

3)   A falsch, B beliebig
     Das heißt: Ich gehe nicht zur Arbeit.
     In dem Fall passt die Aussage A -> B *immer* (egal, was B annimmt).
     Das ist jetzt der eigentliche Knackpunkt: Warum ist das so? Nunja,
     bleiben wir am Beispiel: Wenn ich nicht zur Arbeit gehe, kann es sein,
     dass ich meinen Kollegen sehe (z.B. abends in der Kneipe) oder eben
     auch nicht. Dies widerspricht der Aussage A -> B nicht - und damit ist
     die Aussage A -> B in diesem Fall wahr.
     Rein sprachlich gesehen würde man hier ja einfach sagen "oh, aber man
     kann das doch noch gar nicht entscheiden". Aber das ist insofern
     falsch, als dass das Sprachkonstrukt "noch gar nicht" impliziert, dass
     die Aussagen "A" und "B" sich ändern können - und das tritt in der
     Aussagelogik nicht auf! Wenn man eine sich ändernde Aussage hat, dann
     wird das in der Aussagelogik immer als zwei *verschiedene* Aussagen
     "kodiert" (eine Aussage vor der Änderung, eine danach). Aussagelogik
     ist vom Anspruch her *absolut* und stimmt daher nicht ganz mit der
     Intuition überein.

Also ergibt sich folglich folgende Wahrheitstabelle:

A  |  B  |  A -> B
-----+-----+----------
  f  |  f  |  w
  f  |  w  |  w
  w  |  f  |  f
  w  |  w  |  w

(Ich hoffe, das war jetzt verständlich.)

Viele Grüße,
Christian

[Gunnar Bittersmann]

@@Christian Seiler:

(Ich hoffe, das war jetzt verständlich.)

Gut gemacht.

Jetzt sollte es auch kein Problem sein, mal zur Übung die Negation von „Wenn ich zur Arbeit gehe, sehe ich meinen Kollegen“ aufzuschreiben.

Live long and prosper,
Gunnar